小学生数学观察能力培养研究结题报告.docx
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小学生数学观察能力培养研究结题报告
“小学生数学观察能力培养研究”结题报告
五龙卡森小学毛永康、杨碧君
一、课题提出
观察是指人们对周围的事物或现象进行全面、深入的查看，按照事物或现象的本来面目，研究和确定它们的性质和关系的一种心理现象。
数学教学活动中的观察，就是有意识地对事物的数和形的特点进行感知活动。
即对符号、字母、数字、或文字所表示的数学关系式、命题、几何图形的结构特点进行的查看。
观察力是人们获取知识，进行积极思维和伟大创造必不可少的手段和能力，是人类智力结构的重要基础，是思维的起点，是聪明大脑的“眼睛”。
所以一些科技发达的国家，十分重视中小学的科技教育，强调学生观察和实验能力的培养。
日本一至六年级规定要做一百八十多次观察，二百多个实验。
美国学校从小学低年级起就为孩子开设丰富多彩的观察实验选修课，注重孩子观察事物、提出问题、发现问题能力的训练。
国外是如此，中国目前面对速飞猛进的科学技术，也投入大量的人力、物力、财力搞科技教育，抓基础教育的课程改革。
培养学生的观察能力是实现数学教学目标的需要。
《义务教育全日制小学数学课程目标》指出：
“通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够初步学会运用数学的思维方式去观察，分析现实社会，去解决日常生活中的其他学科学习的数学的意识……”心理学告诉我们，感知和知觉是人类认识事物过程的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、有步骤有组织的持久的知觉活动，观察又是一种主动的，对思维起积极作用的感知活动。
它不单纯是事物在人的意识中的直接反映过程，还包括积极的思维活动。
在日常教学中，离开了观察能力的培养，学生就不可能具备完整的数学能力与数学素养，数学教学的目标也就不可能真正实现。
培养学生的观察能力是全面提高学生数学素质的需要。
素质教育呼唤着学科教学以培养学生的创新精神和实践动手能力为宗旨，而创新能力必须以学生的综合素质为基础和前提。
在小学阶段初步培养学生多种数学能力，其中观察能力对于数学学习中各种能力的培养都具有直接或间接的促进作用，无论是图形的识别、数据之间关系的把握，还是基本规律的发现，综合分析能力的提高都离不开认真，仔细的观察。
因此，观察能力无疑是学生数学综合能力的重要组成部分。
培养学生的观察能力是提高学生数学学习质量和课堂教学效率的需要。
不可否认，现在的小学数学中存在着学生学习质量不高，课堂教学效率低的弊端。
究其原因，当然各种各样，但学生的观察力滞后，缺乏观察的习惯和基本的能力是其中的一个重要原因，综上所述，数学观察力是学生应必备的一种重要数学能力，是二十一世纪公民应具有的一种素质，这种能力的培养、研究已势在必行，人心所向，所以说本课题的研究工作具有一定的现实意义。
二、研究目标
1、对学生数学观察能力的行动研究，使学生掌握一般的观察方法，养成观察有序的习惯，提高对数学观察的创新思维能力。
2、对学生进行数学观察能力的行动研究，引导学生在分析、比较中透过表面现象观察事物本质，培养逻辑推理能力。
3、对学生进行数学观察能力的行动研究，使学生学会在观察中提问，在观察中质疑，在观察中创新，提高学生的学习兴趣和学习质量。
三、研究方法
1、调查研究法。
针对小学生当前数学观察能力的现状，展开调查研究（发问卷调查）。
2、行动研究法。
确定解决“这个问题”的行动目标与过程，按步骤行动，搜集材料，整理材料，检测实践过程。
四、研究内容
一、低年级数学观察能力的培养。
（一）观察兴趣的培养
观察能力的培养最终目标是指向儿童自身观察力，智力的良好发展，实现这一目标的最终原动力也于儿童自身对观察活动的兴趣与维持，在于儿童是否能主动观察。
因此，借用中国一句古语：
师傅引进门，修行在个人。
在教育中发挥儿童主动性，是教育的一贯原则，观察逻辑思维能力培养尤为如此。
然而，主动不是说观察力的“责任”可以推咎于学生自身了，学生主动性发挥如何在很大程度上取决于教师的引导和帮助，低年级这一关更突出、更明显。
所以，教师首先善于发现小学生喜欢观察的苗头，因势利导，通过生动的故事、人物事迹、实例，让他明确观察的重要意义，抓住机遇将偶尔的观察活动的苗头发展为对观察的兴趣。
其实，好玩，好动，好问是儿童的天性。
比如，对没见过面的戴眼镜老师盯视，对班主任，任课老师动作的细看和模仿，对新玩具的爱不释手都包含着较多的观察成分。
教师也应在司空见惯的教育活动日常生活交往中发现出这些适当的教育契机。
许多时候，只要重现了孩子的观察，引起他们观察兴趣，他们的观察潜力是很大的，因为他们没有过多的“标禁”，不多传统的束缚，往往能从外人熟视无睹的事物中发现问题，见人所未见，甚至有所创见或发明。
瑞士心理学家皮亚杰，美国学者杜威认为：
“兴趣是刺激儿童学习的较好形式”。
小学生天生就有强烈的好奇心，在数学教材和周边生活中有许多学生感兴趣的东西，如：
杨老师执教的一年级数学“找规律”：
1、情景创设一：
小朋友，“六一”儿童节快到了，那是你们的节日，高兴吗？
老师给你们带来了一群小伙伴，他们正在为庆祝这个节日做准备呢！
让我们一起去看看！
课件演示：
还未布置完的教室场景。
（注：
把教材上的花朵颜色排列为红、黄、绿，把长的红灯笼改为圆的红灯笼。
）
（1）师：
看到他们布置的教室你想说什么？
你从中发现了什么？
（2）小组讨论规律
（3）小组派代表汇报发现的规律。
彩旗排列的顺序是红——黄
彩花排列的顺序是绿——紫——黄
彩灯排列的顺序是紫——红，长的——圆的。
（4）猜一猜：
如果让你来帮他们布置你会吗？
谁愿意来试一试。
课件演示（略）
2、情景创设二，你们帮他们一起布置了教室，小伙伴可开心啦，他们手拉手跳起另了舞，（课件演示10个小朋友手拉手跳舞，并伴有《洋娃娃和小熊跳舞》的音乐）
（1）师：
你们仔细观察，跳舞的小伙伴又是按怎样的规律排的？
学生可能出现的答案：
按一男一女的规律排；按一女一男的规律排。
师：
大家真爱动脑筋，说的都有道理，请看：
课件演示两种情况
（2）拓展：
这些小伙伴除了按刚才的规律排外，还可以按怎么样的规律排？
（如两男两女排）请10个学生上来现场演示
（3）小组讨论：
那你们小组商量一下能不能按规律站成一排？
各组表示，并请其他组说说排列顺序。
3、小结：
从刚才的学习中你学到了什么？
（彩旗、灯笼、彩花的摆放和小伙伴的队伍都是有规律的，他们都按一定的规律排列出现）
动手操作中巩固：
小伙伴为了感谢大家，邀请我们来参加他们的活动，你们想不想参加？
活动一：
画一画。
（横线上画上正确的图形）
完成后，同桌互相检查，并指点说说为什么这样画。
活动二：
摆一摆。
（每个小组有相应数量的圆片、三角形和正方形。
）
（1）跟着小伙伴摆：
（课件出示）当小伙伴停下来的时候，大家就把接下去要摆的那个图形举起来。
（2）小组合作：
他们摆的规律都被你们找到了。
你们想自己来摆规律吗？
每个小组相互合作，用所给的图形创造一条规律。
（3）小组汇报展示。
（4）变一变：
你能用其他形式把这条规律表示出来吗？
（引导学生用节奏，肢体，动作等形式把规律表现出来）。
杨老师这节找规律一课，能正确地引导学生多种感官参与观察去发现从中的问题、规律和答案，激发了他们观察兴趣。
活动中，让他们好动，好说的天性得以满足，使他们对活动始终充满兴趣，乐于其中，大大增强了低年级学生观察的兴趣。
可见，兴趣是学习的能源，是发展智力的原动力。
有了它，才能使学生的智力得到进一步挖掘；有了它，才能使学生的智慧放射出夺目的光辉。
当今世界一些心理学家十分重视学习兴趣的培养，积极主张学习应尽可能地建立在对所学材料的兴趣上来。
许多心理学家根据一系列地实验研究，认为内在的学习动机较之的学习动机更为强烈、持久。
因为外来的学习动机来自外界对学生的要求，而内在的学习动机却出自学生内心的需要。
尤其是小学生，年龄小，知识少，在很多情况下，兴趣更能推动他们去学习。
因此，对学习本身的浓厚兴趣是小学低年级学生最好的学习动机。
医学上还告诉我们，当人们有兴趣的时候，往往伴随着血液循环的亢进，使大脑皮质得到营养，从而使注意、记忆、想象、思维等心理过程都处于积极状态，不会感到疲劳。
（二）观察内容的指导。
1、观察事物数量的多与少
小学低年级数学教材中蕴含着丰富的观察内容，学生在学习新知识时，主要信赖两种前提，一是已有的观察方法；二是旧有知识基础。
学生观察物体数量的多于少，首先从观察单一物体数量的多少入手，然后逐步发展为不同类物体分类数量的多少，最后还要训练学生能从不同角度将问题分类数数。
例如：
一年级第一学期教材第64页上的主题图《老师和小朋友在喂鸽子》，让学生数一数，说一说，图上共有几人和几只鸽子？
引出数字10的认识。
接着让学生摆10个圆片，摆10朵红花，然后让学生把10根小棒分成二部分，我们就可以边观察，边摆，边讨论。
10的分与合有几组情况，引导学生按照一定的规律把10的几种分法摆出来（如图）让学生观察10的组成与分解。
又如一年级第二学期教材39页，比较大小。
师：
28与26，你们是怎么比较？
甲生：
借用计算器比较
乙生：
借用小棒比较，按数的顺序比较。
师：
你们真会动脑筋！
你们能否举些例子吗？
丙生：
借用计算器比较了96和69、75和78、100和98的大小
教师板书：
96>6975<78100>98
丁生：
按数字顺序比较了68和78，80和90，43和43的大小
教师板书：
68<7880<9043=43
……
师：
哪位同学你能直接说出哪个两位数比哪个两位数大？
丁生：
56大于5397大于87……
教师板书：
56>5397>87
师：
请你们看看板书，你有没有发现比较大小的方法？
生：
通过一番议论，发现了比较的方法：
两位数小于三位数，而两位数之间要先比较十位上的数，十位数上大的则这个数就大，十位数上的数相同就看个位上的数，个位上的数大，这个数就大。
2、观察数量间的相互关系
数量间的相互关系，包括两个部分，数与总数，大小数与相差数等数量间四则运算关系。
开始时，学生一般只会从一个角度去观察数量间的一种运算关系，以后就要逐步培养学生学会从不同角度去观察同幅图中的数量，从而发现它们之间的相依关系。
例如一年级下册数学教材22页，有这样一道题：
你能提出什么问题：
它渗透了加减法之间的关系，及总数与部分之间的关系。
因为9＋4=13所以13－9=413－4=9
又如二年级第一学期“倍数的认识”时，让学生观察两种数量之间的关系，2只羊和6只兔子，在比较了两个数量之间的多少关系后，让学生通过观察理解兔子的只数中有3个2只，接着让学生摆学具，摆3个2只，在观察中理解数量之间的关系。
进而理解了倍的概念。
3、观察顺序的引导
小学低年级缺乏生活经验和独立的观察能力，因而在观察中抓不住主次，观察无顺序，东看看，西瞧瞧，把要观察的事物的重要特征遗漏掉。
如此不但达不到观察目的，还会形成不良的观察习惯。
因此要对学生进行观察有序的引导，才能提高观察分析力，判断力，使教学活动有效进行。
学会有计划，有次序的观察，才能把握观察对象的整体和实质。
因此教学活动中教学学生从不同的角度、不同的顺序上去观察同一事物或用同一顺序观察不同事物，以获取不同信息，并学会分析比较，提高观察逻辑思维能力。
小学低年级数学观察顺序思维能力培养，我们进行以下方面尝试：
（1）横着看，从左往右看，或者从右往左看。
例如一年级数学下册“左右”教学片段：
（课件出示）小猫，小猪，小兔，小狗排了一队，聪聪站在背后，说：
“从左数小狗排第一。
”明明站在前面说：
“错了，错了。
从左往右数应该小猫排第一”
请大家来给他们俩作个裁判，谁说的对？
（学生讨论得出两个人都说得对，因为两人是面对面的。
）
调皮的聪聪看我们小朋友这么聪明，想考考大家，你们愿意接受挑战吗？
聪聪说：
“我站在一队做操的小朋友中间，从左数我是第4个从右数我是第2个。
猜一猜，我们现在有几个人在作操？
……
先猜猜，再课件出示图，帮助学生理解。
（2）竖着看。
从上往下看，或者从下往上看，例如二年级第一学期第74页的乘法口诀，从上往下看，借助多媒体，七巧图演示（略）
图案个数
1
2
3
4
5
6
7
块数
7
1×7=7一七得七
2×7=（）二七（）
3×7=（）三七（）
4×7=（）四七（）
5×7=（）五七（）
6×7=（）六七（）
7×7=（）七七（）
让学生从感性认识逐渐上升到理性认识，从而使学生掌握7的乘法口诀规律。
（3）从中间向周围扩展。
例如一年级数学上册第77页上的练习题。
它是用汽车到站时下车人数和上车人数的情景来说明的。
原来车上6人，下车2人，又上车3人，现在车上有多少人？
算式是6-2+3，这样就比较形象，让学生观察，再列式计算。
当然，在乘法口诀的教学中，也要加强有序观察发现变化规律，发展学生的逻辑思维。
4、观察方法的训练
良好的观察方法是培养观察思维能力的最好路径。
在对学生进行观察创新思维的培养上，必须在观察方法上加以指导。
孩子并不是天生就有观察能力，小学低年级学生观察力的特征是很明显，有意注意力时间很短，认识事物很简单、肤浅，观察事物粗糙，笼统，但观察事物特别大胆，表现事物高度概括，他们的认知能动性受情感影响特别大，对他们喜欢的（外界）事物表现出超常的洞察力。
根据以上特征，应充分利用他们的观察力的概括进行训练，同时调动他们的情商动力，使他们认知能力向具体深入发展。
在方法训练上我们建立在让学生看一看，比一比，说一说，做一做的基础上做好三方面训练。
（1）应用旧知识，指导观察。
例如，教师让学生观察一幅图，图内有男女同学9个，要求学生按图意编出一道求一共有几个同学的加法应用题，学生必须回忆以下两个内容：
要求图内一共有几个同学，可以分成几部分？
这些同学可以从哪些角度分成两部分？
回忆这些知识，就能进行有目的的观察，编出以下三道题。
A、图内有5个男同学，4个女同学，一共有几个同学？
B、图内男同学比女同学多几人？
C、图内女同学比男同学少几人？
（2）对比观察，找出异同点
例如，教学9的乘法口诀，教材选用龙舟赛这种喜庆活动为背景，一方面使学生体会9的乘法口诀是为了解决9的连加的实际问题而产生的，另一方面让学生体会在社会活动中需要有一种朝气勃发，齐心协力的团队合作精神。
在学生总结9的乘法口诀时，教师要引导学生学会对比观察，找出其中的规律，帮助学生记忆。
观察比较它们的积，发现下句口诀的积都比上一句多9，上一句口诀的积都比下一句少9；
观察比较它们积的个位数与十位数，发现积的个位数与十位数的积都是9
观察比较它们积的十位数与乘数，发现积的十位数都比与9相乘的数少1。
积的个数就是10减去与9相乘的数的差。
这样训练能使学生学会以前者为参照物，逐一观察，逐一对比，有次序地找出前后观察对象之间的异同点，进而发现其中的规律。
（3）培养对比，设问，寻根究底的习惯
观察对比能力为学生思维的启动打开广阔的天地，但要做到透过现象看本质，提高观察能力的深刻性，还必须要求学生在找出规律的同时，多问自己几个“为什么”，让学生在观察时能逐步养成“寻根问底”的习惯。
例如，二年级数学下册教学内容平均分，要引导学生作对比。
小华有24朵菊花，平均插在4个花瓶里，每个花瓶插几朵？
24÷4=6（朵）答：
每个花瓶插6朵。
小华有24朵菊花，平均插在8个花瓶里，每个花瓶插几朵？
24÷8=3（朵）答：
每个花瓶插3朵。
再让学生观察，这两道题的条件，得数，答案各有什么不同，然后还要启发学生思考，为什么这两题会有这样不同的答案？
当学生发现它们产生区别的关键原因，是因为它们除数不同时，就会把观察的注意力集中到被除数和除数的关系上去，从而解决了问题的实质。
观察是智慧的源泉，在低年级数学教学中有目的，有计划地进行观察能力的培养，能有效地提高学生的数学能力，学会从数学角度去观察周围的世界，养成留心观察周围事物的习惯，使学生学会观察，善于观察，这对学生的能力综合发展是终生有益的。
但是，小学低年级学生观察能力的发展有一个过程，这是有他们的感知能力不成熟，以及实际生活经验的局限所至，因此，教师在培养学生观察能力的过程中要教学生抓住观察对象的整体，教给他们一些常见的方法，进行有序地观察，然后从整体到局部，由粗到细，逐步提高。
二、中高年级观察能力的培养
（一）观察方法的训练
小学生到了中高年级，随着神经系统发育的逐渐完善，大脑抑制性增强，自制力提高，观察和学习的持续性也逐渐地由短暂向持久过渡，能坚持较长时间观察事物，从而促使了学生思维能力的提高。
学生的观察范围观察水平也逐步提高。
因此对小学生中高年级的观察逻辑思维能力的培养，教师应抓住契机。
在观察方法训练上展开多角度，多层次的训练。
1、明确意义，激发兴趣。
在具体的教学中，通过实例证明观察能力的意义是学生自觉地投入训练的前提。
学生明确了行为意义，就完全避免盲从和被动，增强观察力的培养效果。
同时采取一定的教学手段和教学方法，突出观察事物，激发学生观察兴趣，提高学生在观察能力训练过程中的积极性，能动性和持久性。
2、教给学生一般的观察模式
A、生活中的数学问题具有一定的规律，而这些规律通过一定的途径探索学习就能发现。
（1）认真观察下面各式，求玩具小汽车、卡车、摩托车、自行车各是多少元？
卡车+摩托车+自行车=19.8（元）
小汽车+自行车=8.5（元）
小汽车+摩托车+自行车=19.1（元）
小汽车+卡车＋摩托车+自行车=24.5（元）
师：
这些等式之间的联系，你们看出来了吗？
生
（1）：
老师，我通过2和3两式的比较知道摩托车的价钱了。
师：
对，观察的真好，我们就是要通过这4个等式间的相互联系找到答案。
下面请大家继续演算小汽车、自行车、卡车的单价。
生
（2）通过3和4两式比较就知道卡车的单价；1和3两式比较就知道小汽车的单价；知道了小汽车的单价，从2式中可知自行车的单价。
概括观察模式：
在几个互相有联系的算式中，要进行纵向比较，从而发现量与量之间的增减变化，找到解题的突破口。
（2）根据下图，求最大的球的克数
这是一道等量换算题，但由于学生缺少观察的能力及分析技巧，一下子难以解答。
师：
从图中你发现什么？
生：
观察三幅图的关系
师：
你们在刚才讨论中发现了什么？
甲生：
我发现了------
乙生：
我会算------
概括观察模式：
代换时，要注意选择简单的容易求出结果的两个算式，也就是说，应学会使用一个等式中的未知数或符号越少，代到另一个等式，使未知数或符号越来越少最后只剩下一个。
如果整体相等，整体中的一部分也相等。
（这是建立等式的重要依据）
B、图形题
（1）一张长方形的纸折起来以后的图形如下图，角1=20度角1=20度求角2的度数
师：
你能想出角2是几度吗？
生：
……
师：
我们在观察的时候，有没有想过这角2与遮住的角、看见的角有什么关系呢？
想不出来是吗？
拿出一张纸折折试试吧。
生：
学生很快动手折纸
师：
通过折纸，你发现了什么？
甲生：
通过折纸，我知道折出来的角2与遮住的角一样大，它们和角1合起来刚好是180度。
…….
观察模式：
发挥学生的空间想象能力，并提供实践操作的机会，让学生在操作中发现，而不局限在单独的观察中。
（2）把两个相同的直角梯形如下图（单位：
厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
学生一般情况下会直接去想这个阴影部分可以分割成什么图形呢？
而思维就会停顿于此。
师：
你们观察的时候有没有想一想重叠在一起的部分展示的是什么，原来两个是相等的梯形，现在有了一个重叠的部分……
生：
对，剩下的部分面积也相等。
阴影部分的面积与下面这个规则的小梯形的面积相等。
概括观察模式：
阴影面积计算中要教给学生用等量替换的方法，把直接无法求出的用相等的部分来代替。
因此观察中要注意找一找面积相等的一份。
3、学习比较，发现规律
找规律是解决数学问题的一种重要手段，而发现规律既要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力。
而当前有相当一部分学生对于眼前的现象，总习惯与不假思索的“全面”观察，不知从何着手，其实我们可以在发现不同中去发现答案，教学之中，教师要让学生首先学会找不同，然后在不同的比较中进行思考，多问几个为什么，从而逐渐抓住重点，解决问题。
比如：
商不变的性质教学
师：
幻灯出示口算题
60÷20
（60×4）÷（20×4）（60÷4）÷（20÷4）
（60×5）÷（20×5）（60÷5）÷（20÷5）
（60×10）÷（20×10）（60÷10）÷（20÷10）
生1：
口答
师：
观察这些口算题，你发现什么？
生2：
虽然被除数和除数变化了，但是商并没有变。
师：
这是怎么回事呢？
商在什么情况下不变呢？
用幻灯再次出示原先的口算题组，引导学生提高。
生3：
第一组里的第一题与60÷20相比，被除数发生了什么变化，相应的除数发生了变化，商呢？
第二题的被除数和除数又发生了什么变化？
商怎么样？
第三题呢？
生4：
第三组里每道题与60÷20相比，被除数和除数各发生了什么变化？
商又如何呢？
师：
围绕以上两题，进行分组讨论。
生：
小组汇报讨论结果。
师：
同学们，被除数、除数究竟发生怎么改变，商才不变呢？
幻灯出示
8÷4=2
80÷40=2
800÷400=2
8000÷4000=2
你能从上述算式的观察、比较中，发现什么？
得到什么？
生5：
后一式的被除数、除数比前一式依次扩大10倍100倍1000倍，商不变。
师：
引导学生按下列目标顺序观察
从上往下观察，被除数和除数发生了什么变化？
商怎么样？
从下往上观察，你们又发现了什么？
生：
自觉地有条理进行观察，思维变得有序有向，因而准确地全面地概括出商不变的性质。
（三）设问质疑，引导思维
培养观察能力，形成观察习惯，都要求教师引导，使学生学习和掌握观察的基本技能，知道观察什么和思维观察。
这说明观察是一种以有明确意识的思维作为指导的活动，在一定的思维启示和要求下进行的，建立这一活动过程；重在根据思维的内容层次设问质疑，引先观察前的思考和观察后的质疑，加深学生的思维深度，提高观察质量。
比如：
义务教育小学数学第十册教学内容《两数之积等于其最大公约数和最小公约数的积》的教学片段：
一：
出示下面练习题：
（1）a=3×5×7b=2×2×3×5
（a·b）=【a·b】=
学生：
a,b的最大公约数就是它们公有的质因数，而最小公倍数是它们公有和独有的质因数之积。
（2）甲乙两数的最大公约数是6，最小公倍数是126。
若甲数是18，则乙数是多少？
学生：
……
（过了很长时间，有一个学生慢慢站起来）
学生：
老师是不是42？
师：
你是怎么想的？
学生：
我是这么想的，126÷6=2121=3×7，3是18的质因数，那么7就是另一个数的质因数。
所以我想乙数应该是7×6等于42
另一学生迫不及待地说：
我知道，我知道还可以是18÷6=3，126÷3=42，乙数是42。
师：
同学们很会动脑筋，可你想过其中的奥妙吗？
最大公约数与最小公约数之间有什么关系呢？
出示：
甲数18=2×3×3乙数42=2×3×3×7
（甲数、乙数）=2×3【甲数、乙数】=2×3×3×7
师：
请你仔细观察，发现什么秘密了吗？
注意观察时要上下比较，联系，从它们的分解式中说说你的发现。
学生甲：
老师我发现最大公约数和最小公倍数中的质因数甲乙两数中都有。
学生乙：
老师我发现甲数和乙数的的质因数与它们最大公约数和最小公倍数的质因数一模一样。
学生丙：
老师我发现甲数和乙数的积肯定与他们的最小公约数，最大公倍数的积相等。
经他一说，学生马上议论纷纷。
教师在此基础上，马上用符号表示
甲数×乙数=它们的最大公约数×最小公倍数
（2×3×
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