小升初奥数专题.docx

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小升初奥数专题

小升初奥数专题讲座

第一讲行程问题

走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：

距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；时间行走或移动所花时间.

这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：

距离=速度X时间

很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种

最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如

总量=每个人的数量X人数.

工作量=工作效率X时间.

因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.

当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.

这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米

1.1追及与相遇

有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，

甲走的距离-乙走的距离

=甲的速度X时间-乙的速度X时间

=（甲的速度-乙的速度）X时间.

通常，“追及问题”要考虑速度差.

例1小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，

沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已

离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？

解：

先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间

此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因

此

所用时间=9十6=1.5（小时）.

小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿

车的速度是

9十為二别〔千米"卜时）

OU

面包车速度是54-6=48（千米/小时）.

城门离学校的距离是

48X1.5=72（千米）.

答：

学校到城门的距离是72千米.

例2小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每

分钟走75米•问家到公园多远？

解一：

可以作为“追及问题”处理•

假设另有一人，比小张早10分钟出发•考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是

50X10-（75-50）=20（分钟）•

因此，小张走的距离是

75X20=1500（米）•

答：

从家到公园的距离是1500米•

还有一种不少人采用的方法•

解二小张加快速度扁每走怅可节約时间§町〕分钟，因此

家到公园的距离是

1"（75~50=1刘0（氷）

一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”•那么你更喜欢哪一种解

法呢？

对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路

例3—辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶•如果速度是30千米/

小时，要1小时才能追上；如果速度是35千米/小时，要40分钟才能追上•问自行车的速

度是多少？

解一：

自行车1小时走了

30X1-已超前距离，

自行车40分钟走了

自行车多走20分钟，走了

因此，自行车的速度是

答：

自行车速度是20千米/小时.

解二：

因为追上所需时间=追上距离十速度差

1小时与40分钟是3:

2.所以两者的速度差之比是2:

3.请看下面示意图:

目行车速度

马上可看出前一速度差是15.自行车速度是

35-15=20（千米/小时）

解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同•这一解法的好处是，想清楚后，非常便

于心算.

例4上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的

时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

解：

画一张简单的示意图：

图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了

8-4=4（千米）.

而爸爸骑的距离是4+8=12（千米）.

这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12十4=3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8X3=24（千米）.

但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了

4+12=16（千米）.

少骑行24-16=8（千米）.

摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.

8+8+16=32.

答：

这时是8点32分.

F面讲“相遇问题”

小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么

甲走的距离+乙走的距离

=甲的速度x时间+乙的速度x时间

=（甲的速度+乙的速度）X时间.

“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.

例5小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他

们同时出发，几分钟后两人相遇？

解：

走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的36十12=3（倍），因此自行

车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的

距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，

小张花费的时间是

36+（3+1）=9（分钟）.

答：

两人在9分钟后相遇.

例6小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.

两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离•

解：

画一张示意图

1千米

I1

甲申上乙

点

离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米

小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是

2+（5-4）=2（小时）.

因此，甲、乙两地的距离是

（5+4）X2=18（千米）.

本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少？

”岂不是有“追

及”的特点吗？

对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题•重要的是抓住题目的本质，

究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想•千万不要“两人面对

面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”

请再看一个例子•

例7甲、乙两车分别从A,B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从AB两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A,B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A,B两地距离.

解：

先画一张行程示意图如下

1216_

I叮*1

丸DCEB

设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的•不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不论

在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键

下面的考虑重点转向速度差•

在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到D点•这两点距离是12

+16=28（千米），加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时•因此，在D点

（或E点）相遇所用时间是

28-5=5.6（小时）•

比C点相遇少用6-5.6=0.4（小时）•

甲到达D,和到达C点速度是一样的，少用04小时，少走12千米，因此甲的速度是

12-0.4=30（千米/小时）•

同样道理，乙的速度是

16-0.4=40（千米/小时）•

A到B距离是（30+40）X6=420（千米）•

答：

A,B两地距离是420千米•

很明显，例7不能简单地说成是“相遇问题”.

例8如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路•小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时•

问：

（1）小张和小王分别从A,D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？

（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？

解：

（1）小张从A到B需要1十6X60=10（分钟）；小王从D到C也是下坡，需要2.5十6X60=25（分钟）；当小王到达C点时，小张已在平路上走了25-10=15（分钟），走了

4X^=1（千氷）

因此在B与C之间平路上留下3-1=2（千米）由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是

2+（4+4）X60=15（分钟）•

从出发到相遇的时间是

25+15=40（分钟）•

（2）相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到A点需要走1十2X60=30

分钟，即他再走60分钟到达终点.

小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走

小张离终点还有2.5-1.5=1（千米）.

答：

40分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有1千米.

1.2环形路上的行程问题

人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关

例9小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180

米/分.

（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？

（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？

解：

（1）75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是

500-1.25-180=220（米/分）.

（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是

500-（220-180）=12.5（分）.

220X12.5-500=5.5（圈）.

答：

（1）小张的速度是220米/分；

（2）小张跑5.5圈后才能追上小王.

例10如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米.求这个圆的周长.

解：

第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈

从出发开始算，两个人合起来走了一周半•因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第

一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍,

即A至UD是

80X3=240（米）.

240-60=180（米）.

180X2=360（米）.

答：

这个圆的周长是360米.

在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极为类似，因此也归入这一节.

例11甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）•在出