新课标全国2卷.docx

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新课标全国2卷

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

1．（5分）（2018•新课标Ⅱ）=（　　）

A．iB．C．D．

2．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A中元素的个数为（　　）

A．9B．8C．5D．4

3．（5分）（2018•新课标Ⅱ）函数f（x）=的图象大致为（　　）

A．B．C．D．

4．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•

（2）=（　　）

A．4B．3C．2D．0

5．（5分）（2018•新课标Ⅱ）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（　　）

A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x

6．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（　　）

A．4B．C．D．2

7．（5分）（2018•新课标Ⅱ）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（　　）

A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4

8．（5分）（2018•新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（　　）

A．B．C．D．

9．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（　　）

A．B．C．D．

10．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（　　）

A．B．C．D．π

11．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f

（1）=2，则f

（1）+f

（2）+f（3）+…+f（50）=（　　）

A．﹣50B．0C．2D．50

12．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（　　）

A．B．C．D．

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）（2018•新课标Ⅱ）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为　　．

14．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　　．

15．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=　　．

16．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为　　．

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17．（12分）（2018•新课标Ⅱ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值．

18．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：

亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：

=﹣+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：

=99+．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由．

19．（12分）（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：

y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

20．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．

（1）证明：

PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

21．（12分）（2018•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ex﹣ax2．

（1）若a=1，证明：

当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：

坐标系与参数方程]

22．（10分）（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．

[选修4-5：

不等式选讲]

23．（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）

参考答案与试题解析

　一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D；2．A；3．B；4．B；5．A；6．A；7．B；8．C；9．C；10．A；11．C；12．D；

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．y=2x；14．9；15．；16．40π；

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2018•新课标Ⅱ）=（　　）

A．iB．C．D．

【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．

【解答】解：

==+．

故选：

D．

2．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A中元素的个数为（　　）

A．9B．8C．5D．4

【分析】分别令x=﹣1，0，1，进行求解即可．

【解答】解：

当x=﹣1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，

当x=0时，y2≤3，得y=﹣1，0，1，

当x=1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，

即集合A中元素有9个，

故选：

A．

3．（5分）（2018•新课标Ⅱ）函数f（x）=的图象大致为（　　）

A．B．C．D．

【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．

【解答】解：

函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），

则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，

当x=1时，f

（1）=e﹣＞0，排除D．

当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，

故选：

B．

4．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•

（2）=（　　）

A．4B．3C．2D．0

【分析】根据向量的数量积公式计算即可．

【解答】解：

向量，满足||=1，=﹣1，则•

（2）=2﹣=2+1=3，

故选：

B．

5．（5分）（2018•新课标Ⅱ）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（　　）

A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x

【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可．

【解答】解：

∵双曲线的离心率为e==，

则=====，

即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，

故选：

A．

6．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（　　）

A．4B．C．D．2

【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．

【解答】解：

在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，

BC=1，AC=5，则AB====4．

故选：

A．

7．（5分）（2018•新课标Ⅱ）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（　　）

A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4

【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T，

由此知空白处应填入的条件．

【解答】解：

模拟程序框图的运行过程知，

该程序运行后输出的是

S=N﹣T=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）；

累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2．

故选：

B．

8．（5分）（2018•新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（　　）

A．B．C．D．

【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．

【解答】解：

在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，

从中选2个不同的数有=45种，

和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，

则对应的概率P==，

故选：

C．

9．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（　　）

A．B．C．D．

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值．

【解答】解：

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，

AA1=，

∴A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），

B1（1，1，），

=（﹣1，0，），=（1，1，），

设异面直线AD1与DB1所成角为θ，

则cosθ===，

∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．

故选：

C．

10．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（　　）

A．B．C．D．π

【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．

【解答】解：

f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，

由，k∈Z，

得，k∈Z，

取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，

由f（x）在[﹣a，a]是减函数，

得，∴．

则a的最大值是．

故选：

A．

11．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f

（1）=2，则f

（1）+f

（2）+f（3）+…+f（50）=（　　）

A．﹣50B．0C．2D．50

【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．

【解答】解：

∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），

∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，

则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），

即函数f（x）是周期为4的周期函数，

∵f

（1）=2，

∴f

（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f

（1）=﹣2，

f（4）=f（0）=0，

则f

（1）+f

（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，

则f

（1）+f

（2）+f（3）+…+f（50）=12[f

（1）+f

（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）

=f

（1）+f

（2）=2+0=2，

故选：

C．

12．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（　　）

A．B．C．D．

【分析】求得直线AP的方程：

根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．

【解答】解：

由题意可知：

A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），

直线AP的方程为：

y=（x+a），

由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），

代入直线AP：

c=（2c+a），整理得：

a=4c，

∴题意的离心率e==．

故选：

D．

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）（2018•新课标Ⅱ）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为　y=2x　．

【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

【解答】解：

∵y=2ln（x+1），

∴y′=，

当x=0时，y′=2，

∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．

故答案为：

y=2x．

14．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　9　．

【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

【解答】解：

由x，y满足约束条件作出可行域如图，

化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，

由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值，

由，解得A（5，4），

目标函数有最大值，为z=9．

故答案为：

9．

15．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=　　．

【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin（α+β）=﹣1，可得结果．

【解答】解：

sinα+cosβ=l，

两边平方可得：

sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，

cosα+sinβ=0，

两边平方可得：

cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，

由①+②得：

2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，

∴2sin（α+β）=﹣1．

∴sin（α+β）=．

故答案为：

．

16．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为　40π　．

【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积．

【解答】解：

圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，可得sin∠AMB==．

△SAB的面积为5，

可得sin∠AMB=5，即×=5，即SA=4．

SA与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为：

=2．

则该圆锥的侧面积：

π=40π．

故答案为：

40π．

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17．（12分）（2018•新课标Ⅱ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值．

【分析】

（1）根据a1=﹣7，S3=﹣15，可得a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差数列{an}的公差，然后求出an即可；

（2）由a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，得Sn===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，由此可求出Sn以及Sn的最小值．

【解答】解：

（1）∵等差数列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15，

∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，

∴an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；

（2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，

∴Sn===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，

∴当n=4时，前n项的和Sn取得最小值为﹣16．

18．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：

亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：

=﹣+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：

=99+．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由．

【分析】

（1）根据模型①计算t=19时的值，根据模型②计算t=9时的值即可；

（2）从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较，

即可得出模型②的预测值更可靠些．

【解答】解：

（1）根据模型①：

=﹣+，

计算t=19时，=﹣+×19=；

利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是亿元；

根据模型②：

=99+，

计算t=9时，=99+×9=；．

利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是亿元；

（2）模型②得到的预测值更可靠；

因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，

而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，

从2010年到2016年间递增的幅度较大些，

所以，利用模型②的预测值更可靠些．

19．（12分）（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：

y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

【分析】

（1）方法一：

设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程；

方法二：

根据抛物线的焦点弦公式|AB|=，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程；

（2）根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．

【解答】解：

（1）方法一：

抛物线C：

y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；

设直线AB的方程为：

y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，整理得：

k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，

由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：

k2=1，则k=1，

∴直线l的方程y=x﹣1；

方法二：

抛物线C：

y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：

sin2θ=，

∴θ=，则直线的斜率k=1，

∴直线l的方程y=x﹣1；

（2）过A，B分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，过D作DD1⊥准线l，垂足为D，则|DD1|=（|AA1|+|BB1|）

由抛物线的定义可知：

|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4，

以AB为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为AB的中点D，

由

（1）可知：

x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，

则D（3，2），

过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．．

20．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．

（1）证明：

PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

【分析】

（1）利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC，PO⊥OB即可；

（2）根据二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到结论．

【解答】解：

（1）证明：

∵AB=BC=2，O是AC的中点，

∴BO⊥AC，且BO=2，

又PA=PC=PB=AC=2，

∴PO⊥AC，PO=2，

则PB2=PO2+BO2，

则PO⊥OB，

∵OB∩AC=O，

∴PO⊥平面ABC；

（2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：

A（0，﹣2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），

=（﹣2，2，0），

设=λ=（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1

则=﹣=（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）=（2﹣2λ，2λ+2，0），

则平面PAC的法向量为=（1，0，0），

设平面MPA的法向量为=（x，y，z），

则=（0，﹣2，﹣2），

则•=﹣2y﹣2z=0，•=（2﹣2λ）x+（2λ+2）y=0

令z=1，则y=﹣，x=，

即=（，﹣，1），

∵二面角M﹣PA﹣C为30°，

∴cos30°=|=，

即=，

解得λ=或λ=3（舍），

则平面MPA的法向量=（2，﹣，1），

=（0，2，﹣2），

PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ=|cos＜，＞|=||==．

21．（12分）（2018•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ex﹣ax2．

（1）若a=1，证明：

当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．

【分析】

（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，

（2）分离参数可得a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．结合图象即可求得a．

【解答】证明：

（1）当a=1时，函数f（x）=ex﹣x2．

则f′（x）=ex﹣2x，

令g（x）=ex﹣2x，则g′（x）=ex﹣2，

令g′（x）=0，得x=ln2．

当∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，

∴h（x）≥h（ln2）=eln2﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0，

∴f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1，

解：

（2），f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程ex﹣ax2=0在（0，+∞）只有一个根，

⇔a=在（0，+∞）只有一个根，

即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．

G，

当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，

∴G（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递增，

当→0时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞，

∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G

（2）=．

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：

坐标系与参数方程]

22．（10分）（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方