例2
如果把q＝1.0×10－8C的电荷从无穷远处移到电场中的A点，需要克服电场力做功W＝1.2×10－4J，那么：
（1）q在A点的电势能和A点的电势各是多少；
（2）q在未移入电场前A点的电势是多少．
答案
（1）1.2×10－4J 1.2×104V
（2）1.2×104V
解析
（1）电场力做负功，电势能增加，无穷远处的电势为零，电荷在无穷远处的电势能也为零，电势能的变化量等于电场力做的功，即W∞A＝Ep∞－EpA＝0－EpA.
所以EpA＝－W∞A＝W＝1.2×10－4J，φA＝
＝
V＝1.2×104V.
（2）A点的电势是由电场本身决定的，跟A点是否有电荷存在无关，所以q在移入电场前，A点的电势仍为1.2×104V.
二、对等势面的理解
1．在同一等势面内任意两点间移动电荷时，静电力不做功．
2．等势面是为描述电场的性质而假想的面．两等势面不相交．
3．电场线总是和等势面垂直，且电场线从电势较高的等势面指向电势较低的等势面．已知等势面的形状分布，可以绘制电场线，从而确定电场大体分布．
4．在电场线密集（稀疏）的地方，等差等势面也密集（稀疏）．因此由等差等势面的疏密，可以定性地确定比较各点场强的大小．
例3
如图3所示，真空中等量异种点电荷放置在M、N两点，在MN的连线上有对称点a、c，MN连线的中垂线上有对称点b、d，则下列说法正确的是（ ）
图3
A．a点场强与c点场强一定相同
B．a点电势一定低于c点电势
C．负电荷在c点电势能一定大于在a点电势能
D．正电荷从d点移到b点电场力不做功
答案 AD
解析 根据真空中等量异种点电荷电场线分布特点，在MN的连线上对称点a、c场强一定相同，故A正确；因沿着电场线方向电势逐渐降低，但电场方向未知，则a点电势不一定低于c点电势，故B错误；电荷从a点移到c点，电场力做功正负未知，则不能判断电势能增减，负电荷在c点电势能不一定大于在a点电势能，故C错误；而MN连线的中垂线是等势线，其上的对称点b、d电势相等，则正电荷从d点移到b点电场力不做功，故D正确．
例4
位于A、B处的两个带有不等量负电的点电荷在平面内电势分布如图4所示，图中实线表示等势线，则（ ）
图4
A．a点和b点的电场强度相同
B．正电荷从c点移到d点，电场力做正功
C．负电荷从a点移到c点，电场力做正功
D．正电荷在e点的电势能大于在f点的电势能
答案 C
解析 a、b两点场强方向不同，A错．c点电势低于d点，正电荷从c点移到d点，即正电荷向高电势处移动、电场力做负功，B错．a点电势低于c点，从a到c，把负电荷向高电势处移动，电场力做正功，C对．因e和f等势，故电荷在两点电势能相等，D错．
借题发挥 等势面的应用
（1）利用等势面和电场线垂直以及沿电场线电势降低的特点可判断电场线的方向．
（2）利用等势面的密集程度也可以比较场强大小，密大疏小．（3）在等势面上移动电荷时，或者带电粒子从一个等势面运动又返回到这个等势面上时，电场力均不做功.
对电势的考查
1．将一正电荷从无穷远处移至电场中M点，电场力做功为6.0×10－9J，若将一个等量的负电荷从电场中N点移向无穷远处，电场力做功为7.0×10－9J，则M、N两点的电势φM、φN有如下关系（ ）
A．φM＜φN＜0B．φN＞φM＞0
C．φN＜φM＜0D．φM＞φN＞0
答案 C
解析 取无穷远处电势φ∞＝0.
对正电荷：
W∞M＝0－EpM＝－qφM，
φM＝
＝－
；
对负电荷：
WN∞＝EpN－0＝－qφN，
φN＝
＝－
；
所以φN＜φM＜0，选项C正确．
2．如图5所示，某区域电场线左右对称分布，M、N为对称线上的两点．下列说法正确的是（ ）
图5
A．M点电势一定高于N点电势
B．M点场强一定大于N点场强
C．正电荷在M点的电势能大于在N点的电势能
D．将电子从M点移动到N点，电场力做正功
答案 AC
解析 沿电场线方向，电势降低，所以M点电势一定高于N点电势，A正确；电场线的疏密程度表示电场的强弱，由图可知，M点场强一定小于N点场强，B错误；正电荷q在M点的电势能EpM＝qφM，在N点的电势能EpN＝qφN，由于φM＞φN，所以EpM＞EpN，C正确；电子在电场中受电场力的方向沿NM指向M，故从M移动到N，电场力做负功，D错误．
对等势面的理解和应用
3．两异种点电荷电场中的部分等势面如图6所示，已知A点电势高于B点电势．若位于a、b处点电荷的电荷量大小分别为qa和qb，则（ ）
图6
A．a处为正电荷，qa＜qb
B．a处为正电荷，qa＞qb
C．a处为负电荷，qa＜qb
D．a处为负电荷，qa＞qb
答案 B
解析 若把该图象与等量异种点电荷电场中的部分等势面图比较，可以得到：
靠近正电荷的点电势高，靠近负电
荷的点，电势较低．a处为正电荷．等量异种点电荷电场中的部分等势面图象中的等势面左右对称，无穷远处的电势为0.该图象的左侧的等势线比较密，无穷远处的电势为0，所以无穷远处到两点之间的电势差相比，与a点之间的电势差比较大，所以a点所带的电量就多．故选B.
4．如图7所示，实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在轴上有A、B两点，则（ ）
图7
A．A点场强小于B点场强
B．A点场强方向指向x轴负方向
C．A点场强大于B点场强
D．A点电势高于B点电势
答案 AD
解析 由于电场线与等势面总是垂直，所以B点电场线比A点密，B点场强大于A点场强，故A正确、C错误．电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，故B错误．由图中数据可知D正确.
题组一 电势概念的理解及有关计算
1．关于同一电场的电场线，下列表述正确的是（ ）
A．电场线是客观存在的
B．电场线越密，电场强度越小
C．沿着电场线方向，电势越来越低
D．电荷在沿电场线方向移动时，电势能一定减小
答案 C
解析 电场线只是为了形象描述电场而假想的线，实际不存在，故A错．电场线越密，电场强度越大，故B错．沿电场线方向电势越来越低，电荷在沿电场线方向移动时正电荷电势能减小，负电荷电势能增大，故C正确，D错误．
2．下列关于电势高低的判断，正确的是（ ）
A．负电荷从A移到B时，外力做正功，A点的电势一定较高
B．负电荷从A移到B时，电势能增加，A点的电势一定较低
C．正电荷从A移到B时，电势能增加，A点的电势一定较低
D．正电荷只在电场力作用下从静止开始，由A移到B，A点的电势一定较高
答案 CD
解析 根据电场力做功和电势能变化的关系，不管是正电荷还是负电荷，只要电场力做正功电势能就减少；只要电场力做负功电势能就增加．正、负电荷在电势高低不同的位置具有的电势能不同，正电荷在电势高处具有的电势能大；负电荷在电势低处具有的电势能大，可以确定选项C、D正确．
3．如图1所示，A、B为两等量异种点电荷，A带正电，B带负电，在A、B连线上有a、b、c三点，其中b为连线的中点，ab＝bc，则（ ）
图1
A．a点与c点的电场强度相同
B．a点与c点的电势相同
C．a、b、c三点的电势关系：
φa＞φb＞φc
D．点电荷q沿A、B连线的中垂线移动，电场力不做功
答案 ACD
解析 两等量异种电荷，产生的电场关于AB连线的中垂线对称，则可知a点与c点的电场强度相同，A选项正确；电场线方向从A到B，沿着电场线方向电势降低，B错误，C正确；由于等量异种电荷产生的电场关于AB连线的中垂线左右对称，点电荷q沿A、B连线的中垂线移动时，受到的电场力与速度方向垂直，所以电场力不做功，故D正确；故选A、C、D.
4．如图2所示，把电荷量为－5×10－9C的电荷，从电场中的A点移到B点，其电势能________（选填“增大”“减小”或“不变”）；若A点的电势φA＝15V，B点的电势φB＝10V，则此过程中电场力做的功为________．
图2
答案 增大 －2.5×10－8J
解析 电荷由A点移到B点，电场力做负功，故电势能增大．由电场力做功与电势能变化的关系知，电场力做的功为WAB＝EpA－EpB＝qφA－qφB＝q（φA－φB）＝（－5×10－9）×（15－10）J＝－2.5×10－8J.
题组二 等势面的特点及应用
5．关于等势面下列说法正确的是（ ）
A．电荷在等势面上移动时不受电场力作用，所以不做功
B．等势面上各点的场强相等
C．等差等势面越密的地方，场强越大
D．在负的点电荷形成的电场中，电场线由低等势面指向高等势面
答案 C
解析 电荷在等势面上移动时受电场力作用，只是电场力与运动方向垂直，所以电场力不做功，故A错；等势面的疏密表示电场的强弱，等差等势面越密表示场强越强，故C对；但同一等势面上电场线疏密及方向可以不同，场强不一定相同，故B错；在任何的电场中电场线总是由高电势指向低电势，故D错．
6．如图3所示，B、C、D三点都在以点电荷＋Q为圆心，半径为r的圆弧上，将一试探电荷从A点分别移动B、C、D各点时，电场力做功是（ ）
图3
A．WAB>WAC
B．WAD>WAB
C．WAC>WAD
D．WAB＝WAC
答案 D
解析 由WAB＝q（φA－φB），WAC＝q（φA－φc），WAD＝q（φA－φD），又φB＝φD＝φC.故WAB＝WAC＝WAD.
7．如图4所示，图中虚线表示某一电场的等势面，cd为过O点的等势面的切线，现用非静电力将负电荷q从a点沿着aOb匀速移到b点，当电荷通过O点时，关于外力的方向，下列说法正确的是（忽略重力）（ ）
图4
A．Od方向
B．Oc方向
C．Oa方向
D．以上说法都不对
答案 D
解析 负电荷受力方向与该点场强方向相反，根据等势线的性质可知负电荷在O点受到的电场力方向应为垂直于cd向左，由q匀速运动所以负电荷q受到的外力方向应垂直于cd向右，故选D.
8．下列四个图中，a、b两点电势相等、电场强度也相等的是（ ）
答案 D
解析 匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇等间距的平行平面，A中a、b两点不在同一等势面上，所以，这两点的电势是不相等的，但这两点的场强相等；B中a、b两点在同一个等势面上，电势相等，但这两点的场强大小相等、方向不同；C中a、b两点对称于两电荷的连线，所以电势相等，但在中垂线上场强的方向是平行于中垂线的，而且都指向外侧，故两点的场强的方向不同；D中，a、b两点的电势相等，场强的方向是沿连线的，而且方向相同，故本题选D.
9．如图5所示，O为两个等量异种电荷连线的中点，P为连线中垂线上的一点，对O、P两点的比较正确的是（ ）
图5
A．φO＝φP，EO>EP
B．φO>φP，EO＝EP
C．负电荷在P点的电势能大
D．O、P两点所在直线为等势线
答案 AD
解析 等量异种电荷的中垂线是一条等势线，故φO＝φP，D对，电势能相等，C错；有叠加可知从中点O到无穷远，电场强度越来越小，故EO>EP，A正确．
题组三 综合应用
10．如图6所示，甲是某电场中的一条电场线，A、B是这条电场线上的两点，若将一负电荷从A点自由释放，负电荷沿电场线从A到B运动过程的速度－时间图象如图乙所示，比较A、B两点电势φ的高低和场强E的大小可得（ ）
图6
A．φA＞φBB．φA＜φBC．EA＞EBD．EA＝EB
答案 BC
解析 电子速度在增加，说明电场力方向由A指向B，场强方向由B指向A，所以φB＞φA，B对．又知加速度在减小，所以EA＞EB，C对．
11．一带电粒子射入一固定在O点的点电荷的电场中，粒子运动轨迹如图7中实线ABC所示，图中虚线是同心圆弧，表示电场的等势面，不计重力，可以判断（ ）
图7
A．此粒子一直受到静电排斥力作用
B．粒子在A点和C点的速度大小一定相等
C．粒子在B点的动能一定大于在A点的动能
D．粒子在B点的电势能一定大于在C点的电势能
答案 ABD
解析 如题图所示，轨迹向左弯曲，带电粒子所受的电场力方向向左，则带电粒子受到了排斥力作用．故A正确．A、C两点处于同一等势面上，从A到C，电场力做功为零，则A、C两点动能相等，速度大小相等，故B正确．从A到B过程中，电场力做负功，可知电势能增大，动能减小，粒子在B点的动能一定小于在A点的动能．故C错误．从B到C过程中，电场力做正功，可知电势能减小，粒子在B点的电势能一定大于在C点的电势能，故D正确．故选A、B、D.
12．一个带电粒子在匀强电场中运动的轨迹如图8中曲线AB所示，平行的虚线a、b、c、d表示该电场中的四个等势面．不计粒子重力，下列说法中正确的是（ ）
图8
A．该粒子一定带正电
B．四个等势面中a等势面的电势一定最低
C．该粒子由A到B过程中动能一定逐渐减小
D．该粒子由A到B过程中电势能一定逐渐减小
答案 D
解析 根据电场线垂直于等势面，可画出电场线．再由粒子的运动轨迹可知，粒子受向上的电场力，由于粒子带电正负不确定，所以无法判断电场线的方向，无法判断电势高低，A、B错；由A到B的运动过程中，静电力做正功，所以粒子的动能增大，电势能减小．C错，D正确．
13．如图9所示，光滑绝缘杆竖直放置，它与以正点电荷Q为圆心的某一圆周交于B、C两点，质量为m，带电荷量为－q的有孔小球从杆上的A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时速度大小为
，则小球从A运动到B的过程中，电场力做多少功？
若取A点电势为零，C点电势是多大？
图9
答案
mgh
解析 点电荷的等势面是以点电荷为球心的同心球面．从A到B，由动能定理得mgh＋W＝
mv
故W＝
mgh.
由于A点电势为零，所以在A点电势能为零．故在B点电势能EpB＝－W＝－
mgh，
所以B点电势φB＝
＝
＝
，
由于B、C两点电势相等，所以φC＝φB＝
.
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