新课标全国2卷.docx
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新课标全国2卷
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
1.(5分)(2018•新课标Ⅱ)=( )
A.iB.C.D.
2.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z),则A中元素的个数为( )
A.9B.8C.5D.4
3.(5分)(2018•新课标Ⅱ)函数f(x)=的图象大致为( )
A.B.C.D.
4.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知向量,满足||=1,=﹣1,则•
(2)=( )
A.4B.3C.2D.0
5.(5分)(2018•新课标Ⅱ)双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( )
A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x
6.(5分)(2018•新课标Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=( )
A.4B.C.D.2
7.(5分)(2018•新课标Ⅱ)为计算S=1﹣+﹣+…+﹣,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入( )
A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+4
8.(5分)(2018•新课标Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )
A.B.C.D.
9.(5分)(2018•新课标Ⅱ)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
10.(5分)(2018•新课标Ⅱ)若f(x)=cosx﹣sinx在[﹣a,a]是减函数,则a的最大值是( )
A.B.C.D.π
11.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知f(x)是定义域为(﹣∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f
(1)=2,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=( )
A.﹣50B.0C.2D.50
12.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:
=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(5分)(2018•新课标Ⅱ)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .
14.(5分)(2018•新课标Ⅱ)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为 .
15.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知sinα+cosβ=l,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)= .
16.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为 .
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)(2018•新课标Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=﹣7,S3=﹣15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
18.(12分)(2018•新课标Ⅱ)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:
亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:
=﹣+;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:
=99+.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由.
19.(12分)(2018•新课标Ⅱ)设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
20.(12分)(2018•新课标Ⅱ)如图,在三棱锥P﹣ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:
PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M﹣PA﹣C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
21.(12分)(2018•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=ex﹣ax2.
(1)若a=1,证明:
当x≥0时,f(x)≥1;
(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
[选修4-4:
坐标系与参数方程]
22.(10分)(2018•新课标Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
[选修4-5:
不等式选讲]
23.(2018•新课标Ⅱ)设函数f(x)=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D;2.A;3.B;4.B;5.A;6.A;7.B;8.C;9.C;10.A;11.C;12.D;
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.y=2x;14.9;15.;16.40π;
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)(2018•新课标Ⅱ)=( )
A.iB.C.D.
【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可.
【解答】解:
==+.
故选:
D.
2.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z),则A中元素的个数为( )
A.9B.8C.5D.4
【分析】分别令x=﹣1,0,1,进行求解即可.
【解答】解:
当x=﹣1时,y2≤2,得y=﹣1,0,1,
当x=0时,y2≤3,得y=﹣1,0,1,
当x=1时,y2≤2,得y=﹣1,0,1,
即集合A中元素有9个,
故选:
A.
3.(5分)(2018•新课标Ⅱ)函数f(x)=的图象大致为( )
A.B.C.D.
【分析】判断函数的奇偶性,利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可.
【解答】解:
函数f(﹣x)==﹣=﹣f(x),
则函数f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除A,
当x=1时,f
(1)=e﹣>0,排除D.
当x→+∞时,f(x)→+∞,排除C,
故选:
B.
4.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知向量,满足||=1,=﹣1,则•
(2)=( )
A.4B.3C.2D.0
【分析】根据向量的数量积公式计算即可.
【解答】解:
向量,满足||=1,=﹣1,则•
(2)=2﹣=2+1=3,
故选:
B.
5.(5分)(2018•新课标Ⅱ)双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( )
A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x
【分析】根据双曲线离心率的定义求出a,c的关系,结合双曲线a,b,c的关系进行求解即可.
【解答】解:
∵双曲线的离心率为e==,
则=====,
即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,
故选:
A.
6.(5分)(2018•新课标Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=( )
A.4B.C.D.2
【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值,利用余弦定理转化求解即可.
【解答】解:
在△ABC中,cos=,cosC=2×=﹣,
BC=1,AC=5,则AB====4.
故选:
A.
7.(5分)(2018•新课标Ⅱ)为计算S=1﹣+﹣+…+﹣,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入( )
A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+4
【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T,
由此知空白处应填入的条件.
【解答】解:
模拟程序框图的运行过程知,
该程序运行后输出的是
S=N﹣T=(1﹣)+(﹣)+…+(﹣);
累加步长是2,则在空白处应填入i=i+2.
故选:
B.
8.(5分)(2018•新课标Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )
A.B.C.D.
【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数,利用古典概型的概率公式进行计算即可.
【解答】解:
在不超过30的素数中有,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,
从中选2个不同的数有=45种,
和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17),共3种,
则对应的概率P==,
故选:
C.
9.(5分)(2018•新课标Ⅱ)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值.
【解答】解:
以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1,
AA1=,
∴A(1,0,0),D1(0,0,),D(0,0,0),
B1(1,1,),
=(﹣1,0,),=(1,1,),
设异面直线AD1与DB1所成角为θ,
则cosθ===,
∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
故选:
C.
10.(5分)(2018•新课标Ⅱ)若f(x)=cosx﹣sinx在[﹣a,a]是减函数,则a的最大值是( )
A.B.C.D.π
【分析】利用两角和差的正弦公式化简f(x),由,k∈Z,得,k∈Z,取k=0,得f(x)的一个减区间为[,],结合已知条件即可求出a的最大值.
【解答】解:
f(x)=cosx﹣sinx=﹣(sinx﹣cosx)=,
由,k∈Z,
得,k∈Z,
取k=0,得f(x)的一个减区间为[,],
由f(x)在[﹣a,a]是减函数,
得,∴.
则a的最大值是.
故选:
A.
11.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知f(x)是定义域为(﹣∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f
(1)=2,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=( )
A.﹣50B.0C.2D.50
【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4,结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可.
【解答】解:
∵f(x)是奇函数,且f(1﹣x)=f(1+x),
∴f(1﹣x)=f(1+x)=﹣f(x﹣1),f(0)=0,
则f(x+2)=﹣f(x),则f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),
即函数f(x)是周期为4的周期函数,
∵f
(1)=2,
∴f
(2)=f(0)=0,f(3)=f(1﹣2)=f(﹣1)=﹣f
(1)=﹣2,
f(4)=f(0)=0,
则f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)=2+0﹣2+0=0,
则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=12[f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)
=f
(1)+f
(2)=2+0=2,
故选:
C.
12.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:
=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
【分析】求得直线AP的方程:
根据题意求得P点坐标,代入直线方程,即可求得椭圆的离心率.
【解答】解:
由题意可知:
A(﹣a,0),F1(﹣c,0),F2(c,0),
直线AP的方程为:
y=(x+a),
由∠F1F2P=120°,|PF2|=|F1F2|=2c,则P(2c,c),
代入直线AP:
c=(2c+a),整理得:
a=4c,
∴题意的离心率e==.
故选:
D.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(5分)(2018•新课标Ⅱ)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x .
【分析】欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
【解答】解:
∵y=2ln(x+1),
∴y′=,
当x=0时,y′=2,
∴曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x.
故答案为:
y=2x.
14.(5分)(2018•新课标Ⅱ)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为 9 .
【分析】由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.
【解答】解:
由x,y满足约束条件作出可行域如图,
化目标函数z=x+y为y=﹣x+z,
由图可知,当直线y=﹣x+z过A时,z取得最大值,
由,解得A(5,4),
目标函数有最大值,为z=9.
故答案为:
9.
15.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知sinα+cosβ=l,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)= .
【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,再利用两角和差的正弦公式化简为2sin(α+β)=﹣1,可得结果.
【解答】解:
sinα+cosβ=l,
两边平方可得:
sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1,①,
cosα+sinβ=0,
两边平方可得:
cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0,②,
由①+②得:
2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,即2+2sin(α+β)=1,
∴2sin(α+β)=﹣1.
∴sin(α+β)=.
故答案为:
.
16.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为 40π .
【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长,利用直线与平面所成角求解底面半径,然后求解圆锥的侧面积.
【解答】解:
圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,可得sin∠AMB==.
△SAB的面积为5,
可得sin∠AMB=5,即×=5,即SA=4.
SA与圆锥底面所成角为45°,可得圆锥的底面半径为:
=2.
则该圆锥的侧面积:
π=40π.
故答案为:
40π.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)(2018•新课标Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=﹣7,S3=﹣15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
【分析】
(1)根据a1=﹣7,S3=﹣15,可得a1=﹣7,3a1+3d=﹣15,求出等差数列{an}的公差,然后求出an即可;
(2)由a1=﹣7,d=2,an=2n﹣9,得Sn===n2﹣8n=(n﹣4)2﹣16,由此可求出Sn以及Sn的最小值.
【解答】解:
(1)∵等差数列{an}中,a1=﹣7,S3=﹣15,
∴a1=﹣7,3a1+3d=﹣15,解得a1=﹣7,d=2,
∴an=﹣7+2(n﹣1)=2n﹣9;
(2)∵a1=﹣7,d=2,an=2n﹣9,
∴Sn===n2﹣8n=(n﹣4)2﹣16,
∴当n=4时,前n项的和Sn取得最小值为﹣16.
18.(12分)(2018•新课标Ⅱ)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:
亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:
=﹣+;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:
=99+.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由.
【分析】
(1)根据模型①计算t=19时的值,根据模型②计算t=9时的值即可;
(2)从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较,
即可得出模型②的预测值更可靠些.
【解答】解:
(1)根据模型①:
=﹣+,
计算t=19时,=﹣+×19=;
利用这个模型,求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是亿元;
根据模型②:
=99+,
计算t=9时,=99+×9=;.
利用这个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是亿元;
(2)模型②得到的预测值更可靠;
因为从总体数据看,该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的,
而从2000年到2009年间递增的幅度较小些,
从2010年到2016年间递增的幅度较大些,
所以,利用模型②的预测值更可靠些.
19.(12分)(2018•新课标Ⅱ)设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
【分析】
(1)方法一:
设直线AB的方程,代入抛物线方程,根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值,即可求得直线l的方程;
方法二:
根据抛物线的焦点弦公式|AB|=,求得直线AB的倾斜角,即可求得直线l的斜率,求得直线l的方程;
(2)根据过A,B分别向准线l作垂线,根据抛物线的定义即可求得半径,根据中点坐标公式,即可求得圆心,求得圆的方程.
【解答】解:
(1)方法一:
抛物线C:
y2=4x的焦点为F(1,0),当直线的斜率不存在时,|AB|=4,不满足;
设直线AB的方程为:
y=k(x﹣1),设A(x1,y1),B(x2,y2),
则,整理得:
k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0,则x1+x2=,x1x2=1,
由|AB|=x1+x2+p=+2=8,解得:
k2=1,则k=1,
∴直线l的方程y=x﹣1;
方法二:
抛物线C:
y2=4x的焦点为F(1,0),设直线AB的倾斜角为θ,由抛物线的弦长公式|AB|===8,解得:
sin2θ=,
∴θ=,则直线的斜率k=1,
∴直线l的方程y=x﹣1;
(2)过A,B分别向准线x=﹣1作垂线,垂足分别为A1,B1,设AB的中点为D,过D作DD1⊥准线l,垂足为D,则|DD1|=(|AA1|+|BB1|)
由抛物线的定义可知:
|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,则r=|DD1|=4,
以AB为直径的圆与x=﹣1相切,且该圆的圆心为AB的中点D,
由
(1)可知:
x1+x2=6,y1+y2=x1+x2﹣2=4,
则D(3,2),
过点A,B且与C的准线相切的圆的方程(x﹣3)2+(y﹣2)2=16..
20.(12分)(2018•新课标Ⅱ)如图,在三棱锥P﹣ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:
PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角M﹣PA﹣C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
【分析】
(1)利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC,PO⊥OB即可;
(2)根据二面角的大小求出平面PAM的法向量,利用向量法即可得到结论.
【解答】解:
(1)证明:
∵AB=BC=2,O是AC的中点,
∴BO⊥AC,且BO=2,
又PA=PC=PB=AC=2,
∴PO⊥AC,PO=2,
则PB2=PO2+BO2,
则PO⊥OB,
∵OB∩AC=O,
∴PO⊥平面ABC;
(2)建立以O坐标原点,OB,OC,OP分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:
A(0,﹣2,0),P(0,0,2),C(0,2,0),B(2,0,0),
=(﹣2,2,0),
设=λ=(﹣2λ,2λ,0),0<λ<1
则=﹣=(﹣2λ,2λ,0)﹣(﹣2,﹣2,0)=(2﹣2λ,2λ+2,0),
则平面PAC的法向量为=(1,0,0),
设平面MPA的法向量为=(x,y,z),
则=(0,﹣2,﹣2),
则•=﹣2y﹣2z=0,•=(2﹣2λ)x+(2λ+2)y=0
令z=1,则y=﹣,x=,
即=(,﹣,1),
∵二面角M﹣PA﹣C为30°,
∴cos30°=|=,
即=,
解得λ=或λ=3(舍),
则平面MPA的法向量=(2,﹣,1),
=(0,2,﹣2),
PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ=|cos<,>|=||==.
21.(12分)(2018•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=ex﹣ax2.
(1)若a=1,证明:
当x≥0时,f(x)≥1;
(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.
【分析】
(1)通过两次求导,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明,
(2)分离参数可得a=在(0,+∞)只有一个根,即函数y=a与G(x)=的图象在(0,+∞)只有一个交点.结合图象即可求得a.
【解答】证明:
(1)当a=1时,函数f(x)=ex﹣x2.
则f′(x)=ex﹣2x,
令g(x)=ex﹣2x,则g′(x)=ex﹣2,
令g′(x)=0,得x=ln2.
当∈(0,ln2)时,h′(x)<0,当∈(ln2,+∞)时,h′(x)>0,
∴h(x)≥h(ln2)=eln2﹣2•ln2=2﹣2ln2>0,
∴f(x)在[0,+∞)单调递增,∴f(x)≥f(0)=1,
解:
(2),f(x)在(0,+∞)只有一个零点⇔方程ex﹣ax2=0在(0,+∞)只有一个根,
⇔a=在(0,+∞)只有一个根,
即函数y=a与G(x)=的图象在(0,+∞)只有一个交点.
G,
当x∈(0,2)时,G′(x)<0,当∈(2,+∞)时,G′(x)>0,
∴G(x)在(0,2)递增,在(2,+∞)递增,
当→0时,G(x)→+∞,当→+∞时,G(x)→+∞,
∴f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=G
(2)=.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
[选修4-4:
坐标系与参数方程]
22.(10分)(2018•新课标Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方