数学模型姜启源第四版答案.docx
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数学模型姜启源第四版答案
数学模型姜启源第四版答案
【篇一：
姜启源数学模型课后答案（3版）】
t>第二章
（1）（2008年9月16日）
1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们
要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）.按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;
（2）.1中的q值方法；
（3）.d’hondt方法：
将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,?
?
相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？
如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.
解：
先考虑n=10的分配方案，
3
p1?
235,p2?
333,p3?
432,?
pi?
1000.
i?
1
方法一（按比例分配）
q1?
p1n
3
?
2.35,q2?
p2n
3
?
3.33,q3?
p3n
3
?
4.32
?
i?
1
pi
?
i?
1
pi
?
i?
1
pi
分配结果为：
n1?
3,n2?
3,n3?
4方法二（q值方法）
9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：
n1?
2,n2?
3,n3?
4
第10个席位：
计算q值为q1?
235
2
2?
3
?
9204.17,q2?
333
2
3?
4
?
9240.75,q3?
432
2
4?
5
?
9331.2
q3最大，第10个席位应给c.分配结果为n1?
2,n2?
3,n3?
5
方法三（d’hondt方法）
此方法的分配结果为：
n1?
2,n2?
3,n3?
5
此方法的道理是：
记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）.
pini
pini
pini
是
每席位代表的人数，取ni?
1,2,?
从而得到的近.
中选较大者，可使对所有的i,尽量接
再考虑n?
15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：
2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.解：
设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.
考虑t到t?
?
t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?
（r?
wkn）2?
kdn,两边积分，得?
vdt?
2?
k?
（r?
wkn）dn
t
n
n
2
2
）?
t?
2?
rkv
n?
?
wkv
2
n.
2
第二章
（2）（2008年10月9日）
15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是?
，用量纲分析方法确定风车
获得的功率p与v、s、?
的关系.
解:
设p、v、s、?
的关系为f（p,v,s,?
）?
0，其量纲表达式为:
[p]=ml2t?
3,[v]=lt
量纲矩阵为：
?
2?
1?
?
?
?
3（p）
10?
1（v）
200（s）
?
3?
（l）
?
1（m）?
?
0?
（t）（?
?
1
[s]=l2,[?
]=ml?
3,这里l,m,t是基本量纲.
a=
齐次线性方程组为：
?
2y1?
y2?
2y3?
3y4?
0?
?
0?
y1?
y4
?
?
3y?
y?
012?
它的基本解为y?
（?
1,3,1,1）
由量纲pi定理得?
?
p?
1v3s1?
1，?
p?
?
v3s1?
1，其中?
是无量纲常数.16．雨滴的速度v与空气密度?
、粘滞系数?
和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：
运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系
数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.
解：
设v,?
?
g的关系为f（v,?
?
g）=0.其量纲表达式为[v]=lm0t-1，[?
]=l-3mt0，[?
]=mlt-2（lt-1l-1）-1l-2=mll-2t-2t=l-1mt-1，[g]=lm0t-2,其中l，m，t是基本量纲.
量纲矩阵为
?
1
?
0?
a=?
?
?
1
（v）
?
310（?
）
?
11?
1（?
）
1?
（l）
?
0（m）?
?
2?
（t）?
（g）
齐次线性方程组ay=0，即
?
y1-3y2-y3?
y4?
0
?
?
0?
y2?
y3
?
-y-y-2y?
0
34?
1
的基本解为y=（-3,-1,1,1）由量纲pi定理得?
?
v?
*
?
3
?
1
?
g.?
v?
?
?
g?
，其中?
是无量纲常数.
16．雨滴的速度v与空气密度?
、粘滞系数?
、特征尺寸?
和重力加速度g有关，其中粘
滞系数的定义是：
运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.
解：
设v,?
?
?
，g的关系为f（v,?
?
?
g）?
0.其量纲表达式为
[v]=lmt，[?
]=lmt，[?
]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[?
]=lmt，[g]=lmt其中l，m，t是基本量纲.量纲矩阵为
?
1
?
0a=?
?
?
?
1
（v）
100（?
）
?
310（?
）
?
11?
1（?
）
1?
（l）
?
0（m）?
?
2?
（t）?
（g）
-1
-3
-2
-1-1
-1
-2
-2-2
-1
-1
00
0-2
齐次线性方程组ay=0即
?
y1?
y2?
3y3?
y4?
y5?
0
?
y3?
y4?
0?
?
?
y1?
y4?
2y5?
0?
的基本解为
?
?
y1?
（1,?
?
?
y2?
（0,?
?
）21
?
1,1,?
）22231,0,0,?
1
得到两个相互独立的无量纲量
?
?
1?
v?
?
1/2g?
1/2
?
?
3/2?
1?
1/2
?
?
g?
?
2?
?
即v?
?
g?
1,
?
3/2
?
g
1/2
?
?
1
?
?
2.由?
（?
1,?
2）?
0,得?
1?
?
（?
2）
3/2
?
1
?
1
?
?
?
g?
（?
?
g
1/2
?
?
1
）,其中?
是未定函数.
20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.解：
设阻尼摆周期t,摆长l,质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为
f（t,l,m,g,k）?
0
其量纲表达式为：
[t]?
lmt,[l]?
lmt,[m]?
lmt,[g]?
lmt
?
2
[k]?
[f][v]
?
1
?
mlt
?
2
（lt
?
1
）
?
1
?
lmt
0?
1
，其中l，m，t是基本量纲.
量纲矩阵为
?
0?
0a=?
?
?
1
100
010
10?
2
0?
（l）
?
1（m）?
?
?
1?
（t）
（t）（l）（m）（g）（k）
齐次线性方程组
y2?
y4?
0?
?
y3?
y5?
0?
?
y?
2y?
y?
0
45?
1
的基本解为
11?
y?
（1,?
0,,0）?
1
22?
11
?
y2?
（0,,?
1,?
1）
22?
得到两个相互独立的无量纲量
?
tl?
1/2g1/2?
?
1
?
1/2?
1?
1/2
k?
?
2
?
lmg
∴t?
lg
?
1,?
1?
?
（?
2）,?
2?
klmg
1/21/2
klmg
1/21/2
∴t?
lg
（），其中?
是未定函数.
考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为
l?
g
kl?
1/21/2
t,t；l,l;m,m.又t?
?
（
m?
g
）
当无量纲量
m?
m
?
l?
l
时，就有
t?
t
?
l?
g
?
gl
?
l?
l
.
《数学模型》作业解答
第三章1（2008年10月14日）
1.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货
批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．
【篇二：
数学建模陈东彦版课后答案】
t>2.9-3.73.6-5.144.1-7.14.4-7.35.9-11.15.1-9.16.5-4.76.10-4.14
第1章建立数学模型
1.1在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？
（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）
1.2在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？
一般地，有n名商人带n名随从过河，船每次能渡k人过河，试讨论商人们能安全过河时，n与k应满足什么关系。
（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）
1.3人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。
问人、狗、鸡、米怎样过河？
1.4有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。
问怎样过河？
1.5如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？
而到2000年的本利积累为多少元？
1.6某城市的logistic模型为
dndt?
125n?
1
25?
10
6n2，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。
设该市1990
年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。
当t?
?
时发生什么情况。
1.7假设人口增长服从这样规律：
时刻t的人口为x（t），最大允许人口为xm，t到t?
?
t时间内人口数量与xm?
x（t）成正
比。
试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。
1.8一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？
如何求出这些时间？
1.9你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？
如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？
1.10居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。
水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。
如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪些信息？
第2章初等模型
2.1学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.
（2）2.1节中的q值方法.
（3）d’hondt方法：
将各宿舍的人数用正整数n?
1,2,
3,?
相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数）,在数字下标以横线，表中a，b，c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.
（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额.2.2在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的每支3.00元,二者单位的重量的价格比是1.2:
1,试用比例方法构造模型解释这个现象.
（1）分析商品的价格c与商品重量w的关系.价格由生产成
本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系。
画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小。
解释实际意义是什么。
2.3一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。
2.4用已知尺寸的矩形板材加工一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法使加工出尽可能多的圆盘。
2.5雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。
2.6生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。
2.7举重比赛按照运动员的体重分组,你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。
下面是一界奥运会竞赛的成绩，可供检验你的模型。
2.8速度为v的风吹在迎风面积s为的风车上，空气密度是
?
。
用量纲分析方法确定风车获得的功率p与v，s，?
的关系。
2.9雨速的速度v与空气密度?
、粘滞系数?
和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：
运动物体在流体中受的摩力与
速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。
用量纲分析方法给出速度v的表达式。
2.10原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播。
据分析在时刻t冲击波达到的半径r与释放能量e，大气密度?
，大气压强p有关（设t?
0时r?
0）。
用量纲分析方法
?
et2
证明，r?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
p5t6?
?
?
?
?
e2?
3?
?
?
，?
是未定函数。
2.11用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动的水里时损失
的热量。
记水的流速v，密度?
，比热c，粘性系数?
，热传导系数k，人体尺寸d。
证明人体与水的热交换系数h与上述各物理量的关系可表为h?
kd?
?
?
?
v?
d?
?
?
c?
k?
?
?
，?
是未定函数，h定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温差为1?
c时的热量交换。
2.12在小说《格里佛游记》中,小说国中的人们决定给格里佛相当与一个小人食量1728倍的食物.他们是这样推理的,因格里佛身高是小人的12倍.他的体格是小人的123?
1728倍.所以他需要的食物是一个小人的食量的1728倍.为什么他们的推理是错误的?
正确的答案是什么?
2.13战后olympic运动会女子铅球记录如下:
你是否可以从这些数据中预测2000年的奥运会女子铅球的最佳
成绩.
第3章简单的优化模型
3.1在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。
重新确定最优订货周期和订货批量。
证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。
而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。
3.2建立不允许缺货的生产销售存贮模型。
设生产速率为常数k，销售速率为常数r，k?
r在每个生产周期t内，开始的一段时间（0?
t?
t0）一边生产一边销售，后来的一段时间（t0?
t?
t）只销售不生产，画出贮存量q（t）的图形。
设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期。
讨论k?
?
r和k?
r的情况。
3.3在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?
与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。
3.4在雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为常数且方向不变。
试建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a?
1.5m（颈部以下），宽b?
0.5m，厚
c?
0.2m，设跑步距离d?
1000m，跑步最大速度vm?
5m/s，
雨速u?
4m/s，降雨量w?
2cm/h，记跑步速度为v。
按以下
步骤进行讨论：
（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，
且与人体的夹角为?
，如图1，建立总淋雨量与速度v及参数a，
b，c，d，u，w，?
之间的关系，问速度v多大，总淋雨量
最少。
计算?
?
0?
，?
?
30?
时的总淋雨量。
（3）雨从背后吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且
与人体的夹角为?
，如图2。
建立总淋雨量与速度v及参数a，
b，c，d，u，w，?
之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。
计算?
?
30?
时总淋雨量。
（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑?
的影响），并解释结果的实际意义。
（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。
图1
图2
3.5甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别是x和y。
设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中占的份额，是它们的广告费在总广告中所占份的函数f（
xx?
y）和f（yx?
y
）。
又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费即为公司的
利润。
试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使
利润最大。
（1）令t?
x
x?
y
，则f（t）?
f（1?
t）?
1。
画出f（t）的示意图。
（2）写出甲公司利润的表达式p（x）。
对于一定的y，使p（x）最大的x的最优值应满足什么关系。
用图解法确定这个最优值。
3.6人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。
试建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适（匀速行走）。
（1）设腿长l，步长s，证明人体重心在行走时升高
?
?
s2l（s?
l）
（2）将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动。
设腿的质量m，行走速度v，证明单位时间所需动能为mv2s。
（3）设人体质量m，证明在速度v一定时每秒行走n?
3mg
4ml
步作功最小。
mm?
4,l?
1m分析这个结果合理吗。
（4）将
（2）的假设修改为：
腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动。
证明结果应为n?
mg
4ml
步。
分析这个结果合理。
3.7驶于河中的渡轮，它的行驶方向要受水流的影响。
船在河的位置不同，所受到水流的影响也不同。
试设计一条使渡轮到达对岸时间最短的航线。
3.8发电站的设计者们在堰坝上安装水轮机，当潮水通过堰
3.9别为p，q室（如图所示）少应宽多少？
3.10程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。
（1）设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重w，向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍，水平方向游动时阻力也是滑行阻力的k倍，写出这些力。
（2）证明当鱼要从a点到达处于同一水平线上的b点时（见下图），沿折线acb运动消耗的能量与沿水平线ab运动消耗的能量之比为（向下滑行不消耗能量）ksin?
?
sin?
ksin（?
?
?
）
。
（3）根据实际观察ctan?
?
0.2，试对不同
的k值（1.5，2，3），根据消耗能量最小的准则估计最佳的?
值。
b
【篇三：
作业1数学建模,姜启源版】
、实验目的与要求
掌握运用软件求解动态系统模型，通过研究散点图得到动态系统的内在性质和长期趋势。
通过对数据进行处理，归纳出动态系统模型。
1、用excel对数据进行处理，建立动态系统模型并且进行验证；2、用excel画散点图，对动态系统模型解的长期趋势进行分析；3、用excel求解动态系统模型并估计均衡点；4、用excel分析多元动态系统模型。
二、实验内容
example1.1p9研究课题第一题
随着汽油价格的上涨，今年你希望买一辆新的（混合动力）汽车。
你把选择范围缩小到以下几种车型：
2007toyotacamry混合动力汽车2007saturn混合动力汽车2007hondacivic混合动力汽车2007nissanaltima混合动力汽车2007mercurymariner混合动力汽车。
每年公司都向你提供如下的“优惠价”。
你有能力支付多达60个月的大约500美元的月还款。
采用动力系统的方法来确定你可以买那种新的混合动力系统汽车。
bn+1=bn+0.0595bn-6000
b0=21045
bn+1=bn+0.055bn-6000b0=22850
bn+1=bn+0.0625bn-6000b0=25450
bn+1=bn+0.06bn-6000b0=26015
bn+1=bn+0.059bn-6000b0=23900
excel操作步骤：
1．打开excel表格，输入如下表格:
：
2．用智能标识把月份从0拉到5：
3.在b5输入=b4+0.0595b4-6000，回车后下拉即可可到序列b=（16297.18,11266.86,5937.238,?
）。
同理在d,f,h,j行输入，得到如下表格：
（2）选中c1到d9的数据，建立散点图，得到hondacivic表：
（3）选中e1到f9的数据，建立散点图，得到toyotacamry表
（4）选中g1到h9的数据，建立散点图，得到mariner表
（5）选中i1到j9的数据，建立散点图，得到altima表
由图可知：
saturn表的线最早与x轴相交，故我们可以得出应当购买saturn公司的汽车。
example1.2p16习题第二题
下列数据表示从1790到2000年的美国人口数据
来测试你的模型。
解答如下：
首先均差计算公式可得下列差分表
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