国考方法精讲数量3.docx
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国考方法精讲数量3
方法精讲-数量3（笔记）
学习任务：
1.授课内容：
经济利润问题、高频几何问题。
2.时长：
2.5小时。
3.对应讲义：
165页～172页。
4.重点内容：
（1）进价、利润、折扣相关的公式，能准确地计算分段计费问题。
（2）常用的几何公式、常用三角函数以及勾股定理。
（3）常考的几何结论，以及相似三角形和最短路径的解题技巧。
第六节经济利润问题
【知识点】经济利润问题：
1.利润=售价-进价。
利润在考试中的概念是售价与进价的差值。
2.利润率=利润/进价。
例如：
开店卖足球，进价100元，售价250元，利润为150元。
利润中的百
分数是利润率。
利润率=150/100=150%，卖足球相对进价赚了150%。
（1）数量关系中，利润率=利润/进价。
（2）资料分析中，利润率=利润/收入。
（3）相同的词，公式不同。
资料分析研究国家、地区等宏观的利润率，
对于企业、地区来说成本难以衡量，但收入是可以衡量的，故而将收入当做
一个整体来计算，宏观情况研究收入利润率。
数学运算的情况比较简单、清
晰、微观，利润、售价均是在进价的基础上思考。
（4）结论：
数量中以进价为分母，资料中以收入为分母。
3.售价=进价*（1+利润率）。
（1）证明（过程无需理解，大致了解即可）：
售价=进价+利润=进价+进
价*利润率=进价*（1+利润率）。
250元的商品，250=100*（1+150%）。
（2）前两个公式是定义，第三个公式要理解，并记清楚。
1
（3）拓展：
经济利润的公式类似资料中的现期、基期，资料分析中的基
期，加上增长量变为现期，经济利润问题中，进价是基础，在进价的基础上
添加利润为售价，进价和基期类似，利润与增长量类似，售价与现期类似，
增长率=增长量/基期，利润率=利润/进价，数学中的利润率类似增长率。
不
止词汇对应，公式也与资料分析对应，对于公式（3），售价=进价*（1+利润
率）→现期=基期*（1+r），若觉得公式不好记，可以将两个公式糅合起来理
解。
4.折扣=售价/原价=折后价/折前价。
（1）商品有原价，卖不出去会打折，折后的价格称为折后价。
如原价25
0元的商品，现在卖50元，折扣=50/250=20%=2折。
若打8折，现价=250*80%。
（2）折上折：
100元的商品，先打九折变为90元，在此基础上再打8折（
注意不是在100的基础上打8折，即并非80），为90*80%=72元。
（3）100元的商品打八八折，即100*88%=88元，八五折为85元。
5.总价=单价*数量；总进价=单个进价*数量；总利润=单个利润*数量=总
售价-总进价。
（1）总价指总售价。
前面研究的均是单独的概念，实际生活中会涉及总
价格、总利润，与单件价格、单件利润、单件进价产生联系。
如单件利润80
元，卖出10件，总利润为800元。
2
（2）计算商品的总利润时，有两种算法，一是用单件利润*数量；二是
用总售价-总进价，一进一出差的钱数便是利润。
6.共5个公式，前3个公式是重中之重；公式4中，要知道100元的商品卖8
0元是打8折而非打2折；公式5需要知道总利润的两种算法。
例1（2018江西）某品牌的葛粉进价为20元，现降价20%卖出，结果还获
得进价52%的利润。
那么，该葛粉的定价是多少元？
（）
A.36
C.38
B.37
D.39
【解析】例1.“葛粉”是一种商品，无需知道是什么。
20元是进价，即成
本，降价是在定价的基础上降价20%，是打折的考法，如原来是100元，降价20%
是80元，即扣掉20%，是在定价的基础上打8折。
在20元的基础上，额外获得
了进价52%的利润，降价后实际售价=定价*（1-20%），进价为20元，利润为20*52%，
实际售价=进价+利润→定价*（1-20%）=20+20*52%，第一句话比较绕，理解清楚
是在定价的基础上降价即可（不是在成本的基础上降价），定价=（20+10.4）
/0.8=30.4/0.8=38。
【选C】
【注意】“20+20*52%”可以写为“20元*（1+52%）”。
例2（2018山东）商店购入一批某种水果，如按定价销售，每千克盈利23
元。
销售总量的5/9后，每千克降价8元卖出剩余部分，销售这批水果共盈利
2275元。
问按原定售价卖出了多少千克水果？
（）
A.60
C.75
B.65
D.80
【解析】例2.80%的经济利润问题是简单题。
盈利是利润，经济利润中有很
多近义词、同义词，如成本即进价。
前面卖出5/9，降价卖出剩余的4/9，总共
盈利即总利润，总利润有两种算法，总利润=单个利润*数量①=总售价-总进价②，
题目中没有给出进价、售价，有单件利润，优先用公式①，单件利润=23，问重
量，通过总利润2275元建立等量关系，单件利润是一公斤的利润23元，重量未
知，当出现总量的几分之几时，通过倍数特性设未知数，设总重量为9x，卖出
3
5/9即卖出5x，降价8元卖出剩余的量，即9x*4/9，成本不变，售价降8元，
这8元是少赚的钱数，说明利润少8元，列方程：
2275=23*9x*5/9+（23-8）
*9x*4/9，2275=115x+60x，x=2275/175=13公斤，注意设的是总重量，问的是按
原定售价卖出的量，即5x=65公斤。
【选B】
例3（2018北京）某水果批发商从果农那里以10元/公斤的价格购买了一批
芒果，运送到某地区售出。
在长途运输过程中有5%的芒果磕碰受损和另外5%的
芒果过度成熟，因此无法卖出，其余部分以25元/公斤的价格售出后，如果不计
运输等其他费用，这批芒果赚得利润12000元。
则该批发商从果农那里购买了多
少公斤芒果？
（）
A.480
C.960
B.800
D.1000
【解析】例3.过度成熟即熟烂了，两个5%卖不掉，其余90%按照25元/公
斤的价格售出，总利润是12000元，总利润=单个利润*数量=总售价-总成本，两
种思路均可用，此处均讲解。
方法一：
总利润=单个利润*数量，10%=1/10卖不掉，设总重量为10x，卖掉
10x中的90%，即10x*90%，单个利润=25-10=15元，无法卖出的部分相当于售价
为0元，每公斤亏10元，注意中间是加号，列式：
12000=（25-10）*10x*90%+
（0-10）*10x*10%，12000=15*9x+（-10）x，125x=12000，x=12000/125，答案首
位4、8、9、10，首位不同，大致估算即可，首位商9，对应C项。
类似资料分
析，算式正确，计算首位区分选项即可。
计算赚的钱后，容易忘记亏的钱，这是
易错点。
遇到“无法卖出”，一定要注意卖不掉的部分要计算亏了多少钱。
方法二：
设总重量为10x，卖出90%，总售价=单个售价*总重量=25*10x*90%，
只要进货，便要计算钱数，总进价=10*10x，列式：
12000=25*10x*90%-10*10x，
不需要考虑亏的部分，总售价对应90%的卖出部分，总进价包含了全部商品，算
法中已经考虑了亏损部分，建议用本方法，列方程更简单，12000=9x*25-100x，
x=9
+
，对应C项。
【选C】
例4（2015江苏）某商品今年的进价比去年减少15%，由于售价不变，利润
4
率比去年增加了24个百分点，则该商品去年的利润率为（）。
A.24%
C.36%
B.30%
D.42%
【解析】例4.经典考法，2017年及以前考得较多，近两年考得较少，技巧
性强。
售价不变，利润率比去年增加24个百分点，问去年的利润率，有今年、
去年两个时间（前面题目仅有一个时间点），价钱、利润率有变化，时间点复杂
的题目倾向于使用列表法，上面写去年（基期），下面写今年（现期），成本是进
价，利润可不写，横着写成本、售价、（利润）、利润率，没有给出具体的钱数，
均是百分数、百分点，可以考虑赋值法，均是在成本的基础上研究售价、利润，
赋值去年的成本为100元，无论减少多少都可以直接算出价格（百分数的基数是
100），今年成本为85元，不能再给售价赋值，可以设未知数，注意设售价为x
可做，但并非最好的设法，售价不变，计算的利润率是变量比较麻烦，利润率=
利润/成本，设去年利润为x，则去年利润率为x/100，售价不变，今年售价=去
年售价=成本+利润=100+x，今年利润为x+15，今年利润率=（x+15）/85。
“利润
率比去年增加了24个百分点”→x/100+24/100=（x+15）/85→（x+24）/100=
（x+15）/85→（x+24）/20=（x+15）/17。
方法一：
交叉相乘，20*（x+15）=17*（x+24），3x=17*24-300=108，解得x=36，
问去年的利润率，加上百分号即为答案，利润率=36/100=36%。
列表是必须的，
可以让条件更清晰，让思维更清楚。
方法二：
（x+24）/100=（x+15）/85，分子、分母同时加减得到新分数，分
子、分母同时做差：
（x+24）/100=（x+15）/85=（24-15）/（100-85）=3/5→（x+24）
/100=3/5，100是5的20倍，故而（x+24）是3的20倍，x+24=60，x=36，计算
量减少，添加百分号即为答案。
约分后操作更简单，（x+24）/100=（x+15）/85
5
→（x+24）/20=（x+15）/17=（24-15）/（20-17）=3→（x+24）/20=3→x=36。
【选C】
【注意】小技巧：
如果A/B=B/C，那么A/B=C/D=（A±C）/（B±D）。
例：
10/30=1/3=（10+1）/（30+3）=11/33，10/30=1/3=（10-1）/（30-3）=9/27。
【知识点】分段计费：
前四题考公式，后两题考分段计算。
经济利润中还有
部分打折题，近两三年很少考。
分段计费是近几年的热门考法。
1.在生活中，水电费、出租车计费等，每段计费标准不等，用得少便会便宜。
问：
在不同收费标准下，一共需要的费用？
2.计算方法：
（1）按标准，分开。
（2）计算后，汇总。
3.例：
某地出租车收费标准为：
3公里内起步价8元；超出3公里的部分，
每公里2元。
小明打车坐了12公里，共花费多少钱？
答：
3公里是分段点，3公里内起步价8元，3公里以上2元/公里，对应3～
12公里，共12-3=9公里，总价格=8+2*9=26元。
注意超过3公里的部分是2元，
需要分别计算前面3公里和后面9公里。
例5（2016河南）贾某在停车场停车，每个月前几个小时内收费的基础价格
为5元/小时，之后按照基础价格的90%收费，某月贾某的停车时间为120小时，
共交了545元，则按照基础价格停车的时间为多少小时？
（）
A.8
B.10
D.20
C.15
【解析】例5.“之后按照基础价格的90%收费”，即之后收费=5*90%=4.5元
/小时，给了总时间120小时和总钱数545元，前几个小时未知，假设基础时间
6
为x小时，则基础部分的钱数为5x，超标部分的钱数为4.5*（120-x）。
列式：
5x+4.5*（120-x）=545，整理得：
0.5x=545-540，解得x=10小时，对应B项。
【选B】
【注意】注意设的x是什么，本题求谁设谁，可以直接选。
例6（2018江西）为了节约水资源，某城市规定每人每月不超过5吨，则按
2.5元/吨收费；超出5吨的，超出部分按4元/吨收费，每次收费时用水量都按
整数计算，已知胡家3口人，熊家4口人。
某月月底结算时，胡家收费69.5元，
比熊家多交了15.5元。
那么，熊家该月用了多少吨水？
（）
A.20
C.22
B.21
D.23
【解析】例6.分段计费问题在近几年考的都相对简单。
本题跟上一题的区
别是标准不仅与时间有关，而且跟人口有关。
假如3个人标准为15吨，用了18
吨水，则15吨按照2.5元/吨去收费，超标的18-15=3吨按照4元/吨去收费。
问题问熊家，则胡家的情况不用考虑，熊家交了69.5-15.5=54元水费，熊家有
4口人，则标准为4*5=20吨。
设超标x吨，可列式20*2.5+x*4=54，整理得：
50+4x=54，x=1，则熊家用了20+1=21吨水，对应B项。
【选B】
【注意】分段计费问题一般设分段标准为x，如果知道分段标准，则一般设
超标的为x。
【答案汇总】1-5：
CBCCB；6：
B
【小结】经济利润：
7
1.基础经济：
（1）公式：
①利润=售价-进价，售价=进价*（1+r）。
②利润率=利润/进价。
③折扣=折后价/折前价，降价20%对应打8折。
④总价=单价*个数。
（2）方法：
①公式法。
②赋值法，不知道钱数，也不求具体的钱数时。
2.分段计费：
（1）水电费、出租车费、税费等。
（2）分段计算、汇总求和。
第七节高频几何问题
【知识点】高频几何问题：
几何问题太多太杂，中学学了多年的几何问题，
几何出题方式有很多种，经常出现中考的原题，通过总结真题，只讲考的比较多
的、高频的几何问题，即使学完方法精讲课，碰到不会做的几何问题也很正常。
1.公式类：
有公式就能做。
（1）规则图形。
直接可用公式，正方形、长方形、圆形……
（2）不规则图形：
转化为规则图形的和或者差，再去求解。
①下图，可以看作：
正方形-1/4圆形。
因此，不规则图形转化为规则图形的
和或差来计算。
8
②“L形”图形可以转化为两个长方形去解题。
2.结论类：
侧重于中学所学到的小结论、小技巧。
3.技巧类：
相似三角形、直角三角形勾股定理、最短路径等。
一、公式类
例1（2017联考）某单位准备扩建一矩形花圃，若将矩形花圃的长和宽各增
加4米，则新矩形花圃的面积比原来的面积增加了40平方米。
那么，原矩形花
圃的周长是多少？
（）
A.12米
C.32米
B.24米
D.40米
【解析】例1.方法一：
矩形包括正方形，但是本题不能当做正方形去解题。
已知矩形的长宽各加4米，长宽具体值并不知道，无论求面积还是周长，都需要
原来的长和宽，设长为a，宽为b。
则新的矩形：
长=a+4，宽=b+4。
则（a+4）*
（b+4）-a*b=40，整理得a*b+4b+4a+4*4-a*b=40，a+b=（40-4*4）/4=6。
求周长，
周长=2*（长+宽）=2*（a+b）=6*2=12。
方法二：
画图法。
原来长宽各增加4米，增加了40平方米，增加的面积是
右下角L形状的部分，延长长边，形成4b和4*（a+4）两部分。
则4a+4b+16=40，
同样可以求出a+b=6，再求周长。
【选A】
9
【注意】长方形包括正方形，正方形是长宽相等的长方形。
例2（2018四川）如图所示长方形恰好分成六个正方形，其中最小的正方形
面积是1cm，则这个长方形的面积是（）。
2
A.143cm
C.110cm
2
2
B.132cm
D.90cm
2
2
【解析】例2.已知最小的正方形A的面积为1cm，则其边长为1cm，设E的
2
边长为a，E和F有一条边紧紧贴着，则F的边长也为a，观察D的边长，左侧
竖着的边长为a+1，则大长方形下边长已知，观察C的边长，为a+1+1，B的边
长为a+2+1，此时上下边长已知，图形为长方形则上下边长相等，可列式：
a+3+a+2=3a+1，得a=4，S=（3a+1）*（a+1+a+2），代入a，可得原式=13*11=143，
对应A项。
【选A】
10
【注意】易错点：
标数的时候不要把长方形上下边长的a的个数标成相等，
否则会得到一个恒等式0=0，求不出a的具体值。
例3（2018北京）本题图中，左边的图形每个小圆的面积为π，那么右边
图形中阴影部分面积为（）。
A.8π
B.64-16π
C.4π+8
D.20
【解析】例3.方法一：
通过观察图形可知，S=S-S大圆。
正方形-圆形，正
阴
正
方形面积不带π，圆形面积带π，则答案=不带π-带π，只有B项符合。
这个方
法叫做选项的形状，在几何题中可以根据选项特征去选择。
方法二：
S=πr²=π，则r=1。
S=S大正-S大圆。
大正方形边长与左侧四
小圆
小
小
阴
个圆的半径加和相同，小圆半径为1，则大正方形是八个半径，边长为8，S正=8*8。
大圆半径是正方形边长的一半，则r大=4，S=πr²。
则S=8*8-πr²=64-
大圆
大
阴
大
11
16π，对应B项。
【选B】
例4（2018广州）如图所示，市政部门在一块周长为260米的长方形草地旁
边铺设宽为10米的L形道路。
已知铺好道路后，道路和草地面积之和为草地面
积的1.5倍，则草地的面积为（）平方米
A.4200
C.3000
B.4000
D.2800
【解析】例4.方法一：
“L形”几何题经常会考到。
把草地的面积看为S，则
道路+草地的面积为1.5S，道路的面积则为0.5S。
道路宽为10m，草地面积为2
（a+b）=260→a+b=130米。
把道路切分开，如图所示。
上面部分面积为10b，下
面部分的面积为10a，而中间的小块为10*10，此时S道=10*a+10*b+10*10，整理
得S道=10（a+b）+100=1400m
2
，S=2*S=2800m，对应D项。
2
草
道
方法二：
纯代数方法解题，S草地=（a+10）（b+10）=1.5ab→ab+10b+10a+100
=1.5ab，根据周长可知a+b=130，则10a+10b=1300，一样可以推出，草地面积为
2800，对应D项。
方法三（猜答案）：
整个面积与草地面积的比例关系为3：
2，观察选项，A
项：
D项=3：
2，A项为坑，引那些没有看清问题的同学入坑，而符合倍数关系的
D项为正确答案。
【选D】
12
【答案汇总】1-4：
AABD
【知识点】几何公式：
1.周长：
（1）正方形：
4a。
（2）长方形：
2*（a+b）。
（3）圆形：
2π*R。
（4）弧长：
2πR*n°/360°。
如：
求弧长AB，用n°（弧长所对圆心角）
/360°作为比重，求出n°在360°中所占的比例，圆周长*占圆的比重=弧长。
2.面积：
（1）正方形：
a²。
13
（2）长方形：
a*b。
（3）三角形：
a*h/2。
（4）圆形：
πR²。
（5）扇形：
πR²*n°/360°。
和弧长求法相同，用圆的面积乘以扇形所占
的比例。
（6）梯形：
（a+b）*h/2。
梯形上、下两条边平行，a是上底，b是下底，高
是h。
找一个与这个梯形一样的梯形，倒过来拼在一起，变成底边为（a+b），高
为h的平行四边形，平行四边形面积=（a+b）*h。
所以一个梯形面积=（a+b）*h/2。
（7）菱形：
对角线乘积/2。
菱形是四条边彼此平行且相等，对角线垂直的
图形。
将竖着的对角线平移到两边，横着的平移到两边，得到长方形，长方形面
积=2*菱形面积，长方形面积=a*b，则菱形面积=对角线乘积/2。
3.表面积（考查相对较少）：
（1）正方体：
6*a。
2
（2）长方体：
2*（ab+bc+ac）。
特殊考法：
无盖长方体（游泳池），刷防水
漆，地面与侧面需要刷，但是盖子不会刷，相当于少一个长*宽的面。
（3）圆柱体：
2π*R²+2π*R*h。
圆柱体表面积分为上下两个圆的面积（2*
πr
2
）和展开的侧面积（2π*R*h）。
（4）球体（考得最少）：
4π*R²。
记不住的可以不记。
4.体积：
（1）正方体：
a³。
（2）长方体：
a*b*c。
（3）柱体：
S*h。
不强调圆柱体，所有的柱体都可以这样计算。
（4）锥体：
1/3*S*h。
不强调圆锥体，所有的椎体都是这样计算。
（5）球体：
4/3*π*R。
3
5.公式推导过程能够看懂再好不过，考场上没有时间推导。
二、结论类
【知识点】结论类：
见招拆招，逐步积累，遇到结论时可以直接运用。
14
例1（2016北京）小王近期正在装修新房，他计划将长8米、宽6米的客厅
按下图所示分别在各边中点连线形成的四边形内铺设不同花色的瓷砖，则需要为
最里侧的四边形铺设多少平方米的瓷砖？
（）
A.3
B.6
C.12
D.24
【解析】例1.经典题型：
三角形、四边形不断连接各边中点，问最中间的面
积是多少。
本题问的是最里侧的四边形铺设多少平方米，与瓷砖没有关系，只需
要求出面积即可。
已知最外层面积=8*6=48平方米。
这种类型题都是有固定结论：
各边中点连线，如果是三角形，面积*1/4；如果是四边形，面积*1/2。
不会记反，
比如长方形中点连线得到中间的图形，很明显与长方形差的不是很远，所以是面
积*1/2。
因此本题答案就是不断减半，最外侧面积为6*8=48平方米，总共连了
3次中点，则48*（1/2）=48/8=6平方米，对应B项。
【选B】
3
【注意】1.固定结论：
各边中点连线，如果是三角形，面积*1/4；如果是四
边形，面积*1/2。
2.这种类型题目不需要证明，中学考查过。
特定结论有固定技巧，考场直接
使用。
例2（2016吉林）用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都
要产生新的交点，第1条直线将平面分成2块，第2条直线将平面分成4块，第
3条直线将平面分成7块，按此规律将平面分为46块需要（）。
A.7条直线
C.9条直线
B.8条直线
D.10条直线
【解析】例2.根据题意，第1条线将平面分成2块，第2条线将平面分成4
块，第3条线将平面分成7块，已知“后一条直线与此前每条直线都要产生新的
交点”，因此三条线不能交叉在同一点。
问的是将平面分成46块需要多少条直
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线。
如果划线比较费时，考试时如果已知第1、2、3……（）个，都属于枚举
归纳，“按此规律”不是真正的去找规律，归纳找规律。
比如已知1、3、5、7，
可以推出后面的数是9；或者1、2、4、8，可以推出后面的数是16。
根据题目已
知2、4、7这三个数无法归纳出规律，数太少，不是等差，也不是等比，再找第
4条线将平面分成11块，2、4、7、11，发现相邻两个数之间分别相差2、3、4，
相差的数是等差数列，则第4条直线与第5条相差5块，第5条直线将平面分成
16块，按照规律依次得到：
22、29、37、46，再将分成的块数与第几条线对应，
由于11块对应第4条，则16块对应第5条，22块对应第6条，29块对应第7
条，37块对应第8条，46块对应第9条。
对应C项。
【选C】
【注意】1.只要看到“第1、2、3……”，利用枚举归纳，不需要深入研究，
相当于找数字规律的题目。
2.2017年联考，考查过同样类型题目，给出10条线，每条线上标
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