高中数学必修4三角函数知识点归纳总结经典.docx
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高中数学必修4三角函数知识点归纳总结经典
三角函数》
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应用
一、任意角的概念与弧度制
1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角
.专业资料可编
逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角
2、同终边的角可表示为■----畦60?
k・Z
x轴上角:
汇一k|j80?
kZ
y轴上角:
:
-90kl80?
kZ
3、第一象限角：
】0k[^60「：
：
90k_3601kZ
第二象限角：
190：
k[360：
：
:
180k3601kZ
第三象限角：
L180：
k[360：
：
-：
270k^601kZ
第四象限角：
匸270k[36^-:
:
360k卫60』k・Z
4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角
第一象限角：
匕0k[360：
：
：
：
：
90k_3601kZ
锐角：
10：
：
：
—：
：
90：
小于90的角：
厂「：
：
：
90：
?
a
2
JI
an
2k二
k~<
k二
4
22
3
k=1,一
ca<
4
2，
5、若〉为第二象限角，那么一为第几象限角？
环
一•2k二"：
：
2
jijt
k=0,-
42
a
所以一在第一、1
2
6、弧度制：
弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad.
兀180°
7、角度与弧度的转化：
10.01745157.30=5718
180兀
8、角度与弧度对应表
角度
f
O
O
0
30
45
60
901
120
135
150
180
360
弧度
0
2兀
3兀
竺
7T
2兀
6
4
3
2
3
4
6
9、弧长与面积计算公式
弧长：
dR;面积：
R2,注意：
这里的：
•均为弧度制
22
2、三角函数值对应表
度
0“
30c
45：
60“
90
120c
135s
150s
180c
270*
360
弧度
0
31
JI
n
2n
3兀
5兀
ji
3兀
2兀
6
4
3
2
3
4
6
2
sin。
0
1
至
鱼
1
旻
42
1
0
1
0
2
2
2
2
2
2
42
cos«
1
返
鱼
1
0
1
2
卫
-1
0
1
2
2
2
2
2
tana
0
乜
1
无
-1
主
0
无
0
3
3
3、三角函数在各象限中的符号
口诀：
一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为全stc”）
4、三角函数线
tan：
/二塑二a!
=a「
xOMOA
我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。
5、同角三角函数基本关系式
22
sin•工"cos1
sina口‘
tantancot：
=1
cos：
2
（sinj】cosj）12sin_：
icos：
2
（sin：
-cosj）1-2sin二cos：
（sin爲'cos：
sin：
-cos：
sin：
•cos〉,三式之间可以互相表示）
6、诱导公式
m+a
口诀：
奇变偶不变，符号看象限（所谓奇偶指的是2一中整数n的奇偶性，把〉看作锐
角）
①•公式
（一）：
〉与：
」2k：
k•Z
sin（工112k二）二sin：
；cos（="2^：
）二cos：
；tan（x'2k二）二tan：
2•公式
（二）：
〉与-：
'
sin「--sin：
；cos「-cos；tan--tan：
3•公式（三）：
〉与■:
■■
sin二：
--sin：
；cos二：
--cos：
；tan二；-tan：
4•公式（四）：
〉与二-〉
sin■:
--■-sin：
；cos二-：
--cos：
；tan■:
--■--tan：
5•公式（五）：
〉与一•：
•
2
sincos二；cossin二；
22
6.公式（六）：
_:
匚与一-.-.:
2
fn）fji
sin—_：
二cos、£；cos—一：
二sin、£；22
7.公式（七）
sin主*「cos：
；cos空：
=sin：
；
2；2；
8
.公式（八）
三、三角函数的图像与性质
1、将函数y=sinx的图象上所有的点，向左（右）平移|勒个单位长度，得到函数
y=sinx亠‘：
j的图象；再将函数y=sinx」'j的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）
1
到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y二sin■■:
-■:
的图象；再将函数
co
y二sin「x川。
？
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），
得到函数y=Asin「x亠门］的图象。
2、函数y=Asin'-x^'S.A0^0的性质：
一2兀1⑷川
①振幅：
A;②周期：
T;③频率：
f;④相位：
■'X—；⑤初相：
蛍T2兀
\
3、周期函数：
一般地，对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足fx，T=fx，那么函数fx就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.
4、⑴y=Asin「x对称轴：
令x—，得x=2
„k兀一①kn（p
对称中心：
•*；帰=k二，得x,（,0）（kZ）;
©3
kj[_cp
⑵y=Acos（x）对称轴：
令x:
，得x=
co
31j,.3T
k兀十一一①kn+—一®
对称中心：
曲=k,得x2—,（2一,0）（匕Z）；
2：
.■'.■：
.■'.■
⑶周期公式：
A丸）.
②函数y=Atan®x+°啲周期T=二（A、3、®为常数，且A丸）.
5、三角函数的图像与性质表格
函「
y=sinx
y=cosx
y=tanx
性质、
数
Jy
J
y
L
l>.iiI
9
j\
图
/
1
»
1
J\;
J\->
i\k22Ji
/
*V/
您5
0
\!
y*
（j
X/孑
\
1
1
像
*
'[
i
1
1
h
疋
义
R
R
（〈XI
X式如■
51十一,ke
2
1z、
J
域
值
1-1,1]
1-1,1]
R
域
最
当
x
JI
=2k^+—（k€Z）
2
、
当x
=2k兀（k^Z）时，
时，ymax=1；
=1；当x=2k兀+兀
RFT-rl曰./古rLt十曰.十[、/古
ymax
既尢最大值也无最小值
值
TT
当
x
=2k2（“Z）
（k-
Z）时，ymin=T•
时，『min=-1-
周
期
性
2兀
2兀
JI
奇
偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
在|一=+2k兀，=+2kn：
l
122」（k乏Z）上是增函数；
亠「兀3兀
在；|一+2",—+2kn
122」
（k€z）上是减函数.
在［一兀十2kir,2k兀】（k乏Z）
上是增函数；
在I2k兀，2k兀+兀］（keZ）
上是减函数.
亠『JIJI
在k兀——,kn+—
122丿
（k乏Z）上是增函数.
对
称
性
对称中心（k.OXk€Z）
对称轴x=k兀+》（k€z）
2
对称中心
f兀）
k兀+—,0gZ）
12丿
对称轴x=k兀（k乏Z）
fkqX-|
对称中心1—,0l（k^Z）
12/:
无对称轴
6.五点法作y二Asin「'x'的简图，设t=x，取0、一、二、—、2来求相
22
应x的值以及对应的y值再描点作图
7.y=Asin（「x」：
）的的图像
苗尸山心+卩）
1
横坐标伸长（01）?
|J原来的二倍
纵坐标不变
纵坐标伸长（AA1）或缩短（Or槿坐标不变”
第二种变换：
1
•初坐标伸长（01）到原来的石倍廿一品
=sinx匚►y-smajx
纵坐标不变
图象向左（倂>0）或
一,y=sin（@tr+e）
向右（卩<0）平移旦个单位
横坐标不变
纵坐标伸长〔41）或缩短（O8.函数的变换：
（1）函数的平移变换
1目二f（x）—y=f（x-a）（a0）将y=f（x）图像沿x轴向左（右）平移a个单位
（左加右减）
2y=f（x）、、二f（x）-b（b0）将y=f（x）图像沿y轴向上（下）平移b个单位
（上加下减）
（2）函数的伸缩变换:
1y=f（x）、丫二f（wx）（w0）将y=f（x）图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的
1一
倍（w1缩短，0：
：
：
w:
:
:
1伸长）
w
2y二f（x）>y=Af（x）（A0）将y二f（x）图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来
的A倍（A1伸长，0：
：
：
A：
：
：
1缩短）
（3）函数的对称变换
①y=f（x）'y=f（-x））将y=f（x）图像绕y轴翻折180°整体翻折）
（对三角函数来说：
图像关于x轴对称）
2y二f（x）—；y二-f（x）将y二f（X）图像绕x轴翻折180°整体翻折）
（对三角函数来说：
图像关于y轴对称）
3y=f（x）ty=f（x）将y=f（x）图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴
翻折到左侧（偶函数局部翻折）
4y=f（x）—；y=f（x）保留y二f（x）在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折
上去（局部翻动）
四、三角恒等变换
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
（1）sin（二，■-'）〜n：
cos：
sin：
cos:
（2）sin（；、一：
）=sin：
cos；-sin：
cos-
⑶cos（'■）二cos：
cos-sin：
sin:
（4）cos（）二cos：
cos：
sin：
sin-
tantanP
（5）tan（二亠P）tan=tan--tan「卩i1tantan
1-tan^tanP
tantanP
（6）tan（二」■■■■）tan：
-「tan：
二taIT1tan：
tan:
1+tanatanP
⑺asin「bcos〉=••.a2•b2sin（「'）（其中，辅助角「所在象限由点（a,b）所在的象限
决定⑸宀島,宀命,3吩，该法也叫合一变形）.
（8）
=tan（—）
4
1-tan：
1tan^
2.二倍角公式
（1）sin2a=2sinacosa
2222
（2）
cos2a=cosa-sina=1-2sina=2cosa-1
（3）
3.降幕公式：
21cos2a
cosa二
（1）
4.升幕公式
.21-cos2a
（2）sina二
2
2a
（2）1-cos：
=2sin—2
22
（4）1=sin二“cos:
2口
（1）1cos：
=2cos—
2
（3）1二sin：
=（sincos—）
22
aa
（5）sin：
-2sincos—
22
g
5.半角公式（符号的选择由一所在的象限确定）
2
（1）
sin—cosa
22
cos旦
1cosa
丄a
1
-cosa
sina
1-cosa
tan—二
1
2
1
cosa
1cosa
sina
（2）
1-tan—
（2）COS：
=—
2a
1tan—
2
6.万能公式
（）sin:
a
2tan—
2
2tanl
7.三角变换：
三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活
运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。
（1）
角的变换：
角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加
删除角的恒等变形
函数名称变换：
三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。
采用公式：
asin日+bcos=Ja1+b2sin®其中cos—__asi2b
J产書’w2+b2
=sinx.3cosx
j22*（.3）2
sinx:
——
J12+（V3）2
cosx）
TlTL
xcos—cosxsin—）
33
（3）注意“凑角”
ji
cosf匸）=?
（4）常数代换：
在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数
别是常数1”可转化为sin2a+cos2a”
（5）幕的变换:
对次数较高的三角函数式一般采用降幕处理，有时需要升幕例如：
.1cosa常用升幕化为有理式。
（6）公式变形：
三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。
（7）结构变化：
在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移
、分解因式、配方
项，或变乘为除，或求差等等。
在形式上有时需要和差与积的互化
等。
（8）消元法：
如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法
（9）思路变换:
如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去
选择更合适、简捷的方法去解题目。
（10）利用方程思想解三角函数。
如对于以下三个式子：
sina■cosa，sinacosa
sina-cosa，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。
8.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：
1y=asinxb（或acosxb）型：
利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论
2y=asinxbcosx型：
弓I进辅助角化成y二.a2•b2sin（x•「）再利用有界性
3y=asin2x+bsinx+c型：
配方后求二次函数的最值,应注意sinx兰1的约束
4y=_b型：
反解出sinx,化归为sinx兰1解决
csinx+d
⑥y=a（sinx'cosx）'bsinxcosx'c型：
常用到换元法：
t=sinx，cosx,但须
注意t的取值范围：
t<42。
.ABCsincos—
22
9•三角形中常用的关系：
sinA二sin（BC）,
sin2A=「sin2（BC）,
cosA--cos（BC）,coQA二coQ（BC）
常见数据
sin15二cos75二一^62,sin75二cos15二一62
44
tan15"=2-、..3,tan75‘=2.、3,
2a
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