1718版 第2章 重点强化课1 函数的图象与性质.docx

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1718版第2章重点强化课1函数的图象与性质

重点强化课

（一）　函数的图象与性质

[复习导读]　函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．

重点1　函数图象的应用

　已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝

则不等式f（x－1）≤

的解集为

（　　）【导学号：

31222064】

A.

∪

B.

∪

C.

∪

D.

∪

A　[画出函数f（x）的图象，如图，

当0≤x≤

时，令f（x）＝cosπx≤

，解得

≤x≤

；

当x＞

时，令f（x）＝2x－1≤

，解得

＜x≤

，

故有

≤x≤

.

因为f（x）是偶函数，所以f（x）≤

的解集为

∪

，故f（x－1）≤

的解集为

∪

.]　

[迁移探究1]　在本例条件下，若关于x的方程f（x）＝k有2个不同的实数解，求实数k的取值范围．

[解]　由函数f（x）的图象（图略）可知，当k＝0或k>1时，方程f（x）＝k有2个不同的实数解，即实数k的取值范围是k＝0或k>1.12分

[迁移探究2]　在本例条件下，若函数y＝f（x）－k|x|恰有两个零点，求实数k的取值范围．

[解]　函数y＝f（x）－k|x|恰有两个零点，即函数y＝f（x）的图象与y＝k|x|的图象恰有两个交点，借助函数图象（图略）可知k≥2或k＝0，即实数k的取值范围为k＝0或k≥2.12分

[规律方法]　1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：

图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．

2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．

3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．

[对点训练1]　已知函数y＝f（x）的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图1所示，则不等式f（x）>f（－x）－2x的解集是________．

图1

（－1,0）∪（1，

]　[由图象可知，函数f（x）为奇函数，故原不等式可等价转化为f（x）>－x，在同一直角坐标系中分别画出y＝f（x）与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为（－1,0）∪（1，

]．]

重点2　函数性质的综合应用

角度1　单调性与奇偶性结合

（1）（2017·石家庄质检

（二））下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（　　）

A．y＝

　　　　　　B．y＝lgx

C．y＝|x|－1D．y＝

|x|

（2）（2016·天津高考）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增．若实数a满足f（2|a－1|）>f（－

），则a的取值范围是（　　）

A.

B.

∪

C.

D.

（1）C　

（2）C　[

（1）函数y＝

是奇函数，排除A；函数y＝lgx既不是奇函数，也不是偶函数，排除B；当x∈（0，＋∞）时，函数y＝

|x|＝

x单调递减，排除D；函数y＝|x|－1是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增，故选C.

（2）因为f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增，所以f（－x）＝f（x），且f（x）在（0，＋∞）上单调递减．由f（2|a－1|）＞f（－

），f（－

）＝f（

）可得2|a－1|＜

，即|a－1|＜

，所以

＜a＜

.]

角度2　奇偶性与周期性结合

　（2017·贵阳适应性考试

（二））若函数f（x）＝asin2x＋btanx＋1，且f（－3）＝5，则f（π＋3）＝________.

－3　[令g（x）＝asin2x＋btanx，则g（x）是奇函数，且最小正周期是π，由f（－3）＝g（－3）＋1＝5，得g（－3）＝4，则g（3）＝－g（－3）＝－4，则f（π＋3）＝g（π＋3）＋1＝g（3）＋1＝－4＋1＝－3.]

角度3　单调性、奇偶性与周期性结合

　已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0,2]上是增函数，则（　　）

A．f（－25）＜f（11）＜f（80）

B．f（80）＜f（11）＜f（－25）

C．f（11）＜f（80）＜f（－25）

D．f（－25）＜f（80）＜f（11）

D　[因为f（x）满足f（x－4）＝－f（x），

所以f（x－8）＝f（x），所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，则f（－25）＝f（－1），f（80）＝f（0），f（11）＝f（3）．

由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x－4）＝－f（x），得f（11）＝f（3）＝－f（－1）＝f

（1）．

因为f（x）在区间[0,2]上是增函数，f（x）在R上是奇函数，

所以f（x）在区间[－2,2]上是增函数，

所以f（－1）＜f（0）＜f

（1），即f（－25）＜f（80）＜f（11）．]　

[规律方法]　函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法

（1）函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

（2）周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

（3）周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．

重点3　函数图象与性质的综合应用

（1）（2017·郑州二检）已知函数f（x）＝

函数g（x）＝f（x）－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．[－1,1）B．[0,2]

C．[－2,2）D．[－1,2）

（2）已知函数f（x）＝

若方程f（x）＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，0]B．[0,1）

C．（－∞，1）D．[0，＋∞）

（1）D　

（2）C　[

（1）由题意知g（x）＝

因为g（x）有三个不同的零点，

所以2－x＝0在x＞a时有一个解．由x＝2，得a＜2.

由x2＋3x＋2＝0，得x＝－1或x＝－2，

由x≤a，得a≥－1.

综上，a的取值范围为[－1,2）．

（2）函数f（x）＝

的图象如图所示，

当a<1时，函数y＝f（x）的图象与函数f（x）＝x＋a的图象有两个交点，即方程f（x）＝x＋a有且只有两个不相等的实数根．]　

[规律方法]　解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．

[对点训练2]　（2017·云南二次统一检测）已知f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（3＋2x）＝f（7－2x），若f（x）＝0恰有n个不同实数根，且这n个不同实数根之和等于75，则n＝________.

15　[由f（3＋2x）＝f（7－2x）得函数f（x）的图象关于直线x＝5对称，则f（x）＝0的n个实根的和为5n＝75，解得n＝15.]

重点强化训练

（一）　函数的图象与性质

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1．设函数f（x）为偶函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝log2x，则f（－

）＝（　　）

【导学号：

31222065】

A．－

　　　　　　　　B.

C．2D．－2

B　[因为函数f（x）是偶函数，所以f（－

）＝f（

）＝log2

＝

.]

2．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f

（1）＋g

（1）＝（　　）

A．－3B．－1

C．1D．3

C　[用“－x”代替“x”，得f（－x）－g（－x）＝（－x）3＋（－x）2＋1，化简得f（x）＋g（x）＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f

（1）＋g

（1）＝1，故选C.]

3．函数f（x）＝3x＋

x－2的零点所在的一个区间是（　　）

A．（－2，－1）B．（－1,0）

C．（0,1）D．（1,2）

C　[因为函数f（x）在定义域上单调递增，

又f（－2）＝3－2－1－2＝－

＜0，

f（－1）＝3－1－

－2＝－

＜0，

f（0）＝30＋0－2＝－1＜0，

f

（1）＝3＋

－2＝

＞0，所以f（0）f

（1）＜0，

所以函数f（x）的零点所在区间是（0,1）．]

4．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增．若实数a满足f（log2a）＋f（log

a）≤2f

（1），则a的取值范围是（　　）

【导学号：

31222066】

A．[1,2]B.

C.

D．（0,2]

C　[∵f（log

a）＝f（－log2a）＝f（log2a），∴原不等式可化为f（log2a）≤f

（1）．又∵f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.∵f（x）是偶函数，∴f（log2a）≤f（－1）．又f（x）在区间（－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴

≤a≤1.综上可知

≤a≤2.]

5．（2017·陕西质检

（二））若f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，∀x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有

＜0，则（　　）

A．f（3）＜f

（1）＜f（－2）B．f

（1）＜f（－2）＜f（3）

C．f（－2）＜f

（1）＜f（3）D．f（3）＜f（－2）＜f

（1）

D　[由对任意的x1，x2∈[0，＋∞），

＜0得函数f（x）为[0，＋∞）上的减函数，又因为函数f（x）为偶函数，所以f（3）＜f

（2）＝f（－2）＜f

（1），故选D.]

二、填空题

6．函数y＝f（x）在x∈[－2,2]上的图象如图2所示，则当x∈[－2,2]时，f（x）＋f（－x）＝________.

【导学号：

31222067】

图2

0　[由题图可知，函数f（x）为奇函数，

所以f（x）＋f（－x）＝0.]

7．若函数y＝log2（ax2＋2x＋1）的值域为R，则a的取值范围为________．

[0,1]　[设f（x）＝ax2＋2x＋1，由题意知，f（x）取遍所有的正实数．当a＝0时，f（x）＝2x＋1符合条件；当a≠0时，则

解得0＜a≤1，

所以0≤a≤1.]

8．（2017·银川质检）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，＋∞）上是增函数，且f

（2）＝0，则满足f（x－1）＜0的x的取值范围是________．

（－∞，－1）∪（1,3）　[依题意当x∈（1，＋∞）时，f（x－1）＜0＝f

（2）的解集为x＜3，即1＜x＜3；当x∈（－∞，1）时，f（x－1）＜0＝f（－2）的解集为x＜－1，即x＜－1.综上所述，满足f（x－1）＜0的x的取值范围是（－∞，－1）∪（1,3）．]

三、解答题

9．已知函数f（x）＝2x，当m取何值时方程|f（x）－2|＝m有一个解，两个解？

[解]　令F（x）＝|f（x）－2|＝|2x－2|，G（x）＝m，画出F（x）的图象如图所示.3分

由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F（x）与G（x）的图象只有一个交点，原方程有一个解；9分

当0＜m＜2时，函数F（x）与G（x）的图象有两个交点，原方程有两个解.12分

10．函数f（x）＝m＋logax（a＞0且a≠1）的图象过点（8,2）和（1，－1）．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）令