必修一数学知识点.docx

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必修一数学知识点

高一数学必修1各章知识点总结

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性如：

世界上最高的山

（2）元素的互异性如：

由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

（3）元素的无序性:

如：

{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：

{…}如：

{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：

A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：

列举法与描述法。

◆注意：

常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：

N

正整数集 N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1）列举法：

{a,b,c……}

2）描述法：

将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

3）语言描述法：

例：

{不是直角三角形的三角形}

4）Venn图:

4、集合的分类：

（1）有限集 含有有限个元素的集合

（2）无限集 含有无限个元素的集合

（3）空集  不含任何元素的集合 例：

{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：

有两种可能

（1）A是B的一部分，；

（2）A与B是同一集合。

反之:

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2．“相等”关系：

A=B （5≥5，且5≤5，则5=5）

实例：

设 A={x|x2-1=0}B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：

①任何一个集合是它本身的子集。

AA

②真子集:

如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

③如果AB,BC,那么AC

④如果AB 同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

三、集合的运算

运算类型

交 集

并 集

补 集

定  义

由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：

AB（读作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB}）．

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

S

A

记作，即

CSA=

韦

恩

图

示

S

A

性  

质

AA=A 

AΦ=Φ

AB=BA

ABA

ABB

AA=A

AΦ=A

AB=BA

ABＡ

ABB

（CuA）（CuB）

=Cu（AB）

（CuA）（CuB）

=Cu（AB）

A（CuA）=U

A（CuA）=Φ．

例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是                 （ ）

A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数

2.集合{a，b，c}的真子集共有   个 

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是     .

4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是   

5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有   人。

6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=       .

7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函数的有关概念

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

 （3）对数式的真数必须大于零；

（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

（6）指数为零底不可以等于零，

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

◆相同函数的判断方法：

①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致（两点必须同时具备）

（见课本21页相关例2）

2．值域:

先考虑其定义域

（1）观察法

（2）配方法

（3）代换法

3.函数图象知识归纳

（1）定义：

在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈A）的图象．C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.

（2）画法

A、描点法：

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1）平移变换

2）伸缩变换

3）对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

AB为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f（对应关系）：

A（原象）B（象）”

对于映射f：

A→B来说，则应满足：

（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数 

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值情况．

（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：

复合函数

如果y=f（u）（u∈M）,u=g（x）（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x）（x∈A） 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性（局部性质）

（1）增函数

设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

注意：

函数的单调性是函数的局部性质；

（2）图象的特点

如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3）.函数单调区间与单调性的判定方法

（A）定义法：

任取x1，x2∈D，且x1

作差f（x1）－f（x2）；

变形（通常是因式分解和配方）；

定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．

（B）图象法（从图象上看升降）

（C）复合函数的单调性

复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律：

“同增异减”

注意：

函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

确定f（－x）与f（x）的关系；

作出相应结论：

若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．

注意：

函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，

（1）再根据定义判定;

（2）由f（-x）±f（x）=0或f（x）／f（-x）=±1来判定;（3）利用定理，或借助函数的图象判定.

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1）凑配法

2）待定系数法

3）换元法

4）消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

利用图象求函数的最大（小）值

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；

例题：

1.求下列函数的定义域：

⑴    ⑵  

2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ 

3.若函数的定义域为，则函数的定义域是    

4.函数，若，则=      

5.求下列函数的值域：

⑴     ⑵

（3）       （4）

6.已知函数，求函数，的解析式

7.已知函数满足，则=      。

8.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=  

在R上的解析式为            

9.求下列函数的单调区间：

⑴ ⑵ ⑶

10.判断函数的单调性并证明你的结论．

11.设函数判断它的奇偶性并且求证：

．

第二章基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．

◆负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，

◆0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）·    ；

（2）      ；

（3）    ．

（二）指数函数及其性质

1、指数