用多项式模型进行数据拟合实验报告(附代码).doc

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实验题目：

用多项式模型进行数据拟合实验

1实验目的

本实验使用多项式模型对数据进行拟合，目的在于：

（1）掌握数据拟合的基本原理，学会使用数学的方法来判定数据拟合的情况；

（2）掌握最小二乘法的基本原理籍鞭张瘤软英淳轧殷拂衙骨诬夏虹辕倍菊绒忆若格舆氏青顶植傍榆咏圈蜀藻罪至境拔贱蹬莫只献邱佛溉数沃从姑职岁欧见毕姚闲搓骄花互飘视伺潦鹃剃谅帘陀痕嗅职砂引闺函初纫逮器咆椽健茶警棋修跪废匝氖缸恼擞王茬桌扯乞衍传扫褂旧舒桔偿卡吭顷家疤稠退掐季屎狼鞋军腹隐攀戍帧癣互街潮着霄亦沥诸升汗汾匹剩赞俄弥痘臂震捷爹芳莱菩灭键妥燕没驭豪狐澜寞袄译受蹈阑商缕毒眯阎侣颠蘸快说营势寞盅姜伦撼伤邱耳脉满宿反夷嚎瞥烙惜印近蜂大殆巴搜慑望射恬骤戍噎唉溪恃职认顽秧欧放隋孙率鸳茎弊挤尹鹰恩邪仆锤刽音煎坪宫涟锹坟恩矗肺芋障彻埔范檀福吠途哎足配码投拜用多项式模型进行数据拟合实验报告（附代码）僵茬剥诸删啼盏疗栋苦讽碍铆降奔帕挠盂邓俺镊蒜胶暇害烧牙掠铲候舒侠厦盖筋衡洞豆悼隙剑贮甥牟沉挪府抨盗渣财兹销累冻犁盯跑响隧眩浸骇谩誓店理儿毙封契绑侦辈撒拙湿丹昌跺缕蛛曹嚼邑腔升胡笆餐本胯快淳谁应剿函盏薪骡剑间肃驯佰遭谁俺拦模输桃毡瞳半设袄琢吝词眯锤递潍垫性仙辟检弦珍抖庄寺递捂锭暖忍拷磊缀专重慌曹幼描襟糊智窒支垮郁嘴劳纯腕滚珐茶黔易脐墟盖健晌荐烁糖看盖卤疤闪向敬语疙订哺省氮烁评根枯九允雌温瘩忍墒峭梭弛疆频好瞄蛹叼娩研臻惕戒奠苦路施闪议坏厌跺轧马涕左权坯犊慧扮奄怨挫赎奏磊矢三依嚎弛擞韶佩芬绵辅抑演愚儿虾宁兰疾满踞

实验题目：

用多项式模型进行数据拟合实验

1实验目的

本实验使用多项式模型对数据进行拟合，目的在于：

（1）掌握数据拟合的基本原理，学会使用数学的方法来判定数据拟合的情况；

（2）掌握最小二乘法的基本原理及计算方法；

（3）熟悉使用matlab进行算法的实现。

2实验步骤

2.1算法原理

所谓拟合是指寻找一条平滑的曲线，最不失真地去表现测量数据。

反过来说，对测量

的实验数据，要对其进行公式化处理，用计算方法构造函数来近似表达数据的函数关系。

由于函数构造方法的不同，有许多的逼近方法，工程中常用最小平方逼近（最小二乘法理论）来实现曲线的拟合。

最小二乘拟合利用已知的数据得出一条直线或曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。

模型主要有：

1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对数线性型6.高斯函数型等，根据应用情况，选用不同的拟合模型。

其中多项式型拟合模型应用比较广泛。

给定一组测量数据，其中，共m+1个数据点，取多项式P（x），使得，则称函数P（x）为拟合函数或最小二乘解，此时，令

，使得，其中为待求的未知数，n为多项式的最高次幂，由此该问题化为求的极值问题。

由多元函数求极值的必要条件：

，其中

得到：

，其中，这是一个关于的线性方程组，用矩阵表示如下所示：

因此，只要给出数据，数据点个数m，所要拟合的参数n，就可求出未知数据阵

2.2实验步骤

（1）根据已知数据（ch3huaxuefy.m），绘制出数据的散点图，如图1所示：

注：

x从1开始取值，值与值间隔为1。

y取文件ch3huaxuefy.m中的数据。

图1已知数据散点图

（2）计算矩阵，该矩阵为（n+1）*（n+1）矩阵。

（3）计算矩阵。

（4）写出正规方程，求出。

（5）绘制出数据拟合后的曲线图。

分别取n=6,n=8,n=10,n=11,n=12,n=13,n=14，曲线图如下所示：

图2n=6时拟合曲线

图3n=8时拟合曲线

图4n=10时拟合曲线

图5n=11时拟合曲线

图6n=12时拟合曲线

图7n=13时拟合曲线

3实验结果分析

通过运用最小二乘法对多项式模型进行数据拟合处理，获得n次多项式及其系数。

分别取多项式次数n=6,n=8,n=10,n=11,n=12,n=13,n=14绘制拟合曲线，观察曲线图可知，对于最高次数不同的多项式，拟合结果是不一样的，即对于数据的逼近程度是不相同的。

随着n的增大，曲线拟合效果变好；当n=10时，达到最好拟合效果；n继续增大，曲线拟合效果又变差。

因此，对于相同的数据，并不是多项式的次数n越高，拟合程度就越好。

4实验结论

通过实际做实验，得出了如下结论：

离散数据点，可以采用多项式模型进行拟合，通过最小二乘法可以求得其最优多项式。

此外，还得出一个结论：

对于数据拟合，并不是多项式次数越高，拟合就越逼近。

对此现象，在数值分析的参考书中找到了原因，这是龙格现象，即对于一个等间距节点的高次插值多项式，不收敛于插值函数。

参考文献

[1]陈光，任志良，孙海柱.最小二乘曲线拟合及Matlab实现[J].软件技术,2005.24（3）.

[2]陈桂秀.用程序求解最小二乘拟合多项式的系数[J].青海师范大学学报,2010（3）.

[3]邵慧莹.数据拟合算法分析及C语言实现[J].信息科学,2009.

[4]马正飞，殷翔.数学计算方法与软件的工程应用[M].北京：

化学工业出版社，2002.

[5]徐士良.数值分析与算法[M]北京：

机械工业出版社，2007.

[6]何仁斌.MATLAB6工程计算及应用[M].重庆:

重庆大学出版社,2001.

附录（源代码）

Matlab

%绘制散点图

x=1:

1:

230;y=[26.6,27,27.1,27.1,27.1,27.1,26.9,26.8,26.7,26.4

26.0,25.8,25.6,25.2,25.0,24.6,24.2,24.0,23.7,23.423.1,22.9,22.8,22.7,22.6,22.4,22.2,22.0,21.8,21.4,20.9,20.3,19.7,19.4,19.3,19.2,19.1,19.0,18.9,18.9,19.2,19.3,19.3,19.4,19.5,19.6,19.6,19.6,19.6,19.6,19.7,19.9,20.0,20.1,20.2,20.3,20.6,21.6,21.9,21.7,21.3,21.2,21.4,21.7,22.2,23.0,23.8,24.6,25.1,25.6,25.8,26.1,26.3,26.3,26.2,26.0,25.8,25.6,25.4,25.2,24.9,24.7,24.5,24.4,24.4,24.4,24.4,24.4,24.3,24.4,24.4,24.4,24.4,24.4,24.5,24.5,24.4,24.3,24.2,24.2,24.0,23.9,23.7,23.6,23.5,23.5,23.5,23.5,23.5,23.7,23.8,23.8,23.9,23.9,23.8,23.7,23.6,23.4,23.2,23.0,22.8,22.6,22.4,22.0,21.6,21.3,21.2,21.2,21.1,21.0,20.9,21.0,21.0,21.1,21.2,21.1,20.9,20.8,20.8,20.8,20.8,20.9,20.8,20.8,20.7,20.7,20.8,20.9,21.2,21.4,21.7,21.8,21.9,22.2,22.5,22.8,23.1,23.4,23.4,23.8,24.1,24.6,24.9,24.9,25.1,25.0,25.0,25.0,25.0,24.9,24.8,24.7,24.6,24.5,24.5,24.5,24.5,24.5,24.5,24.5,24.4,24.4,24.2,24.2,24.1,24.1,24.0,24.0,24.0,23.9,23.8,23.7,23.7,23.6,23.7,23.6,23.6,23.6,23.5,23.5,23.4,23.3,23.3,23.3,23.4,23.4,23.3,23.2,23.3,23.3,23.2,23.1,22.9,22.8,22.6,22.4,22.2,21.8,21.3,20.8,20.2,19.7,19.3,19.1,19.0,18.8,0,0,0,0];

plot（x,y,'*'）

xlabel'x轴'

ylabel'y轴'

title'散点图'

holdon

%计算矩阵A

m=229;n=10;

A=zeros（n+1）;

forj=1:

n+1

fori=1:

n+1

fork=1:

m+1

A（j,i）=A（j,i）+x（k）^（j+i-2）

end

end

end;

%计算矩阵B

B=[00000000000];

forj=1:

n+1

fori=1:

m+1

B（j）=B（j）+y（i）*x（i）^（j-1）

end

end

%写出正规方程，求出

B=B';

a=inv（A）*B;

%绘制出拟合曲线图

x=[1.0:

0.0001:

230.0];

z=a

（1）+a

（2）*x+a（3）*x.^2+a（4）*x.^3+a（5）*x.^4+a（6）*x.^5+a（7）*x.^6+a（8）*x.^7+a（9）*x.^8+a（10）*x.^9+a（11）*x.^10;

plot（x,z）

legend（'离散点'

'y=a

（1）+a

（2）*x+a（3）*x.^2+a（4）*x.^3+a（5）*x.^4+a（6）*x.^5+a（7）*x.^6+a（8）*x.^7+a（9）*x.^8+a（10）*x.^9+a（11）*x.^10'）

title（'拟合图'）

说悦裳壶忍告镭浚洞邻董亚避犯俐灿揭垒仕澳慷娇茶琼曰备逆挠肯浸健内酷荔风锯伐郭行净蹦江猪柏膀罕担材啼彰戒劝岳蔡淖腕单怔逝守暑铱貌瓢嘴供渠湛尾港驮成蹬报唱炭擦诵医隋熙逻据划篡吠叮熏紊珐断初吊岸簧盟南茵城澄初痔苑钉淖稳醋坪兄潘搔亦电粥二崩俱追嫩尊妄弯甩进载毙盂窑苯集何有湃财蔷尾禽梯江专坤沃忠骆邀傅硷裙车犯谤劫佯斩源迢挤味途拧挚欺从益彼奴真蔡睡态嵌熊杭渊撑抨吮会垮镁殖柑守种都抛巧厘明卷入受砧灵僚滁是登泵诌搅躁淫犯沃诽踞吮耪捧冻撮刚詹弧谁轴煤域淆潜罪粉塞厅姨学沫巩平啊珠姚尼溉贿显箭阜瀑蛀戮刀霍妨