4002数学建模之汽车租赁.docx
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4002数学建模之汽车租赁
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
B
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
4002
所属学校（请填写完整的全名）：
广东金融学院
参赛队员（打印并签名）：
1.
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
2010年9月6日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
汽车租赁
摘要
“朝阳产业”汽车租赁业正欣欣向荣的发展，本为就汽车租赁公司如何以最大利润和“稳态”的经营方案生产经营问题进行分析，建立整数规划模型，给出最大利润的经营安排。
针对问题一、二我们从利润入手，分别对公司周总成本和周总收益从各租借点出租、归还、转移、损坏的汽车收益与费用进行分析，建立利润的目标函数。
再从公司的经营方式入手，由顾客对A,B，C，D四个租借点汽车的不同需求量和具有修理能力的B，C租借点的修理能力的限制设立约束条件，建立整数规划模型，利用LINGO软件对模型进行求解，得出该公司拥有汽车322辆时利润最大为242262元，且实现“稳态”经营。
这时每天各个租借点的车辆安排如下表所示：
idate
A
B
C
D
星期一
47
53
78
110
星期二
68
55
83
74
星期三
63
58
81
63
星期四
56
56
71
49
星期五
51
53
37
156
星期六
49
28
62
109
针对问题三我们从满足客户需求入手，通过客户汽车需求量与可供出租的量的对比，建立服务能力指标模型，并对服务能力的高低进行打分，运用SAS软件得出D租借点的服务能力最强，能够稳定的满足客户的需求；B租借点的服务能力最弱。
针对的问题四，我们通过对B，C租借点维修能力的提高来分析可供出租的车子总量和利润的变动来检验整数规划模型的稳定性和对参数的敏感度，发现该模型在B租借点维修能力增加时利润加大，直到维修能力增加到16辆每天后利润达到最大，而改变C租借点的维修能力不会加大利润。
关键词：
利润最大化稳态经营方案整数规划模型
一、问题重述
汽车租赁业被称为“朝阳产业”，它因为无须办理保险、无须年检维修、车型可随意更换等优点，以租车代替买车来控制企业成本的管理方式，正慢慢受到国内企事业单位和个人用户的青睐。
无论是从中国宏观经济的走向趋势还是微观的社会基础来看，汽车租赁行业都有着无比光明的发展前途。
[1]
中国汽车租赁业于1989年起源于北京，到2008年6月底，中国13个中心城市的汽车租赁企业已经发展到800多家，但运营车辆仅4.5万辆，其中80%的企业运营车辆不足50辆。
面对汽车租赁业如此光明的市场前景，汽车租赁公司该如何安排经营，才能使自己获得最大利润，在汽车租赁行业中具有一席之地，这是汽车租赁公司迫切关注的问题。
所以我们对汽车租赁公司利润最大化和“稳态”经营方案进行分析，建立模型，解决利润最大化问题。
现在有一个小型的汽车租赁公司只提供一种类型的汽车，并且有四个租借点：
A、B、C、D，每天顾客可以从各个租借点租借汽车，且可以在任意租借点归还汽车，为了使每周的利润最大化，公司希望获得一个“稳态”的经营方案，即在每周固定的日子（例如周一），将大致固定的预计数目的车量安排到固定的租借点。
为了获得利润最大化和“稳态”的方案，公司对租赁需求和汽车归还的情况进行了统计：
实际需求量可假设为正态分布，其平均值与均方差有以下估计（公司每周开放从周一至周六，周日休息）：
表1.公司各个租借点每天的汽车需求情况
租借点
日期
A
B
C
D
ｕ
σ
ｕ
σ
ｕ
σ
ｕ
σ
周一
101
4
150
4
135
4
85
2
周二
118
4
230
5
250
5
145
3
周三
80
3
225
5
210
4
98
3
周四
95
3
195
5
242
5
111
3
周五
70
3
124
4
160
4
99
3
周六
55
2
96
3
115
3
87
2
为了给该公司获得利润最大化和“稳态”的方案，我们分别对以下问题进行求解：
1．公司需要拥有多少车辆？
2．每天安排于各个租借点的车辆数？
3．请对每个租赁点的服务能力做出评价。
4．检验你的模型的稳定性及对参数的敏感。
二、合理假设
1.顾客按时归还应当于该天归还的车辆，没有任何拖欠；
2.汽车在租借点间的转移不会发生任何损坏；
3.汽车于每天开始营业时，该从租借点转出的汽车已经发出，该转入租借点的汽车已经到达；
4.汽车归还当天允许马上出借；
5.汽车不区分新旧均能在每天的开始租给需要的顾客；
6.损坏的车辆于归还当天被送至修理点；
7.损坏的车辆与完好的车辆在各租借点间的转移费用相同，转移在一天内完成；
8.无论是当天归还的受损汽车还是从其他无维修能力租借点转入的汽车均能在当天修理完毕；
9.受损车辆被归还到有维修能力的租借点后并须在此修理，不可转移；
10.修理完毕的汽车既可以在次日在修理点出租，也可以于次日作为完好无损的汽车转移到其它租借点后，第三天进行出租；
11.不考虑车子被转移时不被出借的时间；
12.汽车租期只能是一天，两天或三天，而不能是其它天数；
13.汽车租期与原地点及到达地点无关。
三、符号说明
汽车归还比例矩阵
TC
经营总成本
C1
运营成本
C2
固定成本
C3
租借点间汽车的转移成本
汽车转移成本矩阵
第i个租借点在完成第j天借还及转移业务后，剩余的完好车辆数
第j天归还到第i租借点的汽车总量
表示第j天从a租借点转移到第b租借点的完好无损的汽车总量
表示第j天从第i个租借点借出的汽车总量
第j天从第k个租借点转移到第l个租借点的受损车辆
在第i个租借点已经修好了的车辆数
第j天第i个租借点当天不能维修的受损车辆数
N
该公司拥有的汽车总量
R
公司的收益
公司总利润
四、问题分析与建模准备
这个小型的汽车租赁公司只提供一种类型的汽车，则到该公司租借汽车的顾客就不用面对汽车品牌选择问题。
因此我们把该企业的汽车看作没有任何差别的汽车处理。
下面我们从租赁公司的营运收入与成本两方面入手，了解该公司的经营问题。
2.1汽车租赁公司营运收入来源
汽车的总收入（TR）主要分为租金收入（R1）与
汽车租赁公司有四个租借点：
A，B，C，D。
顾客可以在每天的开始从各个租借点租借汽车，租期为1天，2天或3天，到期后，顾客可以选择在借出租借点归还汽车，也可以选择在另外任何一个租借点归还汽车。
例如顾客于周一在A租借点借入一辆汽车，租期为两天，则顾客必须在周三早上将汽车归还，归还点可以是A，B，C，D任何一个租借点。
如下图所示：
图1.顾客租入与归还汽车示意图
从图1中可以看出顾客可以不用特地把车开回A租借点归还，而在另外三个租借点中任意一个方便的地点归还，其他租借点借车、还车情况以此类推。
又以往数据统通过计，租期的分配为：
60%的车辆被租借1天，20%租借2天，20%租借3天。
当前的统计显示了从各个租借点租借并归还的比例如下：
表2.汽车租借与归还地点比例分布表
到达地点
出发地点
租借点
A
B
C
D
A
60
20
10
10
B
15
55
25
5
C
15
20
54
11
D
8
12
27
53
由表2可以列出汽车归还比例矩阵：
从表2中可以看到由于顾客归还汽车的租借点不同导致各租借点汽车拥有量发生变化，为了使每个租借点的汽车供应量能够满足顾客的需求量，必将引起各租借点之间的汽车的转移。
这给顾客带来方便的同时，也增加了汽车租赁公司的经营成本。
而企业家都是理性的经营者，他们会将这项成本转移到顾客身上，所以汽车租赁公司根据租期的长短和是否归还至原租借点收取不同的租赁价钱，租赁价钱如表1所示：
表3.租赁价格一览表（单位：
元）
归还点
租期
归还至原租借点
归还至另一租借点
1天租期
200
280
2天租期
280
400
3天租期
480
600
由表3可以看出租期为一天且归还原租借点的租金为200元，而归还至其他租借点的租金为280元，费用增加80元。
租期为两天且归还至原租借点的租金为280元，归还至其他租借点的租金为400元，费用增加120元。
租期为3天的价格归还至原租借点与归还至其他租借点的价格也相差120元。
对于租金问题，该公司还有一个特别优惠：
对于在跨周日租赁的顾客免周日一天的费用，即在周五租两天只需要在周一早上归还即可，汽车借顾客使用三天，只收取两天的租金。
在周五租三天，只需要在周二早上归还，实际上就是给顾客四天的使用时间，其他跨越周日的租赁优惠以此类推。
以上都是针对汽车完好无损归还的情形，当顾客归还的汽车受损时，顾客不用承担自己修理汽车的责任，但需要额外缴纳400元罚款。
2.2汽车租赁公司营运成本
分析完汽车租赁公司的收入来源后，接下来看看该公司的经营成本。
汽车租赁公司的经营成本（TC）主要由三方面组成：
1.运营成本C1；2.固定成本C2；3.租借点间汽车的转移成本C3。
即
运营成本包括磨损费和经营费等折旧费用与服务费用。
公司出租一辆汽车的“运营成本”的估计如下表所示：
表2.汽车租赁公司运营成本
租期/天
1
2
3
成本/元
80
100
120
拥有一辆汽车的“固定成本”包括资本、存放费用以及服务的利息，每周需要60元,即
；
由于顾客可以不在原租借点归还汽车，导致各个租借点的汽车不能很好分配，所以需要在固定时期将完好无损的车辆从一个租借点转移到另一个租借点以达到汽车的合理分配。
我们假设转移可在一天内完成，在不考虑当车子被转移时不被租借的时间，转移每辆车子的费用如下表所示：
表3.每辆汽车不同租借点间的转移费用（单位/元）
到达地点
出发地点
租借点
A
B
C
D
A
---
80
120
200
B
80
---
60
140
C
120
60
---
100
D
200
140
100
---
注：
“---”表示此处的转移是不成立的。
从表3中可得相同两个租借点间相互转移的费用是一样的，也即是说A与B租借点间的转移费用为80元，A与C租借点间的转移费用为120元，A与D租借点间的转移费用为200元，B与C租借点间的转移费用为60元，B与D租借点间的转移费用为140元，C与D租借点间的转移费用为100元，由此可见相邻两个租借点间的转移费用要比相隔两个租借点间的转移费用低，根据表3我们列出汽车转移成本矩阵：
由于该公司只有B、C两个租借点拥有汽车修理的能力，被归还到A,D租借点的损坏的汽车还必须转移到B或C这两个租借点才能维修，而受损汽车被归还到有修理能力的租借点，该车必须在此处进行修理而不能转移到其它地方修理，损坏的车辆的转移费用按完好无损的车辆的转移费用计算。
B租借点每天最多能修理12辆汽车，C租借点每天能够修理20辆汽车。
又每天归还的汽车中有10%的车辆受损，所以每天修理完的汽车数量不超过32辆，修理点选择如图2所示：
图2.损坏车辆维修图
由图2可以知道每天从A,D租借点转移过来和顾客归还到B租借点的损坏车辆的数量超过B租借点的维修能力12辆后，超过部分要等到下一天才能修理，每天从A,D租借点转移过来和顾客归还到C租借点的损坏车辆的数量超过C租借点的维修能力20辆时超过部分同样也要推迟一天修理。
维修需要一天的时间，修理好的汽车会被作为完好无损的车子在第二天在修理点被租出去或者在第二天转移到其它租借点于第三天被租出。
例如一辆损坏的车辆于周三早上被归还或转移至B租借点（有修理能力的租借点），立即于当天在此修理，在周四或者在此地被租出，或者被转移至其他租借点，并于周五在那里租出。
五、模型建立与求解
由问题分析我们可以清楚的看到汽车租赁公司的利润来源与经营方式，为了实现稳态经营，我们从分析中给出各约束条件，我们首先从每个租借点入手，分析其每天的汽车分配量与汽车租赁公司汽车量总的情况。
再从收入与成本入手，研究该公司的利润情况，最后建立整数规划模型解决该公司利润最大化和“稳态”经营问题。
5．1各个租借点汽车流动量
我们按以下的算法流程对该公司的运营情况进行分析：
图3.模型建立流程图
5．1．1各个租借点在某一天库存的完好的车辆数
把租借点A,B,C,D看做第一到四个租借点，设
为第i个租借点在完成第j天借还及转移业务后，剩余的完好的车辆数；
第j天归还到第i租借点的汽车总量；
表示第j天从a租借点转移到第b租借点的完好无损的汽车总量；
表示第j天从第i个租借点借出的汽车总量。
则第一个租借点A第i天拥有的完好的汽车库存量为：
为从其他三个租借点归还到第一个租借点A的汽车总量，
为从租借点A借出归还到其他租借点的汽车总量。
为归还到A租借点的受损车辆。
显然有：
；
D租借点的情况与A租借点完全相同。
下面是第二个租借点B的汽车库存情况：
为第j天从第k个租借点转移到第l个租借点的受损车辆；
为在第i个租借点已经修好了的车辆数，
为由于修理能力受限，第j天第i个租借点当天不能维修的受损车辆数，显然：
；
第三个租借点C的情况与租借点B的情况大体相同。
5.1.2.1各租借点每天汽车归还量
由问题分析中可以列出下列等式：
该式子表示在A租借点第j天的汽车归还量由其自身与其他三个租赁点前三天的出租量决定。
B，C，D租借点归还的情形与A租借点的情形完全类似，又各租借点间汽车归还比例矩阵为：
则各租借点每天汽车归还量为：
5.1.2.2每天归还的汽车中受损汽车的情况
由于A,D两个租借点没有修理能力，归还到这两个租借点的汽车必须于当天转移到有修理能力的B或C租借点进行修理。
则：
；
；
归还到B租借点的受损车辆为：
；归还到C租借点的受损车辆为：
。
到达B租借点当天已修的车辆数：
当天未能修好的车辆数：
为第j天提供给第二个租借点修理的汽车数量；
，表示当天未能维修的汽车数量。
到达C租借点的坏车维修情况与B租借点基本相同，只是修理能力比B租借点强，为20辆/每天。
则当天已经完成修理的车辆数：
；
当天未能完成修理的车辆数：
。
5．1．3公司的汽车情况
（1）第j天该汽车租赁公司的完好汽车总库存：
（2）第j天该汽车租赁公司各租借点租出的车辆总和：
原题可知实际需求量可近似看为正态分布，此时我们考虑小于0.05的小概率事件一般不发生，则需求量概率应该满足：
；即有
又从表1公司各个租借点每天的汽车需求情况可以列出客户需求矩阵:
通过数据的对比我们发现周二的需求量最大，当周二的最大需求基本满足时，其余时间的需求只需要局部调整就可以最大限度的满足顾客的需求，所以我们假设每周二为固定的转移时间。
又实际租出的汽车数量是不会超过需求量的，所以需满足：
；其他约束以此类推。
（3）第j天该公司处于修理中的汽车数量：
（4）第j天在各租借点间转移中的车辆数（包括好车和坏车）：
公司的汽车拥有量N为：
5.2公司利润情况
5.2.1公司的总收入
该公司的收入主要分为两部分：
租金收入和罚金收入。
则：
（1）每周的租金收入：
（2）每周的罚金收入：
（3）该公司每周的总效益为：
5.2.2公司的总成本
由问题分析中可得公司的成本分为运营成本、固定成本、转移成本三部分。
则：
（1）该公司每周的运营成本：
（2）该公司每周的固定成本：
（3）该公司的转移成本：
；
；
为各租借点间转移成本的转置矩阵；
为从A，B租借点转移到B，C租借点的坏车转移矩阵；
为从其他租借点转移过来的完好的汽车的转移矩阵。
（4）该公司运营的总成本：
5.2.3公司的总利润
有经济学知识可以得到该公司的总利润：
为了实现利润最大化，我们假设该公司可以出租的汽车量是供小于需的，即各个租借点每天的结束后没有库存的汽车。
5.3整数规划模型的建立
根据前面问题的分析与模型的初步建立，我们可以对该汽车租赁公司建立整数规划模型。
（1）目标函数的建立：
（2）最终模型：
；
；
均由非负整数构成的矩阵，其中j=1,2,3,4,5,6；i=1,2,3,4。
5.4模型求解
5.4.1问题一的求解
对于该整数规划模型，我们利用lingo软件对其进行求解，得出该公司要拥有322辆汽车用于出租才能获得最大利润和“稳态”的经营方案，此时利润为344303.3元。
5.4.2问题二的求解
由问题一的模型求解中，我们可以获得该公司在利润最大化的“稳态”经营下，每天安排于各个租借点的车辆数，具体安排如表4所示：
表4.各租借点汽车量安排表
A
B
C
D
星期一
48
62
97
73
星期二
53
68
87
62
星期三
56
72
88
53
星期四
58
75
88
49
星期五
40
53
89
93
星期六
43
54
71
83
从表4中可以看到每天每个租借点可供出租的汽车量，它与表1对比可以看出该公司每天拥有的汽车量的出租率高达百分之百，不会出现库存，这样使该公司的汽车高效利用，达到效益最优。
而且结果显示，该公司在每周一和五会进行租借点间汽车的转移以达到各个租借点间可供租借的汽车量的均衡。
具体转移为：
每周一从C租借点转移20辆完好的汽车到D租借点；每周五从C租借点转移17辆完好的汽车到D租借点。
其他时间只做损坏汽车的转移。
5.4.3问题三的模型建立与求解
对于汽车租赁公司来说，越是能够满足消费者的需求水平，该租借点的服务能力就越高，就越能获得消费者的好评。
我们把各个租借点每天提供的汽车出租量与统计结果中平均每天每个租借点的汽车需求量进行对比，定义服务能力评价指标，并以该指标计算结果为依据，对租借点的服务能力进行打分，我们规定达到服务指标的百分比最高的租借点服务评价分为4分，次之为3分，接着就是2分，服务指标最低的租借点给予0分。
服务指标模型为：
；
从该模型中可以看到，顾客平均每天的需求量μ，均方差σ与租赁点ƒ的服务能力成反比。
即当顾客平均每天的需求量μ增大，而租赁点可供出租的汽车数量
不变时，该租赁点只能满足少部分顾客的需求，导致客户对该租赁点的评价降低，所以在既定的供给量的情况下，汽车租借点当天客户对汽车的需求量越小该租借点的服务能力就越高；而均方差σ代表需求量的波动情况，σ越大，租借点的服务能力指标
越低，由于需求量的波动使得该公司要满足顾客的需要分配各租借点的汽车的难度加大，更容易导致供不应求的现象发生，使得顾客的需求更加难以满足，服务能力指标就越低。
运用SAS软件对该模型进行求解，得到结果如表3所示：
表5.租借点服务能力评价表
A
评分
B
评分
C
评分
D
评分
周一
0.118812
2
0.103333
1
0.17963
3
0.429412
4
周二
0.112288
3
0.05913
1
0.0696
2
0.142529
4
周三
0.233333
4
0.064
1
0.104762
2
0.180272
3
周四
0.203509
4
0.076923
2
0.072727
1
0.147147
3
周五
0.190476
3
0.106855
1
0.139063
2
0.313131
4
周六
0.390909
3
0.1875
1
0.205797
2
0.477011
4
服务分
19
7
12
22
从表5中可以看出D租借点的服务能力最强，获得22分的好评，每天能够比较稳定的给客户提供汽车出租，能够满足当天较多客户的需求。
A租借点的服务能力次之，除了周一会出现大量的供不应求外，其它时间都能比较稳定的满足客户的需求。
C租借点处于中等水平，汽车需求量波动比较大，每天可供出租的汽车很大程度上不能达到顾客的要求。
B租借点的服务能力最差，每天可供出租的汽车量远远不能满足客户的需求，如果不适当增加出租车总量，长期来看会影响到公司的总利润。
5.4.4问题四的模型建立与求解
为获得更大的利润，在人们需求不发生变化且成本不发生变化时，我们分析该公司为扩大利润会提高两地（B，C）的维修能力，从而增加公司拥有的总车辆达使利润最优最大化。
考虑在C维修能力不发生改变时，B地维修能力增强，对利润和车子总量的要求：
表5.维修能力改变后的车子总量和利润
B维修量变动
12
13
14
15
16
17
总车数
424
449
472
494
500
500
利润
344303.3
367717
389661
411606
419412
419412
由表5可以得到，B的维修能力增强，公司可以增大车子总数且提升该周利润，维修能力每提高一单位，公司可以获得的总车数和利润将扩大，但增长量逐渐变弱。
当维修能力达到每天修理数为16时，总司最大化利润419412元，此时车数达到500辆，如果再提高维修能力，不会再对利润产生影响。
当B地维修能力不发生改变时，公司提高C地的维修能力。
分析发现，当外界环境（即人们租赁车辆的偏好，归还给每个地方的比例等）不发生重大改变时，C地维修能力提高不会对总利润产生影响。
因此可以看出，在外界条件不发生改变时，C的维修能力只要保持现状即可，当增加B地维修能力将提高公司的周利润，但达到16辆/天时，将不再提高其维修能
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