江苏省南通市学年度高三年级第一学期期初调研数学试题解析版.docx
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江苏省南通市学年度高三年级第一学期期初调研数学试题解析版
江苏省南通市2021届高三上学期开学考试
数学试题
2020.9
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1.记全集U=R,集合A={小集合B={*'之2},则©A）flB=
A.[4,+8）B.（1,4]C.[1,4）D.（1,4）
2.已知a=logs2,b=log72,c=O.5n-2,则a,b,c的大小关系为
4.我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2〜3被驱逐舰，广2般核潜艇,船
厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为
5.函数/（x）=2sin3x+°）
（。
:
>0,图V〃）的部分图像如图所示，且/（x）的图像过A（三,
1）,B（f,-1）两点，为了得到g（x）=2sins•的图像，只需将/（X）的图像2
6.《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图（含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑
八卦），每一卦由三根线组成（-表示一根阳线，一表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为
A.—B.—C.—D.一
8482
7.设F2分别为双曲线C:
二一】=l（a>0,b>0）的左、右焦点，过B的直线I与圆0：
crlr
x2+y2=〃2相切，।与c的渐近线在第一象限内的交点是p,若PF2_LX轴，则双曲线的离
心率等于
A.y/3B.2C.2y/2D.4
8.对于函数y=/（x）,若存在区间[a,b],当xe[a,b]时的值域为[ka,kb]（k>0）,则称y=/（x）为k倍值函数.若/（x）=e'+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是
12
A.（e+1,+二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9.下列说法正确的是
A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原枭的a倍
B.设有一个回归方程y=3-5x,变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强：
反之，线性相关性越弱
D.在某项测量中，测量结果自服从正态分布N（1,cr2）（cr>0）,则P（J>1）=0.5
10.已知抛物线C：
N=2px过点P（1,1）,则下列结论正确的是
3
A.点P到抛物线焦点的距离为二
2
B.过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q,则△0PQ的面积为士
32
C.过点P与抛物线相切的直线方程为x-2y+l=0
D.过P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M,N,则直线MN的斜率为定值
11.在AABC中，已知bcosC+ccosB=2b,且一!
—+—!
—=—!
—,则
tanAtanBsinC
A.a,b,c成等比数列B.sinA:
sinB:
sinC=2:
1:
丘
C.若a=4,则$4题="D.A,B,C成等差数列
12.已知函数/（x）=xlnx,若0<%〈七，则下列选项正确的是
A/（a.）-/（x2）<0
B.x}+f（x]）C.x2f（xi）D.当马>内>1时，xj（x}）+x.f（x.）>x.f（xA）+xj[x.）e
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）
13.高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的1,而且三好学生中6
女生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为.
14.曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.
15.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AR的取值范围是.
16.椭圆与双曲线有相同的焦点Fi（-c,0）,Fz（c,0）,椭圆的一个短轴端点为B,直线FB与双曲线的一条渐近线平行.若椭圆与双曲线的离心率分别为q,g，则《4=；且3e：
的最小值为.
四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步獴）
17.（本小题满分10分）
已知函数f（x）=2>/Jsinxcosx+2sin2x-1.
（1）求函数/（X）的单调递增区间；
（2）在aABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/（A）=2,C=-,c=2,4
求aABC的面积.
18.（本小题满分12分）
2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11:
13,其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.
满意
不满意
总计
男生
女生
合计
120
（1）完成2X2列联表，并回答能否有99$的把握认为对"线上教育是否满意与性别有关”；
（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经脸介绍，其中抽取男生的个数为求出片的分布列及期望值.
附公式及表：
sn（cul-be）2甘卜，
K-=,其中n=a+b+c+d・
（a+b）（c+d）（a+c）（h+d）
P（K2>k^
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
ko
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在原点，其焦点与双曲线2/—2,，2=1的焦点重合，点P（0,JJ）在椭圆C上，动直线I:
y=kx+m交椭圆于不同两点A,B,且。
云•丽=0（0为坐标原点）.
（1）求楠圆的方程；
（2）讨论7m2-12k?
是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
20.（本小题满分12分）
已知函数/（x）=/+bx+c,且/（x）K0的解集为[-1,2].
（1）求函数/"）的解析式；
（2）解关于x的不等式时（x）>2（x-m—l）（rn20）;
（3）设g*）=2"*）+3z,若对于任意的玉，x2e[-2,1]都有心（芭）一双/）归“，求乂的最小值.
21.（本小题满分12分）
2%-1
已知/（x）=a（x-lnx）+-,・
厂
（1）讨论）（v）的单调性：
（2）当a=1时，证明/3）>/（幻+,对于任意的xe[1,2]成立.
22.（本小题满分12分）
已知点P是抛物线G：
y2=4x的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB,其中A、B为切点.
（1）证明：
直线AB过定点，并求出定点的坐标；
22
（2）若直线AB交楠圆C2:
1+2_=1于C、D两点，Si,S2分另”是△PAB,Z\PCD的面积，
43
S
求」的最小值.
S,
厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜凝全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为
A.30B.60C.90D.120
答案：
B
解析：
有两种情况，①一般航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇，②一般航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇，C；C；+C；C；=60,故选B.
5
.函数/（x）=2sin（s1+0）（幻>0,同V〃）的部分图像如图所示，且/（x）的图像过A（；,1）,B",-1）两点，为了得到g（x）=2sinar的图像，只需将/（x）的图像
答案：
C解析：
由题意知一=一,T=兀，：
.cd=2,2x—+（p=—+2k7T,0=一二%+2k/r,
22266
.,图<〃，（p=-^7r,f（x）=2sin（2x-^^）=2sin2（x,故选C.
6.《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图（含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦），每一卦由三根线组成（-表示一根阳线，一表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为
A.—B.—C.—D.一
8482
答案：
C
3
解析：
P=-,故选C.
8
7.设E,Fz分别为双曲线C:
二—二=l（a>0,b>0）的左、右焦点，过B的直线I与圆0：
a2b2
产+），2=/相切，।与c的渐近线在第一象限内的交点是P,若PF2_Lx轴，则双曲线的离坚持就是胜利！
心率等于
A・B.2C.25/2D.4
答案：
Abe
解析：
tan/PKF）=j=，，b2=2ci29c2=3a2,e=6,故选A.b2c
8.对于函数y=/（x）,若存在区间[a,b],当xe[a,b]时的值域为[ka,kb]（k>0）,则称y=/（x）为k倍值函数.若/（x）=e'+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是
12
A.（e+1,+oD）B.（e+2,+00）C.（e+—,+00）D.（e+—,+<>o）ee
答案:
B
e"1'ak（（
解析：
/（x）=e*+2x是单调增函数，故（一，故a,b是方程e*+2x=h的两个根，&b+2b=kb
令g（x）=e*+（2-、）x,g'（x）=e'+（2-攵），当k>2,x=ln（k-2）时，g（x）有最小值为g（ln伏-2））=%一2—（攵-2）ln/一2）v0,解得k>e+2,故选B.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9.下列说法正确的是
A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原枭的a倍
B.设有一个回归方程y=3-5x,变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强：
反之，线性相关性越弱
D.在某项测量中，测量结果自服从正态分布N（1,0）,则P（g>1）=0.5答案：
BD解析：
选项A,方差变为原来的a?
倍，故A错误；线性相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r的绝对值越接近0,线性相关性越弱，由此可见C错误，故选BD.
10.已知抛物线C：
卡=2/状过点P（1,1）,则下列结论正确的是
3
A.点P到抛物线焦点的距离为二
2
B.过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q,则△OPQ的面积为上32
C.过点P与抛物线相切的直线方程为x-2y+1=0
D.过P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M,N,则直线MN的斜率为定值答案：
BCD
解析：
•.•抛物线0：
y2=2px过点P（1,1）,/./?
=—,y2=x,故该抛物线焦点坐标为（!
，24
0）,准线方程为x=-L,故点P到抛物线焦点的距离为2,故A错误；△OPQ的面积44
1
5=——=^—=—9故B正确；设过点P的直线方程为y="+l-攵，与抛物线2sin。
个4322x—
5
联立并化简得心，2一），+1一攵=0,1—4々（1一幻=0,解得k=L,故过点P与抛物线相2
切的直线方程为x-2y+1=0,C正确；设PM的斜率为k,则PN的斜率为-k,求得
—）,N（（1+fJ,一*）,求得MN的斜率为一L,D正确，故选BCD.k2kk2k2
11
B.sinA：
sinB:
sinC=2:
1:
yJ2
D.A,B,C成等差数列
cosAcosB1...DML2
d=,sinAsin=sinC,故ab=c,
sinAsinBsinC
.在△ABC中，已知bcosC+ccosB=2b,且一!
—+—!
—=—!
—,则tanAtanBsinC
A.a,b,c成等比数列
C.若a=4,则Sa«c=\/T
答案：
BC
解析：
由一!
—+—!
—=—!
—得,tanAtanBsinC
故a,c,b成等比数列，故A错误;VbcosC+ccosB=2b,，a=2b,又ab=c?
Ac=>/2b,/.a:
b:
c=2:
1:
AsinA:
sinB:
sinC=2:
1:
yf2,故B正确；cosC=
«2+/r-c24+1-23..1卜.「\人,不
==-,sinC=——，..S=—x«x/?
sinC=—x4x2x——=yj/,lab2x2x144224
故C正确；cosB=d"=+2二七=2,故B#=60°,故D错误，故选BC.2ac2x2x>J28
12.已知函数/（x）=xlnx,若0<再〈占，则下列选项正确的是
A/（a.）-/U2）<0・
B.%+/a）<々+/（々）
C.x2f（x1）D.当时，）+x2f（x2）>x2f（xA）+xj（x2）
e
答案：
CD
解析：
首先注意到函数/（x）=xlnx,在（0,1）单调递减，在（1,+8）单调递增，故A错误，ee
）+x2f（x2）>x2f（xl）+xj（x2）=>（x,-Xj）[/（,v,）-f（x2）]>0,故D正确；令
g（x）=f（x）+x=x\nx+x,不是单调函数，故B错误：
令人（x）=/LD=lnx,是单调x
增函数，故C正确，故选CD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）
13.高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的！
，而且三好学生中6
女生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为.
答案：
18
14.曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为
答案：
y=2x
解析：
v=lnx+x+1T=—+1,设切点横坐标为玉），-）-+1=2=改）=1,所以切点（1,2）,
x4
故切线方程为y—2=2（x—l）,即y=2x.
15.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则Ap・A官的取值范围是.
答案：
（-2,6）
解析：
点P与点F重合时，丽・耳§有最小值为-2,当点P与点C重合时，而•而有最大值为6,故aEaH的取值范围是（-2,6）.
16.椭圆与双曲线有相同的焦点FN-C,0）,F2（c,0）,椭圆的一个短轴端点为B,直线FB与双曲线的一条渐近线平行.若椭圆与双曲线的离心率分别为勺，s，则“g=；
且3e；+e；的最小值为.
答案：
1;273
2222
解析：
设桶圆方程为J+二=1,双曲线方程为二一二=1,则由直线FB与双曲线的一条渐a；b「a；b；
v共五八pAbib\bia；-/c2-a；12.彳
近线平行，ca、ca；c-a；e；
所以3e：
+e；22底色=26，当且仅当《13取等号.
四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知函数f（x）=2>/3sinxcosx+2sin2x-l.
（1）求函数/（x）的单调递增区间；
（2）在4ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/（A）=2,C=-,c=2,4
求AABC的面积.
解：
（1）：
/（x）=2y[?
>sinxcosx+2sin2x_1=百sin2x-cos2x
4"2kn--<2x~—<2kn+—,k£Z,解得kn——，函数f（x）的单调递增区间为：
[kn-—,kn+—],kGZ.63
（2）Vf（A）=2sin（2A--）=2,6
/.sin（2A--）=1,6
a、…乃，gIE、
VAG（0,n）,2A--G一），
ooo
2A-；=],解得A=g,o23
•••C=£,c=2,4
o.（灯，吟
.2xsin—d—
・•・由正弦定理」；=-勺，可得b=‘一±=1+退,
sinAsin8sinCyJ2
T
11rrV?
3+>/3
ASaabc2absinC2（l+0）22.
18.（本小题满分12分）
2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11:
13,其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.
满意
不满意
总计
男生
女生
合计
120
（1）完成2X2列联表，并回答能否有99%的把握认为对，线上教育是否满意与性别有关
（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经脸介绍，其中抽取男生的个数为求出《的分布列及期望值.
附公式及表：
n（ad-bcf什卜..
K・=,其中〃=a+〃+c+”.
（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）
P（K2>k^
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：
（1）因为男生人数为：
120x」!
一二55,所以女生人数为120—55=65,
11+13
于是可完成2x2列联表，如下:
满意
不满意
总计
男生
30
25
55
女生
50
15
65
合计
80
40
120
根据列联表中的数据，得到K2的观测值
120x（30x15—25x50）2960
k==x6.713>6.635,
55x65x80x40143
所以有99$的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”
（2）由
（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知看的可能取值为0,1,2,3,并且§服从
坚持就是胜利！
超几何分布，。
值=攵）=零一（攵=0,123）,即
p（3）T=
5C2C[
=一，尸©=1）=上一
28C：
O
15
289
Cr?
15c31
p4=2）=皆吟,p（g=3）=»W.
C8JOC8DO
g
0
1
2
3
p
5
28
15
28
15
56
156
可得分布列为
一八八5,15c15c19
Eg）=0xFixf2x—+3x—=一
可得282856568.
19.（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在原点，其焦点与双曲线2/-2），2=1的焦点重合，点「（0,JJ）在椭圆C上，动直线I:
y=kx+m交椭圆于不同两点A,B,且GX•丽=0（0为坐标原点）.
（1）求楠圆的方程；
（2）讨论7m2-12k?
是否为定值；若是，求出该定值：
若不是，请说明理由.
解：
（1）因为双曲线2/—2了2=1的焦点为（1,0）,所以在椭圆C中c=l,
设椭圆c的方程为二+W—=1（“>0）,a"一1
3
由点尸（0,6）在楠圆C上得了、=1,解得"=4=4=2,则。
=斥？
=",
22
所以椭圆C的方程为—+—=1
43
（2）7，〃2-12父为定值，理由如下:
设4（%,x）,3（%,%），由3・防=0可知+>i>2=0，y=kx+m
联立方程组《
x2）,2=（3+4k2b2+Smkx+4m2-12=0,
—+—=1
143
由A=64〃以2-4（3+4攵戈4〃『一12）>0得<3+软？
8km4m2-12小
内+占=一.x.xy=-,①
1-3+4/1-3+4公
由%|X2+y1y2=0及），=4+，〃得&x?
+（g+ni）（kx2+/n）=0,
整理得（1+4）%占+k"（M+x2）+m2=0,
将①式代入上式可得（1+6）如二上一%?
・*，+团2=0,
73+4公3+4公
同时乘以3+4必可化简得。
+如）（W-12）-Sk2m2+3m2+4m2k?
=0,
所以7〃/-12^=12,即7/一12二为定值.
20.（本小题满分12分）
已知函数/（x）=/+bx+c,且/（x）KO的解集为[-1,2].
（1）求函数/*）的解析式；
（2）解关于x的不等式s/'（x）>20—〃[-1）（m2。
）；
（3）设g（x）=2/⑶+3Z,若对于任意的占，x2e[-2,1]都有|8（%）-双/）|二〃，求M的最小值.
解：
（1）因为/。
）（0的解集为所以/+公+。
=0的根为一1,2,
所以一〃=1,c=-2,即人=-1,c=-2；所以/（x）=X2-x-2：
（2）ntf（x）>2（x-m-\）,化简有机（炉一工一2）>2（工一〃?
一1）,整理（加工-2）*—1）>0,所以当〃?
=0时，不等式的解集为
（2）
当0<〃7<2时，不等式的解集为（
升级会员 