专题52 等差数列及其前n项和解析版.docx
《专题52 等差数列及其前n项和解析版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题52 等差数列及其前n项和解析版.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
专题52等差数列及其前n项和解析版
第五篇数列及其应用
专题5.2等差数列及其前n项和
【考试要求】
1.理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；
4.体会等差数列与一次函数的关系.
【知识梳理】
1.等差数列的概念
（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：
an＋1－an＝d（n∈N*，d为常数）.
（2）若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝a＋b.
2
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
（1）若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋（n－1）d.
（2）前n项和公式：
Sn＝na1＋n（n－1）d＝n（a1＋an）.
22
3.等差数列的性质
（1）通项公式的推广：
an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）.
（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an.
（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列.
（4）若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
Sn
（5）若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列
【微点提醒】
n也为等差数列.
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q（其中p，q为常数），则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性：
当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）.
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.（）
（2）等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.（）
（3）数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.（）
（4）等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.（）
【答案】
（1）√
（2）√（3）×（4）×
【解析】
（3）若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.
（4）若公差d＝0，则前n项和不是二次函数.
【教材衍化】
2.（必修5P46A2改编）设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于（）A.31B.32C.33D.34
【答案】B
【解析】由已知可得
a1＝26，
3
a1＋5d＝2，
5a1＋10d＝30，
8×7
解得
d＝－
∴S8＝8a1＋
，
3
d＝32.
2
3.（必修5P68A8改编）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝.
【答案】180
【解析】由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
【真题体验】
4.（2018·全国Ⅰ卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝（）
A.－12B.－10C.10D.12
【答案】B
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则3（3a1＋3d）＝2a1＋d＋4a1＋6d，即d＝－3a1.又a1＝2，∴d＝－3，
2
∴a5＝a1＋4d＝2＋4×（－3）＝－10.
5.（2019·上海黄浦区模拟）已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为（）
A.－3B.－5
2
C.－2D.－4
【答案】D
【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
a1＋d＝1，
a2＝1，
因为所以
5×4
S5＝－15，解得d＝－4.
5a1＋
d＝－15，
2
6.（2019·苏北四市联考）在等差数列{an}中，已知a3＋a8>0，且S9<0，则S1，S2，…，S9中最小的是.
【答案】S5
【解析】在等差数列{an}中，
∵a3＋a8>0，S9<0，
∴a5＋a6＝a3＋a8>0，S9＝9（a1＋a9）＝9a5<0，
2
∴a5<0，a6>0，
∴S1，S2，…，S9中最小的是S5.
【考点聚焦】
考点一等差数列基本量的运算
【例1】
（1）（一题多解）（2017·全国Ⅰ卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（）
A.1B.2C.4D.8
（2）（2019·潍坊检测）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝（）A.9B.10C.11D.15
【答案】
（1）C
（2）B
【解析】
（1）法一设等差数列{an}的公差为d，
（a1＋3d）＋（a1＋4d）＝24，
依题意得6a1＋6×5d＝48，所以d＝4.
2
法二等差数列{an}中，S6＝（a1＋a6）×6＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5，
2
又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，则d＝4.
（2）设等差数列{an}的公差为d，依题意得
S11＝11a1＋11×（11－1）d＝22，
a＝－33，
2
a4＝a1＋3d＝－12，
1
解得
d＝7，
∴am＝a1＋（m－1）d＝7m－40＝30，∴m＝10.
【规律方法】
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
【训练1】
（1）等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x＋2），…的第四项等于（）
A.3B.4C.log318D.log324
（2）（一题多解）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝.
【答案】
（1）A
（2）30
【解析】
（1）∵log3（2x），log3（3x），log3（4x＋2）成等差数列，
∴log3（2x）＋log3（4x＋2）＝2log3（3x），
∴log3[2x（4x＋2）]＝log3（3x）2，则2x（4x＋2）＝9x2，解之得x＝4，x＝0（舍去）.
∴等差数列的前三项为log38，log312，log318，
∴公差d＝log312－log38＝log33，
2
∴数列的第四项为log318＋log33＝log327＝3.
2
（2）法一设数列{an}的首项为a1，公差为d，
S3＝3a1＋3d＝6，
a1＝0，
由S3＝6，S4＝12，可得
所以S6＝6a1＋15d＝30.
解得
S4＝4a1＋6d＝12，
d＝2，
法二由{an}为等差数列，故可设前n项和Sn＝An2＋Bn，
S3＝9A＋3B＝6，
由S3＝6，S4＝12可得
A＝1，
S4＝16A＋4B＝12，
解得
B＝－1，
即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30.
考点二等差数列的判定与证明
【例2】（经典母题）若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn1＝0（n≥2），a1＝1.
－
2
1
（1）求证：
Sn成等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
【答案】见解析
【解析】
（1）证明当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，
－
得Sn－Sn－1＝－2SnSn
1，所以1－1＝2，
又1＝1＝2，
SnSn－1
S1a1
1
故Sn是首项为2，公差为2的等差数列.
（2）解由
（1）可得1＝2n，∴Sn＝1.
Sn2n
当n≥2时，
a＝S－S
＝1－1＝n－1－n＝－1.
nnn－1
2n
2（n－1）
2n（n－1）
2n（n－1）
当n＝1时，a1＝1不适合上式.
2
1，n＝1，
2
故an＝－1，n≥2.
2n（n－1）
【迁移探究1】本例条件不变，判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由.
【答案】见解析
【解析】因为an＝Sn－Sn－1（n≥2），an＋2SnSn－1＝0，所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0（n≥2）.
所以1－1＝2（n≥2）.
SnSn－1
又1＝1＝2，
S1a1
1
所以Sn是以2为首项，2为公差的等差数列.
所以1＝2＋（n－1）×2＝2n，故Sn＝1.
Sn
所以当n≥2时，a＝S－S
2n
＝
＝1－1－1，
nnn－1
2n2（n－1）
2n（n－1）
－1
－1
－1
11
－1－1
所以an＋1＝
2n（n＋1）
，又an＋1－an＝
－
2n（n＋1）
＝
2n（n－1）2n
n＋1
n－1＝
.
n（n－1）（n＋1）
所以当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是一个等差数列.
【迁移探究2】本例中，若将条件变为a1＝3，nan
5
＋1＝（n＋1）an＋n（n＋1），试求数列{an}的通项公式.
【答案】见解析
【解析】由已知可得an＋1＝an＋1，即an＋1－an＝1，又a1＝3，
ana3
n＋1n
n＋1n5
∴n是以
1＝为首项，1为公差的等差数列，
15
∴an＝3＋（n－1）·1＝n－2，∴an＝n2－2n.
n555
【规律方法】
1.证明数列是等差数列的主要方法：
（1）定义法：
对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.
（2）等差中项法：
验证2an－1＝an＋an－2（n≥3，n∈N*）都成立.
2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：
（1）通项公式：
an＝pn＋q（p，q为常数）⇔{an}是等差数列.
（2）前n项和公式：
Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.
【训练2】（2017·全国Ⅰ卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.
【答案】见解析
【解析】
（1）设{an}的公比为q，由题设可得
a1（1＋q）＝2，
解得
a1（1＋q＋q2）＝－6，
q＝－2，a1＝－2.
故{an}的通项公式为an＝（－2）n.
（2）由
（1）可得
a1（1－qn）2
2n＋1
Sn＝
1－q
＝－＋（－1）n.33
42n＋3－2n＋2
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－
＋（－1）n.
33
－2
＝23
＋（－1）n·
2n＋1
3＝2Sn，
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.考点三等差数列的性质及应用角度1等差数列项的性质
【例3－1】（2019·临沂一模）在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则a2＋a14的值为（）A.6B.12C.24D.48
【答案】D
【解析】∵在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，由等差数列的性质，a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，
∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48.
角度2等差数列和的性质
【例3－2】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于（）A.63B.45C.36D.27
【答案】B
【解析】由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2（S6－S3）＝S3＋（S9－S6），
得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，所以a7＋a8＋a9＝45.
【规律方法】
1.项的性质：
在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ap＋aq.
2.和的性质：
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
（1）S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；
（2）S2n－1＝（2n－1）an.
【训练3】
（1）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2015，S2015－S2009＝6，则S2019＝.
20152009
（2）（2019·荆州一模）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是（）A.15B.30C.31D.64
（3）等差数列{a}与{b}的前n项和分别为S和T，若Sn＝3n－2a7（）
nnnn
，则等于
Tn2n＋1b7
A.37
27
B.1914
C.3929
D.4
3
【答案】
（1）6057
（2）A（3）A
【解析】
（1）由等差数列的性质可得
Sn
n也为等差数列.
设其公差为d，则S2015－S2009＝6d＝6，∴d＝1.
故S2019S1
2015
2009
＝
2019
＋2018d＝－2015＋2018＝3，
1
∴S2019＝3×2019＝6057.
（2）由a3＋a4＋a5＝3及等差数列的性质，
∴3a4＝3，则a4＝1.
又a4＋a12＝2a8，得1＋a12＝2×8.
∴a12＝16－1＝15.
a1＋a13×13
a72a7a1＋a132
S13
（3）＝＝＝＝
b72b7
b1＋b13
b1＋b13×132
T13
37
3×13－2
＝＝.
2×13＋127
考点四等差数列的前n项和及其最值
【例4】（2019·衡水中学质检）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设a1>0，λ＝100，当n为何值时，数列
【答案】见解析
lg1
an的前n项和最大？
【解析】
（1）令n＝1，得λa2＝2S＝2a，a（λa－2）＝0，
1
因为a1≠0，所以a1＝2，
λ
1111
当n≥2时，2an＝2＋Sn，2an1＝2＋Sn1，
λλ
两式相减得2an－2an－1＝an（n≥2）.
所以an＝2an－1（n≥2），
从而数列{a}为等比数列，a＝a·2n－1＝2n
nn1.
λ
（2）当a>0，λ＝100时，由
（1）知，a＝2n，
1n
100
则bn＝lg1＝lg100＝lg100－lg2n＝2－nlg2，
an2n
所以数列{bn}是单调递减的等差数列，公差为－lg2，
所以b1>b2>…>b6＝lg100＝lg100>lg1＝0，
2664
当n≥7时，bn≤b7＝lg10027
所以数列
lg1
an的前6项和最大.
【规律方法】求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法：
（1）函数法：
利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn（a≠0），通过配方或借助图象求二次函数的最值.
（2）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求Sn的最值.
am≥0，
①当a1>0，d<0时，满足
am＋1≤0
的项数m使得Sn取得最大值为Sm（当am＋1＝0时，Sm＋1也为最大值）；
②当a1<0，d>0时，满足
am≤0，
的项数m使得Sn取得最小值为Sm（当am＋1＝0时，Sm＋1也为最小值）.
am＋1≥0
【训练4】
（1）等差数列{an}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a5＝5，Sn为数列{an}的前n项和，
Sn
则数列
n的前n项和取最小值时的n为（）
A.3B.3或4
C.4或5D.5
（2）已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为.
【答案】
（1）B
（2）110
【解析】
（1）由题意知
（a1＋2d）（a1＋14d）＝25，
a1＋4d＝5，
由d≠0，解得a1＝－3，d＝2，
na1＋n（n－1）d
∴Sn＝2＝－3＋n－1＝n－4，
nn
则n－4≥0，得n≥4，
∴数列
的前n项和取最小值时的n为3或4.
（2）因为等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，
Sn＝na1＋n（n－1）d＝20n－n（n－1）×2
22
n－212212
＝－n2＋21n＝－2＋2，
又因为n∈N*，所以n＝10或n＝11时，Sn取得最大值，最大值为110.
【反思与感悟】
1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n项和Sn＝An2＋Bn及通项an＝pn＋q来判断一个数列是否为等差数列.
2.等差数列基本量思想
（1）在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解.
（2）若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d.
若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.
（3）灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.
【易错防范】
1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d（n≥2）时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列.
2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.
【分层训练】
【基础巩固题组】（建议用时：
40分钟）
一、选择题
1.已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（）
A.100B.99C.98D.97
【答案】C
【解析】设等差数列{an}的公差为d，由已知，
9a1＋36d＝27，
得所以
a1＋9d＝8，
a1＝－1，d＝1，
所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98.
2.（2019·淄博调研）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a6＝9，则S11＝（）
a511S9
A.1B.－1C.2D.12
【答案】A
【解析】由于S11＝11a6＝11×9＝1.
S99a5911
111
3.（2019·中原名校联考）若数列{an}满足－
an＋1
＝d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为调和数列，已知数列xn
an
为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝（）
A.10B.20C.30D.40
【答案】B
11
【解析】依题意，1－1＝xn＋1－xn＝d，
xn＋1xn
∴{xn}是等差数列.
又x1＋x2＋…＋x20＝20（x1＋x20）＝200.
2
∴x1＋x20＝20，从而x5＋x16＝x1＋x20＝20.
4.（2019·北京海淀区质检）中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：
“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：
把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小
的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）
A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤
【答案】B
【解析】用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，
∴8a1＋8×7×17＝996，解之得a1＝65.
2
∴a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，S9－S5＝－4，则Sn取最大值时的n为（）
95
A.4B.5C.6D.4或5
【答案】B
【解析】由{an}为等差数列，得S9－S5＝a5－a3＝2d＝－4，
95
即d＝－2，
由于a1＝9，所以an＝－2n＋11，令an＝－2n＋11<0，得n>11，
2
所以Sn取最大值时的n为5.
二、填空题
6.已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为.
【答案】10
【解析】设项数为2n，则由S偶－S奇＝nd得，25－15＝2n解得n＝5，故这个数列的项数为10.
7.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝2anan＋1，则a6＝.
【答案】1
11
【解析】将an－an1＝2anan1两边同时除以anan1，1－1＝2.
＋＋＋
11
an＋1an
a
所以an是以＝1为首项，2为公差的等差数列，
1
所以1＝1＋5×2＝11，即a6＝1.
a611
8.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝.
【答案】200
【解析】依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10
＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋（10－1）d＝16＋9d，解得d＝8，因此S100＝10S10＋10×9d＝
10×16＋10×9
2
三、解答题
92
×
8＝200.
9
9.等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝[an]，求数列{bn}的前1
升级会员 