高二数学导数大题练习题含答案.docx

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高二数学导数大题练习题含答案

高二数学导数大题练习题（含答案）

一、解答题

1．设函数

.

（1）令

，以其图象上任意一点

为切点的切线的斜率

恒成立，求实数a的取值范围；

（2）当

时，方程

有唯一实数解，求正数m的值.

2．对于正实数a，b（

），我们熟知基本不等式：

，其中

为a，b的几何平均数，

为a，b的算术平均数.现定义a，b的对数平均数：

.

（1）设

，求证：

，并证明

；

（2）若不等式

对任意正实数a，b（

）恒成立，求正实数m的取值范围.

3．已知

．

（1）当

时，讨论

的单调性；

（2）若

，对

，使得

恒成立，求a的取值范围．

4．已知

，函数

．

（1）求曲线

在

处的切线方程

（2）若函数

有两个极值点

，且

，

（ⅰ）求a的取值范围；

（ⅱ）当

时，证明：

．

（注：

…是自然对数的底数）

5．已知函数

．

（1）分别求n=1和n=2的函数

的单调性；

（2）求函数

的零点个数．

6．已知函数

．

（1）若

，求函数

的极小值点；

（2）当

时，讨论函数

的图象与函数

的图象公共点的个数，并证明你的结论．

7．己知函数

.

（1）当

时，求曲线

在

处的切线方程；

（2）设函数

，若

在其定义域内恒成立，求实数

的最小值；

（3）若关于

的方程

恰有两个相异的实根

，求实数

的取值范围，并证明

.

8．已知函数

．

（1）当

时，讨论

的单调性；

（2）当

时，

恒成立，求实数a的取值范围．

9．已知函数

.

（1）若

，求

在点

处的切线方程；

（2）若对于任意

，

恒成立，求实数

的取值范围.

10．设函数

.

（1）求函数

的单调区间；

（2）若关于

的方程

有三个不等实根，求实数

的取值范围.

【参考答案】

一、解答题

1．

（1）

（2）

【解析】

【分析】

（1）根据导数的几何意义，得到

，在

上恒成立，利用分离参数法得到

，即可求解；

（2）把题意转化为

有唯一实数解.设

，利用导数计算得到

.设函数

，由

是增函数，且

，得到

，即

，即可解出m.

（1）

所以

，在

上恒成立，

所以

对于

所以当

时，

取得最大值

.

所以

.

（2）

因为方程

有唯一实数解，

所以

有唯一实数解.

设

，则

令

，得

因为

，

所以

（舍去），

，

当

时，

在

单调递减，

当

时，

在

单调递增.

当

时，

取最小值

.

因为

有唯一解，所以

.

则

即

所以

因为

，所以

.

设函数

，

因为当

时，

是增函数，所以

至多有一解.

因为

，所以方程的解为

，即

，

解得

.

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．

（4）考查数形结合思想的应用．

2．

（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】

（1）令

，利用导数证明当

时，

，即可得到

.

用分析法证明

.

（2）把题意转化为

恒成立.令

，即为

恒成立.令

，分

和

两种情况求出正实数m的取值范围.

（1）

令

，定义域为

.

则

.

所以当

时，

，

在

上单调递减.

又

，所以当

时，

.

所以当

时，

，即

.（*）

要证

，只需证

，

只需证

，即证

.

令

，则由（*），得

.

所以

，即

.

（2）

由

恒成立，得

恒成立，即

恒成立.

令

，由

恒成立，得

恒成立.

所以

恒成立.

令

，则

.

（注：

）

i.当

，即

时，

易知方程

有一根

大于1，一根

小于1，

所以

在

上单调递增.所以

，不符合题意.

ii.当

时，有

，

所以

，从而

在

上单调递减.

故当

时，恒有

，符合题意.

综上可知，正实数m的取值范围为

.

【点睛】

导数的应用主要有：

（1）利用导函数几何意义求切线方程；

（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；

（3）利用导数求参数的取值范围.

3．

（1）答案见解析

（2）

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，根据导数的正负可求出函数的单调区间，

（2）将问题转化为

，而

，所以问题再转化为

，然后分

，

和

三种情况求解

的最小值即可

（1）

由

，得

．

①

，当

单调递减；

当

单调递增．

②

，当

单调递增；

当

单调递减．

（2）

依题意得

，∴

，

即当

时，

单调递减，

∴

．

．

1）当

时，

，∴在

上，

单调递增，

∴

恒成立．

2）当

时，令

，则得

，

①当

时，

在

单调递增，

∴

恒成立．

②当

时，

．

当

时，

单调递减；

当

时，

单调递增．

∴

．

∴

恒成立，即

恒成立．

令

，则

，∴

，令

，

∴

．

当

时，

单调递增，且

，

∴

，即

．

∴

．

综上所述a的取值范围为

．

【点睛】

关键点点睛：

此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数决不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为

，然后利用导数分情况求解

的最小值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题

4．

（1）

（2）（ⅰ）

；（ⅱ）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由导数的几何意义即可求解；

（2）（ⅰ）原问题等价于

是方程

的两根，且

，从而构造函数

，将问题转化为直线

与函数

的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；

（ⅱ）由

，利用放缩法可得

，即

，又由（ⅰ）知

，从而可证

；先证明

，然后利用放缩法可得

，即

，最后构造二次函数

，利用根的分布即可证明

，从而得证原不等式.

（1）

解：

因为

所以

，又

，

所以曲线

在

处的切线方程为

；

（2）

解：

（ⅰ）因为函数

有两个极值点

，

所以

是关于x的方程

的两根，也是关于x的方程

的两正根，

设

，则

，

令

，则

，

当

时，

，所以

在

上单调递增，又

，

所以，当

时，

，

；当

时，

，

，

所以函数

在

上单调递减，在

上单调递增，

又因为

，所以

，即

，

所以a的取值范围是

；

（ⅱ）证明：

结合（ⅰ）可知

，

因为

，所以

，

所以

，所以

，又由（ⅰ）知

，

所以

；

下面先证明不等式

，

设

，则

，

所以，当

时，

，

在

上单调递减，

所以，

，所以不等式

成立，

因为

，

是

的两个根，所以

，又

，

所以

，即

，

设函数

，对称轴

，

因为

，且

，

，

，

所以函数

有两个不同的零点，记为

，

，且

，

因为

，且

，

，

所以

，

因为

在

上单调递减，且

，所以

；

因为

在

上单调递增，且

，所以

；

所以

，所以

，

因为

，

又

，所以

，

所以

，

综上，

．

【点睛】

关键点点睛：

本题

（2）问（ii）小题证明的关键是，利用

，进行放缩可得

，从而可证

；再利用

，进行放缩可得

，从而构造二次函数

，利用根的分布即可证明

.

5．

（1）当

时，函数

在

上单调递增，在

上单调递减；当

时，

在

上单调递增；

（2）1个.

【解析】

【分析】

（1）利用导数求函数的单调区间得解；

（2）求出

，再对

分奇数和偶数两种情况讨论得解.

（1）

解：

由已知，得

．

①当

时，

，

．

由

，得

；由

，得

．

因此，当

时，函数

在

上单调递增，在

上单调递减．

②当

时，

，

．

因为

在

恒成立，且只有当

时，

，

所以

在

上单调递增．

（2）

解：

由

，

得

．

当

为偶数时，

在

恒成立，且只有当

时，

，

所以

在

上单调递增．因为

，所以

有唯一零点

．

当

为奇数时，由

，得

；由

，得

．

因此，

在

上单调递增，在

上单调递减．

因为

，所以

有唯一零点

．

综上，函数

有唯一零点

，即函数

的零点个数为1．

6．

（1）详见解析；

（2）详见解析；

【解析】

【分析】

（1）由

，得到

，然后求导

求解；

（2）令

，求导

，分

，

，

，

讨论求解.

（1）

解：

当

时，

，

所以

，令

，得

，

当

时，

，当

时，

，

所以

是函数

的极小值点；

（2）

当

时，令

，

则

，

当

时，

时，

，

时，

，

所以当

时，

取得极小值，且

，

，

当

，即

，函数

的图象与函数

的图象无公共点；

当

，即

时，函数

的图象与函数

的图象有1个公共点；

当

，即

时，函数

的图象与函数

的图象有2个公共点；

当

，即

，函数

的图象与函数

的图象有1个公共点；

当

，即

时，

或

时，

，

时，

，

所以当

时，

取得极大值，当

时，

取得极小值，且

，

，

因为

恒成立，

所以函数

的图象与函数

的图象只有1个公共点；

当

，即

时，

恒成立，

所以

在

上递增，所以函数

的图象与函数

的图象有1个公共点；

当

，即

时，

或

时，

，

时，

，

所以当

时，

取得极大值，当

时，

取得极小值，且

，

，

因为

，

，

恒成立，

所以

的图象与函数

的图象只有1个公共点.

综上：

当

时，函数

的图象与函数

的图象无公共点；

当

或

或

时，

的图象与函数

的图象只有1个公共点；

当

时，函数

的图象与函数

的图象有2个公共点.

7．

（1）

（2）

（3）

；证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据题意，

，分别求出

和

求解即可；

（2）条件等价于

，令

求解最大值即可；

（3）令

，求出

的单调性，得到

，

根据题意求解

的范围即可；不妨设

，则

，

，

题设即证明

成立，构造

，

求解单调性得到

即可求解.

（1）

当

时，

，所以

，

，所以

，

所以曲线

在

处的切线方程为：

，即

（2）

由题意得，

，因为

在其定义域内恒成立，

所以

在

恒成立，即

在

恒成立，

等价于

，令

，所以

，

令

解得

，令

解得

，所以函数

在

单调递增，

在

单调递减，所以

，所以

，即

，故

的最小值为

.

（3）

先证明必要性：

由

得

，即

，

令

，则

，

设