中心极限定理的应用研究.docx
《中心极限定理的应用研究.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中心极限定理的应用研究.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
中心极限定理的应用研究
毕业论文
摘要1
引言3
1.中心极限定理的相关知识3
1.1中心极限定理的提出3
1.2两个常用的中心极限定理3
2.中心极限定理的应用举例4
2.1中心极限定理求概率问题4
2.2中心极限定理解参数问题9
3.分析与总结14
参考文献16
致谢17
中心极限定理的应用研究
摘要：
概率论与数理统计是数学的一个特色且又十分活跃的一个分支，由于近年来突飞猛进的发展与其应用的广泛性，目前已成为一门独立一级学科，其方法也广泛应用于工业、农业、管理、军事与科学技术中.
大数定律和中心极限定理作为概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带，在数理统计中是非常重要的一章内容.它提出，大量独立随机变量之和具有近似于正态的分布，因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验呈现出钟形（即正态分布）曲线这一事实，因此，中心极限定理的应用范围越来越广阔，应用实例越来越多，同时，这也促使正态分布得到了更广泛的应用.
关键词：
概率论;中心极限定理;正态分布
'Application
AResearchofCentral-limitTheorem
Abstract:
ProbabilityandMathematicalStatisticsisacharacteristicandveryactivebranchofmathematics.Afteryearsofadvaneerapiddevelopmentandextensiveapplicationofit,nowithasbecomeanindependentfirstgradesubject.Itsmethodisalsowidelyusedinindustry,agriculture,management,militaryandscientifictechnology.
Asanimportantlinkbetweenprobabilityandmathematicalstatistics,
thelawoflargenumbersandcentral-limittheoreminmathematicalstatisticsisaveryimportantchapter.Itputsforwardthatthesumofmanyindependentrandomvariablesissimilartothenaturaldistribution.Therefore,itnotonlyprovidesasimpleideatocalculatetheapproximateprobabilityofindependentrandomvariables,butalsohelpspeopletoexplainwhytheshapeofmanynaturalgroups'experieneepresentabell（i.e.naturaldistribution）curve.Therefore,theapplicationrangeofthecentral-limittheoremismoreandmorewideandapplicationexamples
becomemoreandmore.And,atthesametime,italsoencouragesthenaturaldistributiongetmoreextensiveapplication.
Keywords:
Probability;Central-limitTheorem;NaturalDistribution
引言
概率论与数理统计中，常见而又最重要的分布之一就是正态分布.在实际生活与生产应用等方面，很多的随机变量都是服从正态分布的•另外,哪怕原来有
些随机变量，它们并不服从于正态分布，只要它们之间保持相互独立，那么它们和的分布也总是近似服从于正态分布.那么，自然要有了这样一个问题：
正态分布为什么存在地如此广泛呢？
其在概率论中为何占有如此重要的地位呢？
大量的
随机现象产生的这一客观规律性又应如何解释呢？
事实上，这正是客观实际的反映，中心极限定理就是概率论中论证随机变量和的极限的分布为正态分布的定理的总称.
1.中心极限定理的相关知识
1.1中心极限定理的提出
18世纪，自棣莫佛首先提出中心极限定理以来，时至今日，其内容已经变得
非常丰富•中心极限定理已经不再只是概率论中的重要内容，而且在数理统计中，作为大样本统计推断的理论基础，它也发挥着巨大的作用•某种随机现象很可能是在非常多的因素印象下造成的，若这些影响因素之间保持彼此相互独立性，那么，这些因素所累积起来的影响将会使此随即现象的分布趋近于正态分布.
而这就是中心极限定理要证明的东西•由中心极限定理，我们可知，在一般的情
n
况下，当n足够大时，n个独立随机变量的和aXi的极限分布总是服从正态分布
id
的,而不论这些独立随机变量Xi（i=1,2,，）彼此是服从于什么分布.因此，它不仅解释了为何在现实中，那么多的数量指标的分布都服从或近乎于似服从正态分布这一确凿的事实，而且还提供给了人们一个计算独立随机变量之和的近似极限概率分布的简单而有效的方法，这对于生产生活的意义是非常深远的•
1.2两个常用的中心极限定理
根据不同的假设条件，中心极限定理有多个，其中最常用的两个为：
列维-
林德伯格（Levy-Lindeberg）中心极限定理和棣莫佛-拉普拉斯（DeMoivre-Laplace）中心极限定理.
定理1列维-林德伯格（Levy—Lindeberg）定理（独立同分布的中心极限定
理）
设CXn?
是独立同分布的随机变量序列，且E（XJ-」•，Vary（Xj）*2.0.
记
Y；=X1X2川Xn-Z
则对任意实数y,有
此定理只假设｛Xn｝独立同分布、方差不存在，不管原来的分布是什么，只
要n充分大，就可以用正态分布去逼近.
定理2棣莫佛-拉普拉斯（DeMoivre-Laplace）中心极限定理
设重伯努利试验中,事件A在每次试验中出现的概率为p（0：
：
：
p■1）,记Jn为n次试验中事件A出现的次数，且记
Y*=匕二nP
n^npq
则对任意实数y,有
2.中心极限定理的应用举例
中心极限定理在生活中各个方面的应用非常广泛，特别是两个主要的中心极限定理.本文将首先给出几个具体的应用两个主要中心极限定理解决实际生活问题的例子.
2.1中心极限定理求概率问题
中心极限定理在社会生活中的应用
由于人口的持续不断增长以及男女比例的严重失调，政府部门已经慢慢开始采取各种各样的措施进行预防.在这之前，对新生婴幼儿的性别进行判断和统计
是很有必要，而中心极限定理在这方面就能体现出它独特的作用.
例设男孩的出生率为0.515,求在10000个新生的婴儿中女孩数目不少于男孩数目的概率是多少？
解法1:
设X为10000个新生婴儿中男孩的数目，则X〜BQ0000515），要
求女孩数目不少于男孩数目的概率，即求P{X乞5000）.
由棣莫佛-拉普拉斯定理可得
解法2:
fLccc、z5000—10000汉0.515、
P{X5000）：
）J10000X0.515x0.485
=：
：
」（-3）=1-门（3）=0.00135
设X为10000孩的数目，令
1第i个为男孩
X（i=1,2,1,10000）
i.第i个为女孩
1
10000
则X八，Xi，且X1,X2」I（,X10000独立且同分布,
i生
」=E（Xi）=10。
150（1-0.515）0（1-0.515）=0.515
22222
二二D（XJ=E（Xj）-（E（XJ）=10.515-0.515=0.249775
则女孩数目不少于男孩数目的概率为P{X乞5000}
由列维-林德伯格中心及限定理有
X-100000.5155000-100000.515、
P（X±5000）=P（.）
J10000汉0.249775J10000沢0.249775
0.00135.
:
严-10000°.515）,,「3）
•100000.249775
即在10000个新生婴儿中，女孩数目不少于男孩数目的概率大约为0.00135.
中心极限定理在保险业务中的应用
保险行业可以说是应用概率与统计知识最频繁的一个领域了，人口数据、意
外因素估计、保险金额、赔付比例等等，这些都是经过分析统计才能得出的结果此处本文将通过两个典型的保险实例来说明中心极限定理在这一领域中的应用
例1某家保险公司此次有10000个人参与了人寿保险,平均每人每年付30元保险金.据调查统计，一年之内有一个人死亡的概率大约为0.2%,而此后，死者家属可向保险公司申请领取5000元的慰问金，请问：
（1）该保险公司有多大的概率可能在这个项目上亏本？
（2）该保险公司一年内有多大的概率在这个项目上获利不少于150000元?
解：
⑴若一年内死亡的人数设为X，则X~B（n,p），其中，n-10000，
p=0.2%.
设保险公司一年内的利润为丫，
Y=1000030-5000X
因此，由棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理
（1）P{Y：
：
：
0HP{1000030—5000X：
：
：
0}
=1一PX乞60
=1-申（8.95）
=0
（其中,
因此该保险公司几乎不会因为该项目而亏本
⑵由题意可知，即求
P（y-150000）=P（（1000030-5000-150000）=P（X乞30）
因此，由棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，上式可表为
”门（2.24）=0.9874
即该保险公司一年内将有98.74%的可能于该项目中获得不少于150000元的利润.
例2有一种100000张同类型保险单据的组合，设被保人的损失相互之间保
持独立，并且保单规定被保会员将从保险人员处获得所发生损失80%比例保险）
的赔付金额，另设保险期之内，所有可能的损失服从以下分布:
X
0
50
200
500
1000
10000
P（X=x）
0.30
0.10
0.10
0.20
0.20
0.10
试确定一定的安全附加保险费，使得所收的保护费用总金额不低于理赔总金额的概率概率至少为95%.
100000
解：
设L二、Xi为损失变量，则理赔变量为
i4
100000
S=0.8L=0.8'Xi
i=4
另设安全附加费率为0,则保险费用总额为G=（1「）E（S），按题意有
P{S辽（1可E（S）}-95%
将S标准化处理有
S_E（S）^E（S）
P{}-95%
.D（S）、D（S）
按照题意以及中心极限定理，可知理赔总金额S的分布能用正态分布来近似，即
因为
E（S）=1060100000
D（S）=5439120100000
故而安全附加费为
E（S）=1.645.5439120100000=1213193.9
中心极限定理在商业营销中的应用
商业营销也是一个需要用到概率统计知识的领域.对大量的数据进行统计分析,判断市场形势，进而做出最优的决策.这就是中心极限定理在商业营销中的重要作用.
例设有某一汽车销售点，其每天售出的汽车数目服从参数为怎=2的泊松分布，若其每天的销量之间是相互独立的，这样按照一年365天,每天都经营汽车销售的话，求其能以多大的概率一年售出至少700辆汽车.
解：
设第i天出售的汽车的数量为i，则一年的总销量为
'1J365
由E（J=D（J=2，有
E（）=3652=730
700-730
730
利用两个常用的中心极限定理可得
P（700）=1—P（空700）1-门（
=1-门（-1.11）
二0.8665
由此例，我们可以看到，中心极限定理揭示了连续随机变量与离散随机变量的内在关系，即离散随机变量的极限分布是正态分布.
当然，中心极限定理不仅具有其生活实际的使用价值，对于解决纯理论的数学问题，证明数学等式也有其独到的使用价值，以下就是一个用中心极限定理证明极限等式的典型例证.
中心极限定理在理论数学方面的应用
中心极限定理对纯数学问题的证明与解答等也能起到特定的作用.
例利用中心极限定理的方法证明
证明：
设｛Xi｝为独立同分布的随机变量序列，它们均服从以■=1为参数的
泊松分布，分布律为
p（x]=k）=^r=e^，kmH
分布，并且E（Y）二n,D（Y）二n.
于是由独立同分布的中心极限定理可知
1=limP（Y乞n）=limPCX^in）
2
k!
n一乩：
nF：
j4i
2.2中心极限定理解参数问题
中心极限定理在军事方面的应用
炮弹、火箭发射过程中会受到各种各样不可预料因素的影响，这些因素非常
之多,然而这却又几乎无法单独预估，但是如果放任不管，一丝一毫的差错都将可能会造成灾难性的后果.而为了有效控制这些因素的影响，就需要使用到中心极限定理.
例请用中心极限定理说明在正常的射击情况下炮弹的射程分布是或者近似于正态分布.
解：
设理论射程为a，实际射程'，那么为实际射程相对于理论射程的偏差为一-a，显然有丄a，故只需要证明〜Np，二2）.在实际的射击中，由于存在着非常多的不可控制、不断变化的随机因素在造成影响，因而造成了实际射程相对于理论射程存在偏差的结果，若由炮身振动引起的射击偏差为\;由炮弹外形差异引起的射击偏差为；；由炮弹内部火药成分差异引起的射击偏差为
n
3；由射击时气流的差异引起的射击偏差为4，?
n，?
.显然有i.
id
由于实际上这些影响射程的因素是非常大量的，故而这里的n很大甚至于无穷，而且这些因素之间彼此相互独立，例如炮弹的外形、炮身的振动、气流的变化、火药的成分这些因素之间都基本没什么关系（或者可能存在及其微弱的关系），因此我们将1，2，|，n看作是相互独立的随机变量•
另外，由于一般在射击时，那些对射击有显著性影响的条件一定会得到恰当有效的控制，因此可以将这里的1，；，|，；所起的作用看作是微乎其微的.
由中心极限定理，有
2
〜N（・i,二）
由于可以为正，也可以为负，且其机会相等，故而
—0,〜N（0,二2）
则
匕+a〜N（0,▽2）
中心极限定理在能量方面的应用
在能量问题越来越需要得到重视的现在，中心极限定理也发挥了不可磨灭的作用.它在能量分布、分配与估计方面起到的作用是任何其他的数学方法所不能比拟的.
例设某车间有同型号机床200部，每部机床以0.7概率开动，假定每部机床开动时需要消耗掉15个电能单位，且各机床之间开动与否互不影响•问：
要保证至少有95%勺概率不会因为供电不足而影响生产的话，至少应该供应多少个单位的电能？
分析：
显然，如果该车间能得到3000（200X15）单位的电能供应，则车间的生产必将得到保证，而不会因为供电不足造成不能正常生产的问题，但是每部机床
在同一个时段内可能有30%勺概率是停止开动的，因此，可以考虑一个问题：
是否能适当减少车间的供电量，在节省能源的前提下，同时又能保证至多有不超过5%的概率此车间会其因供电多的不足而停止生产.
解：
设总共200部机床中有X部同时开动，那么
X〜B（200,0.7）
E（X）=140,D（X）=42
则由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理知其分布近似于N（140,42）的正态分布，再设存正整数k,满足不等式
P（X乞k）一0.95,
即同时有k部以上开动的概率非常小，解之得，
X-140k-140冬k—140
P（X^k）二P（）P（）「：
」（）_0.95
424242
查表并计算可知
口_1.64
6.48
k_150.63
只需要为151部机床供应所需的2265单位电能就能保证最多只有5%勺概率会因供电不足而导致车间的生产受到影响.
中心极限定理在学校生活中的应用
一个简单却实际的水房拥挤类问题，说明了中心极限定理的应用其实充斥在我们生活中的各个方面.
例假设某学校的新校区只有一个开水房，但共有学生即教职工5000人,由于每个傍晚前来打开水的人特别多，因此同学排队成长龙的现象时有发生，因此该校学生会向后勤集团申请增设部分水龙头.设后勤集团经过统计调查，发现每到傍晚，一般每个学生只有1%勺时间可能要占用一个水龙头，现已有45个水龙头，因此，现在总务处面临的问题是：
（1）在装这批新水龙头之前，拥挤概率到底是多少？
（2）至少需要装多少水龙头，才能保证拥挤的概率不会超过5%?
解：
（1）设X为5000名学生中同一时刻需要占用水龙头的人数，则
X~B（5000,0.01）
拥挤概率为
45
p（X45）=1—P（0乞X乞45）=1-'c5ooo0.01k0.995°皿
k=0
由棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理
故而
=0.2389
即，拥挤概率为
P（X45）1-0.2389=0.7611
（2）设至少需装m个水龙头，若要求m,使得
P（0乞X空45）_0.95
即
m「500「50
讥）？
讥）-0.95
7.047.04
由于
0-50
■＞（）=：
」（7.09）：
0
7.04
即
m-50、
：
：
」（）-0.95
7.04
查表可得
m「50
1.645
7.04
即
m-61.6
故至少还需装62个水龙头.
从中可以看到，如果一个随机变量能表示成大量独立随机变量的和，并且其
中每个随机变量所起的作用都很微小，则这个随机变量服从或近似服从正态分布，这将给我们的计算带来很大的方便.
中心极限定理在工厂管理中的应用
中心极限定理在产品装箱问题上的应用，又一次印证了中心极限定理在工厂车间的管理中所起到的巨大作用.
例某生产线生产的产品，每箱的重量随机，要求成箱包装，假设平均每
箱重量为50千克,其标准差为5千克,若承运的汽车最大载重量为5吨,请用中心极限定理说明若要保证不超载的概率大于0.977,每辆车最大装箱数为多
少才好.
分析：
首先我们可知每箱的重量是一个随机变量Xi,这点由“每箱的重量
随机”这句话可得，且
2
E（XJ=50,D（XJ=5i（1,2川|,n）
其中箱数为n,显然，它们是随机变量，而且恰是独立同分布的，则
n
瓦丿-50n
52n
近似服从于N（0,1）,从而完全可以利用中心极限定理来解决此类独立同分
布的问题.
解：
设装运的第i箱的重量为Xj（i=1,2,|山n）（单位：
千克），n是所求的箱
数，，由条件知可以把X!
，X2，?
，Xn看作独立且同分布的随机变量，而n箱的总重量为
n
「八Xi
i=1
由条件知
E（XJ=50,D（XJ=52
E（「）=50n,D（Tn）=52n
由列维——林德伯格中心极限定理，Tn近似服从于正态分布N（50n,25n），由
Tn-50n、5000-50n
P（「=5000P（七）2——
5n5n
：
：
」（1000一伽）
n
0.977
儿⑵
得到
1000-10nc
2
n
从而n:
:
98.0199,即最多可以装98箱.
3.分析与总结
文至于此，我们可以看出，中心极限定理不论是在理论数学领域还是在实际
应用当中都能发挥出其巨大的作用，这也是中心极限定理得以广泛应用的根本原因•当然，这些例子主要是针对服从0-1分布和泊松分布的总体的讨论，但更一般的，不论X服从什么分布？
在总体X中抽取一个大样本，（Xi,X2“|,Xn）,（n_30）那么样本均值
近似服从于正态分布
N（E（X）,J
n
X-E（X）
D（X）
n
近似服从于标准正态分布
N（0,1）,D（X）即使未知,我们同样可以利用样本
方差
N（0,1），所以，在D（X）已知的情况下，总体均值E（X）置信度1的置信区间即
在D（X）未知的情况下,E（X）的置信度1-〉的置信区间为
在实际问题中，如果所研究问题为大样本问题，我们同样也就可以利用常用中心极限定理对其进行统计分析，对总体中的某些参数进行推断估计
由此可见，中心极限定理在现实生活中的应用是非常广泛的，是概率论中的
核心内容，学会使用中心极限定理对我们的学习和生活是很有帮助的•
参考文献
[1]茆诗松，程伊明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[MD.北京：
高等教育出版社，2010:
23-29.
[2]谢永钦.概率论与数理统计[MC.北京：
北京邮电大学出版社，2009:
18-36.
[3]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[MC.北京：
高等教育出版社，2001:
44-189.
[4]魏文元.概率论与数理统计[MC.天津：
天津教育出版社.2006:
89-94.
⑸李恒琦.非寿险精算[MD.成都：
西南财经大学出版社.2004:
29-54.
⑹苏淳.概率论[M[.北京：
科学出版社，2010:
4-68.
[7]丁正生.概率论与数理统计简明教程]M.北京：
高等教育出版社，2005:
27-49.
[8]曹汝成.组合数学[M].广东：
华南理工大学出版社，2000:
34-36.
[9]范金城，周家，钱昌本.概率论[M].西安:
西安交通大学出版社.1987:
105-130.
[10]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京:
高等教育出版社.2008:
45-99.
[11]孙清华,欧贵兵.实用概率论与数理统计学[M].湖南:
湖南大学出版社.2001:
38-42.
[12]钟颖.关于抽屉原理[J].成都教育学院学报，2003,5
（1）,3-4.
[13]朱华伟，符开广.抽屉原理[J].数学通讯，2006,7
（2）,67-68.
[14]Pitman.J.（美）Probability[M].WorldPublishingCompany.2009:
67-99.
[15]Ross.S.M.（美）AFirstCourseinProbability[M].PostsandTelecomPress.
2009:
38-41.
致谢
四年的读书生活将在这个季节即将划上一个句号，而对于我的人生,这却仅仅只是一个
逗号，我的前面,将又是一段全新的征程.四年寒窗，在师长、同学对
升级会员 