《31任意角和弧度制及任意角的三角函数》教案.docx
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《31任意角和弧度制及任意角的三角函数》教案
适用学科
适用区域
知识点
教学目标
任意角和弧度制及任意角的三角函数
数学适用年级高三
新课标课时时长（分钟）60
任意角的概念；象限角的概念及表示；同终边角的概念及表示
弧度的概念；角度与弧度的互化；扇形的弧长和面积公式
任意角的三角函数的定义；任意角的三角函数的的求法
三角函数值在各个象限的符号；诱导公式一（同终边角）；有向线段与三角函数线
1.了解任意角的概念．
2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．
3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．
教学重点
教学难点
三角函数的定义及应用，三角函数值符号的确定
三角函数的定义及应用
教学过程
一、课堂导入
在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！
尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．
我们利用以前学的角的范围是0°≤α≤180°，你还能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？
二、复习预习
1．初中我们已经学习过角，那么初中对角的定义是什么呢？
所谓角就是________________．
2．角按大小进行分类，可分为锐角、钝角和直角．锐角的范围为________，钝角的范围为________，直角的度数
为________．
三、知识讲解
考点1角的有关概念
角的特点角的分类
从运动的角度看角可分为正角、负角和零角
从终边位置来看可分为象限角和轴线角
β＝α＋k·360°（k∈Z）（或β＝α＋k·2，πk∈
α与β角的终边相同
Z）
考点2弧度的概念与公式
在半径为r的圆中
分类
1弧度的角
角α的弧度数公式
角度与弧度的换
算
弧长公式
扇形的面积公式
定义（公式）
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的
角，用符号rad表示
l
|α|＝r（弧长用l表示）
π180
①1°＝180rad②1rad＝π°
弧长l＝|α|r
112
S＝2lr＝2|α|r·
考点3
任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P（x，y），那么
定义
y叫做α的正弦，记
x叫做α的余
y
x叫做α的正切，记作
作sinα
弦，记作cosα
tanα
Ⅰ
正
正
正
Ⅱ
正
负
负
各象限
负
负
正
Ⅲ
符号
负
正
负
Ⅳ
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函数线
有向线段MP为正弦
有向线段OM
有向线段AT为正切
线
为余弦线
线
四、例题精析
【例题1】
【题干】
（1）已知角α＝2kπ－
π
，若角θ与角α的终边相同，则
＝
sinθ
＋
|cosθ|
tanθ
∈
Z）
＋
的值为（）
5（k
y
|sinθ|
cosθ
|tanθ|
A．1
B．－1
C．3
D．－3
（2）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
π
【解析】
（1）选B由α＝2kπ－5（k∈Z）及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角
θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0.
因此，y＝－1＋1－1＝－1.
（2）选B∵点P（tanα，cosα）在第三象限，
tanα＜0，
∴∴α是第二象限角.
cosα＜0，
【例题2】
【题干】已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．
【解析】∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
∴在角α的终边上任取一点P（4t，－3t）（t≠0），则x＝4t，y＝－3t，
r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|.
当t＞0时，即x>0时，r＝5t，sinα＝y＝
－3t＝－
3，cosα＝x＝4t＝
4，tanα＝y＝
－3t
＝－
3；
r
5t
5
r
5t
5
x
4t
4
y
－3t
3
x
4t
4
y
－3t
3
当t＜0时，即x<0时，r＝－5t，sinα＝r
＝－5t＝5，cosα＝r＝－5t
＝－
5，tan
α＝x＝4t
＝－
4.
综上可知，当角α的终边在直线
3x＋4y＝0的x>0部分时，sinα＝－3，cosα＝4，tanα＝－
3；
5
5
4
3
4
3
当角α的终边在直线3x＋4y＝0的x<0部分时，sinα＝5，cosα＝－
5，tanα＝－
4.
【例题3】
【题干】已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10，
（1）求弦AB所对的圆心角α的大小；
（2）求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
【解析】
（1）如图所示，过O作OC⊥AB于点C，则AC＝5，在Rt△ACO中，
AC51
sin∠AOC＝AO＝10＝2，
∴∠AOC＝30°，∴α＝2∠AOC＝60°.
π
（2）∵60°＝3，
10π
∴l＝|α|r＝3.
1
1
10π
50π
S扇＝
2lr＝2×
3×10＝
3.
1
π
又S△AOB＝2×10×10sin
3＝25
3，
∴S
＝S
－SAOB＝
50π
3＝50
π
3
弓形
扇
3
－25
3－
2.
△
【例题4】
【题干】
如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2,1）时，OP的坐标为________．
【答案】（2－sin2,1－cos2）
π
π
【解析】因为圆心移动的距离为
2，所以劣弧PA＝2，即∠PCA＝2，则∠PCB＝2－2，所以PB＝sin2－2＝－cos2，
CB＝cos2－
π
2
＝sin2，所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，所以OP＝（2－sin2，1－cos2）．
五、课堂运用
【基础】
1．若α＝k·180°＋45°（k∈Z），则α在（）
A．第一或第三象限B．在第一或第二象限
C．第二或第四象限D．在第三或第四象限
解析：
选A当k为偶数时，α的终边与45°角的终边相同，是第一象限角平分线；当k为奇数时，α的终边与45°
角的终边在同一条直线上，是第三象限角平分线．
2．已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是（）
A．（－2,3]B．（－2,3）
C．[－2,3）D．[－2,3]
3a－9≤0，
解析：
选A由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以有
a＋2＞0，
即－2＜a≤3.
2π
3．点P从（1,0）出发，沿单位圆逆时针方向运动
3弧长到达Q点，则Q点的坐标为（）
1
3
3
1
A.－2，2
B.－2，－
2
1
3
3
1
C.－2，－2
D.－2，2
解析：
选
A
由三角函数定义可知
Q点的坐标
（x，y）满足
2π12π
x＝cos3＝－2，y＝sin3＝
3
2.
【巩固】
y
4．若点P（x，y）是300°角终边上异于原点的一点，则x的值为________．
y
解析：
x＝tan300＝tan（360°
－°60°）＝－tan60
＝－°
3.
答案：
－
3
4
5．已知角α的终边过点P（－8m，－6sin30），°且cosα＝－5，则m的值为________．
解析：
∵r＝
64m2＋9，∴cosα＝
－8m
4
2
＝－5，
64m
＋9
∴m＞0，∴
4m2
1
1
＝，∴m＝±.
64m2＋9
25
2
1
∵m＞0，∴m＝2.
答案：
1
2
【拔高】
6．已知一扇形的圆心角为α（α＞0），所在圆的半径为R.若扇形的周长是一定值C（C＞0），当α为多少弧度时，该扇
形有最大面积？
解：
∵扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，
∴R＝C
，
2＋α
∴S扇
1α·2
1α·
C
2
＝2
R
＝2
2
＋α
C2
α·
1
C2
1C2
＝2
2＝
2
·
≤
416，
4＋4α＋α
4＋α＋α
2
C2
当且仅当α＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值16.
7．角α终边上的点P与A（a,2a）关于x轴对称（a＞0），角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·cosα＋
sinβ·cosβ＋tanα·tanβ的值．
解：
由题意得，点P的坐标为（a，－2a），点Q的坐标为（2a，a）．
所以，sinα＝
－2a
＝－
2
，
2
－2a
2
5
a＋
cosα＝
a
＝
1
，
5
a2＋－2a
2
tanα＝
－2a
＝－，
a
2
sinβ＝
a
＝1
，
a
2＋a2
5
cosβ＝
2a
＝
2
，
a
2＋a2
5
a1
tanβ＝2a＝2，
故有sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ
－2
1
1
2
1
＝
·＋
·＋（－2）×＝－1.
5
5
5
5
2
课程小结
1.对任意角的理解
（1）“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是
{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°<α（2）终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．
2．三角函数定义的理解
三角函数的定义中，当
P（x，y）是单位圆上的点时有
sin
α＝y，cosα＝x，tan
y
α＝x，但若不是单位圆时，如圆的半
径为
r，则
yxy
sinα＝r，cosα＝r，tanα＝x.
这就像我们身处喧嚣的闹市，却在渴望山清水秀的僻静之地。
心若静，何处都是水云间，都是世外桃源，都是僻静之所，心若浮躁，不管你居所何处，都难宁静。
其实，很多人惧怕喧嚣，却又怕极了孤独，人实在是矛盾的载体。
然而，人的最高境界，就是孤独。
受得了孤独，忍得了寂寞，扛得住压力，才能成为生活的强者，才不会因为生活的暗礁而失去对美好事物的追求。
常常喜欢静坐，没有人打扰，一个人，也有一个人的宿醉。
面对这喧嚣尘世，安静下来的时光，才是最贴近心底的那一抹温柔，时光如水，静静流淌。
即便独自矗立夜色，不说话，也很美。
这恬淡时光，忘却白日的伤感，捡起平淡，将灵魂在宁静的夜色里放空。
回头看看曾经走过的路，每一个脚印，都是丰富而厚重的，是对未来的希望，是对生活的虔诚。
我们都是生活里的平凡之人，不管一天中多么努力，多么辛苦，老天总是会给你时不时的开个玩笑，可能有些玩笑，来的有点猛，有点不知所措，但是又怎么样呢？
你要知道，人的能力和智慧是无穷的。
面对生活的暗礁，我们只能用坦然的心态去接受它，然后尽量去改变它，让它激起生命的浪花。
即使改变不了，只要努力了，就不言后悔。
有时候，难过了，想哭就哭出来，哭又不是罪，哭完了继续努力，总有一天，时间会告诉你，你的眼泪是不会白流的。
没有苦难的人生，它一定是不完美的。
生命里，没有一帆风顺，总有一些看不见的暗礁等着你，既然注定要撞上，那就努力寻找岸的方向。
只要不放弃，一定有抵达岸边的希望，若选择放弃，那么岸依然是岸，死神只会离你越来越近。
能和灾难抗衡，能珍惜生命的人，那么他的人生一定不会太灰暗。
只要你不放弃自己，生活就不会放弃你，成功的希望就会被实现。
凡事成功的人，经历生活的暗礁，那是必然途径。
生命路上的灾难和创伤，会让你更好的前进。
行走尘世间，保持好心态，一切都有可能被改变，当别人在为你呐喊助威时，自己千万不要放弃，不要半途而废，前功尽弃。
只要坚持，生命一定会被你改写。
人生何其短，千万不要让过往和未来，羁绊住今天的心情，应该尊重生命，珍惜时光，活好每一天。
林清玄说：
“今天扫完今天的落叶，明天的树叶不会在今天掉下来，不要为明天烦恼，要努力地活在今天这一刻。
”还有一句话叫，昨天的太阳晒不干今天的衣裳。
假若有人问，你的一生有多长？
请告诉他，只有三天，昨天，今天和明天。
在这三天的生命里，昨天我们已经浪费掉了，明天不一定属于你，那你的时间就只有今天，所以不珍惜今天的人，就不配拥有明天。
这就像我们身处喧嚣的闹市，却在渴望山清水秀的僻静之地。
心若静，何处都是水云间，都是世外桃源，都是僻静之所，心若浮躁，不管你居所何处，都难宁静。
其实，很多人惧怕喧嚣，却又怕极了孤独，人实在是矛盾的载体。
然而，人的最高境界，就是孤独。
受得了孤独，忍得了寂寞，扛得住压力，才能成为生活的强者，才不会因为生活的暗礁而失去对美好事物的追求。
常常喜欢静坐，没有人打扰，一个人，也有一个人的宿醉。
面对这喧嚣尘世，安静下来的时光，才是最贴近心底的那一抹温柔，时光如水，静静流淌。
即便独自矗立夜色，不说话，也很美。
这恬淡时光，忘却白日的伤感，捡起平淡，将灵魂在宁静的夜色里放空。
回头看看曾经走过的路，每一个脚印，都是丰富而厚重的，是对未来的希望，是对生活的虔诚。
我们都是生活里的平凡之人，不管一天中多么努力，多么辛苦，老天总是会给你时不时的开个玩笑，可能有些玩笑，来的有点猛，有点不知所措，但是又怎么样呢？
你要知道，人的能力和智慧是无穷的。
面对生活的暗礁，我们只能用坦然的心态去接受它，然后尽量去改变它，让它激起生命的浪花。
即使改变不了，只要努力了，就不言后悔。
有时候，难过了，想哭就哭出来，哭又不是罪，哭完了继续努力，总有一天，时间会告诉你，你的眼泪是不会白流的。
没有苦难的人生，它一定是不完美的。
生命里，没有一帆风顺，总有一些
看不见的暗礁等着你，既然注定要撞上，那就努力寻找岸
的方向。
只要不放弃，一定有抵达岸边的希望，若选择放弃，那么岸依然是岸，死神只会离你越来越近。
能和灾难抗衡，能珍惜生命的人，那么他的人生一定不会太灰暗。
只要你不放弃自己，生活就不会放弃你，成功的希望就会被实现。
凡事成功的人，经历生活的暗礁，那是必然途径。
生命路上的灾难和创伤，会让你更好的前进。
行走尘世间，保持好心态，一切都有可能被改变，当别人在为你呐喊助威时，自己千万不要放弃，不要半途而废，前功尽弃。
只要坚持，生命一定会被你改写。
人生何其短，千万不要让过往和未来，羁绊住今天的心情，应该尊重生命，珍惜时光，活好每一天。
林清玄说：
“今天扫完今天的落叶，明天的树叶不会在今天掉下来，不要为明天烦恼，要努力地活在今天这一刻。
”还有一句话叫，昨天的太阳晒不干今天的衣裳。
假若有人问，你的一生有多长？
请告诉他，只有三天，昨天，今天和明天。
在这三天的生命里，昨天我们已经浪费掉了，明天不一定属于你，那你的时间就只有今天，所以不珍惜今天的人，就不配拥有明天。
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