国考方法精讲数量3.docx

1、国考方法精讲数量3 方法精讲-数量 3（笔记）学习任务：1.授课内容：经济利润问题、高频几何问题。2.时长：2.5小时。3.对应讲义：165页172页。4.重点内容：（1）进价、利润、折扣相关的公式，能准确地计算分段计费问题。（2）常用的几何公式、常用三角函数以及勾股定理。（3）常考的几何结论，以及相似三角形和最短路径的解题技巧。第六节 经济利润问题【知识点】经济利润问题：1.利润=售价-进价。利润在考试中的概念是售价与进价的差值。2.利润率=利润/进价。例如：开店卖足球，进价100元，售价250元，利润为150元。利润中的百分数是利润率。利润率=150/100=150%，卖足球相对进价赚了1

2、50%。（1）数量关系中，利润率=利润/进价。（2）资料分析中，利润率=利润/收入。（3）相同的词，公式不同。资料分析研究国家、地区等宏观的利润率，对于企业、地区来说成本难以衡量，但收入是可以衡量的，故而将收入当做一个整体来计算，宏观情况研究收入利润率。数学运算的情况比较简单、清晰、微观，利润、售价均是在进价的基础上思考。（4）结论：数量中以进价为分母，资料中以收入为分母。3.售价=进价*（1+利润率）。（1）证明（过程无需理解，大致了解即可）：售价=进价+利润=进价+进价*利润率=进价*（1+利润率）。250元的商品，250=100*（1+150%）。（2）前两个公式是定义，第三个公式要理解

3、，并记清楚。1 （3）拓展：经济利润的公式类似资料中的现期、基期，资料分析中的基期，加上增长量变为现期，经济利润问题中，进价是基础，在进价的基础上添加利润为售价，进价和基期类似，利润与增长量类似，售价与现期类似，增长率=增长量/基期，利润率=利润/进价，数学中的利润率类似增长率。不止词汇对应，公式也与资料分析对应，对于公式（3），售价=进价*（1+利润率）现期=基期*（1+r），若觉得公式不好记，可以将两个公式糅合起来理解。4.折扣=售价/原价=折后价/折前价。（1）商品有原价，卖不出去会打折，折后的价格称为折后价。如原价250元的商品，现在卖50元，折扣=50/250=20%=2折。若打8折

4、，现价=250*80%。（2）折上折：100元的商品，先打九折变为90元，在此基础上再打8折（注意不是在100的基础上打8折，即并非80），为90*80%=72元。（3）100元的商品打八八折，即100*88%=88元，八五折为85元。5.总价=单价*数量；总进价=单个进价*数量；总利润=单个利润*数量=总售价-总进价。（1）总价指总售价。前面研究的均是单独的概念，实际生活中会涉及总价格、总利润，与单件价格、单件利润、单件进价产生联系。如单件利润80元，卖出10件，总利润为800元。2 （2）计算商品的总利润时，有两种算法，一是用单件利润*数量；二是用总售价-总进价，一进一出差的钱数便是利润。

5、6.共5个公式，前3个公式是重中之重；公式4中，要知道100元的商品卖80元是打8折而非打2折；公式5需要知道总利润的两种算法。例 1（2018 江西）某品牌的葛粉进价为 20 元，现降价 20%卖出，结果还获得进价 52%的利润。那么，该葛粉的定价是多少元？（ ）A.36C.38B.37D.39【解析】例 1.“葛粉”是一种商品，无需知道是什么。20 元是进价，即成本，降价是在定价的基础上降价 20%，是打折的考法，如原来是 100元，降价 20%是 80元，即扣掉 20%，是在定价的基础上打 8折。在 20元的基础上，额外获得了进价52%的利润，降价后实际售价=定价*（1-20%），进价为

6、 20元，利润为 20*52%，实际售价=进价+利润定价*（1-20%）=20+20*52%，第一句话比较绕，理解清楚是在定价的基础上降价即可（不是在成本的基础上降价），定价=（20+10.4）/0.8=30.4/0.8=38。【选 C】【注意】“20+20*52%”可以写为“20元*（1+52%）”。例 2（2018 山东）商店购入一批某种水果，如按定价销售，每千克盈利 23元。销售总量的 5/9 后，每千克降价 8 元卖出剩余部分，销售这批水果共盈利2275元。问按原定售价卖出了多少千克水果？（ ）A.60C.75B.65D.80【解析】例 2.80%的经济利润问题是简单题。盈利是利润，经

7、济利润中有很多近义词、同义词，如成本即进价。前面卖出 5/9，降价卖出剩余的 4/9，总共盈利即总利润，总利润有两种算法，总利润=单个利润*数量=总售价-总进价，题目中没有给出进价、售价，有单件利润，优先用公式，单件利润=23，问重量，通过总利润 2275元建立等量关系，单件利润是一公斤的利润 23元，重量未知，当出现总量的几分之几时，通过倍数特性设未知数，设总重量为 9x，卖出3 5/9即卖出 5x，降价 8 元卖出剩余的量，即 9x*4/9，成本不变，售价降 8 元，这 8 元是少赚的钱数，说明利润少 8 元，列方程：2275=23*9x*5/9+（23-8）*9x*4/9，2275=11

8、5x+60x，x=2275/175=13公斤，注意设的是总重量，问的是按原定售价卖出的量，即 5x=65公斤。【选 B】例 3（2018北京）某水果批发商从果农那里以 10元/公斤的价格购买了一批芒果，运送到某地区售出。在长途运输过程中有 5%的芒果磕碰受损和另外 5%的芒果过度成熟，因此无法卖出，其余部分以 25元/公斤的价格售出后，如果不计运输等其他费用，这批芒果赚得利润 12000元。则该批发商从果农那里购买了多少公斤芒果？（ ）A.480C.960B.800D.1000【解析】例 3.过度成熟即熟烂了，两个 5%卖不掉，其余 90%按照 25 元/公斤的价格售出，总利润是 12000元

9、，总利润=单个利润*数量=总售价-总成本，两种思路均可用，此处均讲解。方法一：总利润=单个利润*数量，10%=1/10卖不掉，设总重量为 10x，卖掉10x中的 90%，即 10x*90%，单个利润=25-10=15元，无法卖出的部分相当于售价为 0元，每公斤亏 10元，注意中间是加号，列式：12000=（25-10）*10x*90%+（0-10）*10x*10%，12000=15*9x+（-10）x，125x=12000，x=12000/125，答案首位 4、8、9、10，首位不同，大致估算即可，首位商 9，对应 C项。类似资料分析，算式正确，计算首位区分选项即可。计算赚的钱后，容易忘记亏的

10、钱，这是易错点。遇到“无法卖出”，一定要注意卖不掉的部分要计算亏了多少钱。方法二：设总重量为 10x，卖出 90%，总售价=单个售价*总重量=25*10x*90%，只要进货，便要计算钱数，总进价=10*10x，列式：12000=25*10x*90%-10*10x，不需要考虑亏的部分，总售价对应 90%的卖出部分，总进价包含了全部商品，算法中已经考虑了亏损部分，建议用本方法，列方程更简单，12000=9x*25-100x，x=9+，对应 C项。【选 C】例 4（2015江苏）某商品今年的进价比去年减少 15%，由于售价不变，利润4 率比去年增加了 24个百分点，则该商品去年的利润率为（）。A.2

11、4%C.36%B.30%D.42%【解析】例 4.经典考法，2017 年及以前考得较多，近两年考得较少，技巧性强。售价不变，利润率比去年增加 24 个百分点，问去年的利润率，有今年、去年两个时间（前面题目仅有一个时间点），价钱、利润率有变化，时间点复杂的题目倾向于使用列表法，上面写去年（基期），下面写今年（现期），成本是进价，利润可不写，横着写成本、售价、（利润）、利润率，没有给出具体的钱数，均是百分数、百分点，可以考虑赋值法，均是在成本的基础上研究售价、利润，赋值去年的成本为 100元，无论减少多少都可以直接算出价格（百分数的基数是100），今年成本为 85 元，不能再给售价赋值，可以设未知

12、数，注意设售价为 x可做，但并非最好的设法，售价不变，计算的利润率是变量比较麻烦，利润率=利润/成本，设去年利润为 x，则去年利润率为 x/100，售价不变，今年售价=去年售价=成本+利润=100+x，今年利润为 x+15，今年利润率=（x+15）/85。“利润率比去年增加了 24 个百分点”x/100+24/100=（x+15）/85（x+24）/100=（x+15）/85（x+24）/20=（x+15）/17。方法一：交叉相乘，20*（x+15）=17*（x+24），3x=17*24-300=108，解得 x=36，问去年的利润率，加上百分号即为答案，利润率=36/100=36%。列表是必

13、须的，可以让条件更清晰，让思维更清楚。方法二：（x+24）/100=（x+15）/85，分子、分母同时加减得到新分数，分子、分母同时做差：（x+24）/100=（x+15）/85=（24-15）/（100-85）=3/5（x+24）/100=3/5，100是 5的 20倍，故而（x+24）是 3的 20倍，x+24=60，x=36，计算量减少，添加百分号即为答案。约分后操作更简单，（x+24）/100=（x+15）/855 （x+24）/20=（x+15）/17=（24-15）/（20-17）=3（x+24）/20=3x=36。【选 C】【注意】小技巧：如果 A/B=B/C，那么 A/B=C/

14、D=（AC）/（BD）。例：10/30=1/3=（10+1）/（30+3）=11/33，10/30=1/3=（10-1）/（30-3）=9/27。【知识点】分段计费：前四题考公式，后两题考分段计算。经济利润中还有部分打折题，近两三年很少考。分段计费是近几年的热门考法。1.在生活中，水电费、出租车计费等，每段计费标准不等，用得少便会便宜。问：在不同收费标准下，一共需要的费用？2.计算方法：（1）按标准，分开。（2）计算后，汇总。3.例：某地出租车收费标准为：3 公里内起步价 8 元；超出 3 公里的部分，每公里 2元。小明打车坐了 12公里，共花费多少钱？答：3公里是分段点，3公里内起步价 8元

15、，3公里以上 2元/公里，对应 312公里，共 12-3=9公里，总价格=8+2*9=26元。注意超过 3公里的部分是 2元，需要分别计算前面 3公里和后面 9公里。例 5（2016河南）贾某在停车场停车，每个月前几个小时内收费的基础价格为 5元/小时，之后按照基础价格的 90%收费，某月贾某的停车时间为 120小时，共交了 545元，则按照基础价格停车的时间为多少小时？（ ）A.8B.10D.20C.15【解析】例 5.“之后按照基础价格的 90%收费”，即之后收费=5*90%=4.5元/小时，给了总时间 120小时和总钱数 545元，前几个小时未知，假设基础时间6 为 x小时，则基础部分的

16、钱数为 5x，超标部分的钱数为 4.5*（120-x）。列式：5x+4.5*（120-x）=545，整理得：0.5x=545-540，解得 x=10小时，对应 B项。【选 B】【注意】注意设的 x是什么，本题求谁设谁，可以直接选。例 6（2018江西）为了节约水资源，某城市规定每人每月不超过 5吨，则按2.5元/吨收费；超出 5吨的，超出部分按 4元/吨收费，每次收费时用水量都按整数计算，已知胡家 3口人，熊家 4口人。某月月底结算时，胡家收费 69.5元，比熊家多交了 15.5元。那么，熊家该月用了多少吨水？（ ）A.20C.22B.21D.23【解析】例 6.分段计费问题在近几年考的都相对

17、简单。本题跟上一题的区别是标准不仅与时间有关，而且跟人口有关。假如 3个人标准为 15吨，用了 18吨水，则 15吨按照 2.5元/吨去收费，超标的 18-15=3吨按照 4元/吨去收费。问题问熊家，则胡家的情况不用考虑，熊家交了 69.5-15.5=54 元水费，熊家有4 口人，则标准为 4*5=20 吨。设超标 x 吨，可列式 20*2.5+x*4=54，整理得：50+4x=54，x=1，则熊家用了 20+1=21吨水，对应 B项。【选 B】【注意】分段计费问题一般设分段标准为 x，如果知道分段标准，则一般设超标的为 x。【答案汇总】1-5：CBCCB；6：B【小结】经济利润：7 1.基础

18、经济：（1）公式：利润=售价-进价，售价=进价*（1+r）。利润率=利润/进价。折扣=折后价/折前价，降价 20%对应打 8折。总价=单价*个数。（2）方法：公式法。赋值法，不知道钱数，也不求具体的钱数时。2.分段计费：（1）水电费、出租车费、税费等。（2）分段计算、汇总求和。第七节 高频几何问题【知识点】高频几何问题：几何问题太多太杂，中学学了多年的几何问题，几何出题方式有很多种，经常出现中考的原题，通过总结真题，只讲考的比较多的、高频的几何问题，即使学完方法精讲课，碰到不会做的几何问题也很正常。1.公式类：有公式就能做。（1）规则图形。直接可用公式，正方形、长方形、圆形（2）不规则图形：转

19、化为规则图形的和或者差，再去求解。下图，可以看作：正方形-1/4圆形。因此，不规则图形转化为规则图形的和或差来计算。8 “L形”图形可以转化为两个长方形去解题。2.结论类：侧重于中学所学到的小结论、小技巧。3.技巧类：相似三角形、直角三角形勾股定理、最短路径等。一、公式类例 1（2017联考）某单位准备扩建一矩形花圃，若将矩形花圃的长和宽各增加 4米，则新矩形花圃的面积比原来的面积增加了 40平方米。那么，原矩形花圃的周长是多少？（ ）A.12米C.32米B.24米D.40米【解析】例 1.方法一：矩形包括正方形，但是本题不能当做正方形去解题。已知矩形的长宽各加 4米，长宽具体值并不知道，无论

20、求面积还是周长，都需要原来的长和宽，设长为 a，宽为 b。则新的矩形：长=a+4，宽=b+4。则（a+4）*（b+4）-a*b=40，整理得 a*b+4b+4a+4*4-a*b=40，a+b=（40-4*4）/4=6。求周长，周长=2*（长+宽）=2*（a+b）=6*2=12。方法二：画图法。原来长宽各增加 4米，增加了 40平方米，增加的面积是右下角 L形状的部分，延长长边，形成 4b和 4*（a+4）两部分。则 4a+4b+16=40，同样可以求出 a+b=6，再求周长。【选 A】9 【注意】长方形包括正方形，正方形是长宽相等的长方形。例 2（2018四川）如图所示长方形恰好分成六个正方形

21、，其中最小的正方形面积是 1cm，则这个长方形的面积是（ ）。2A.143cmC.110cm22B.132cmD.90cm22【解析】例 2.已知最小的正方形 A的面积为 1cm，则其边长为 1cm，设 E的2边长为 a，E和 F有一条边紧紧贴着，则 F的边长也为 a，观察 D的边长，左侧竖着的边长为 a+1，则大长方形下边长已知，观察 C 的边长，为 a+1+1，B 的边长为 a+2+1，此时上下边长已知，图形为长方形则上下边长相等，可列式：a+3+a+2=3a+1，得 a=4，S=（3a+1）*（a+1+a+2），代 入 a，可得原式=13*11=143，对应 A项。【选 A】10 【注意

22、】易错点：标数的时候不要把长方形上下边长的 a的个数标成相等，否则会得到一个恒等式 0=0，求不出 a的具体值。例 3（2018北京）本题图中，左边的图形每个小圆的面积为 ，那么右边图形中阴影部分面积为（）。A.8B.64-16C.4+8D.20【解析】例 3.方法一：通过观察图形可知，S =S -S大圆。正方形-圆形，正阴正方形面积不带，圆形面积带，则答案=不带-带，只有 B项符合。这个方法叫做选项的形状，在几何题中可以根据选项特征去选择。方法二：S =r =，则 r =1。S =S大正-S大圆。大正方形边长与左侧四小圆小小阴个圆的半径加和相同，小圆半径为 1，则大正方形是八个半径，边长为

23、8，S正=8*8。大圆半径是正方形边长的一半，则 r 大=4，S =r 。则 S =8*8-r =64-大圆大阴大11 16，对应 B项。【选 B】例 4（2018广州）如图所示，市政部门在一块周长为 260米的长方形草地旁边铺设宽为 10米的 L形道路。已知铺好道路后，道路和草地面积之和为草地面积的 1.5倍，则草地的面积为（ ）平方米A.4200C.3000B.4000D.2800【解析】例 4.方法一：“L形”几何题经常会考到。把草地的面积看为 S，则道路+草地的面积为 1.5S，道路的面积则为 0.5S。道路宽为 10m，草地面积为 2（a+b）=260a+b=130米。把道路切分开，

24、如图所示。上面部分面积为 10b，下面部分的面积为 10a，而中间的小块为 10*10，此时 S道=10*a+10*b+10*10，整理得 S道=10（a+b）+100=1400m2，S =2*S =2800m，对应 D项。2草道方法二：纯代数方法解题，S草地=（a+10）（b+10）=1.5abab+10b+10a+100=1.5ab，根据周长可知 a+b=130，则 10a+10b=1300，一样可以推出，草地面积为2800，对应 D项。方法三（猜答案）：整个面积与草地面积的比例关系为 3：2，观察选项，A项：D项=3：2，A项为坑，引那些没有看清问题的同学入坑，而符合倍数关系的D项为正确

25、答案。【选 D】12 【答案汇总】1-4：AABD【知识点】几何公式：1.周长：（1）正方形：4a。（2）长方形：2*（a+b）。（3）圆形：2*R。（4）弧长：2R*n/360。如：求弧长 AB，用 n（弧长所对圆心角）/360作为比重，求出 n在 360中所占的比例，圆周长*占圆的比重=弧长。2.面积：（1）正方形：a。13 （2）长方形：a*b。（3）三角形：a*h/2。（4）圆形：R。（5）扇形：R*n/360。和弧长求法相同，用圆的面积乘以扇形所占的比例。（6）梯形：（a+b）*h/2。梯形上、下两条边平行，a是上底，b是下底，高是 h。找一个与这个梯形一样的梯形，倒过来拼在一起，变

26、成底边为（a+b），高为 h的平行四边形，平行四边形面积=（a+b）*h。所以一个梯形面积=（a+b）*h/2。（7）菱形：对角线乘积/2。菱形是四条边彼此平行且相等，对角线垂直的图形。将竖着的对角线平移到两边，横着的平移到两边，得到长方形，长方形面积=2*菱形面积，长方形面积=a*b，则菱形面积=对角线乘积/2。3.表面积（考查相对较少）：（1）正方体：6*a。2（2）长方体：2*（ab+bc+ac）。特殊考法：无盖长方体（游泳池），刷防水漆，地面与侧面需要刷，但是盖子不会刷，相当于少一个长*宽的面。（3）圆柱体：2*R+2*R*h。圆柱体表面积分为上下两个圆的面积（2*r2）和展开的侧面积

27、（2*R*h）。（4）球体（考得最少）：4*R。记不住的可以不记。4.体积：（1）正方体：a。（2）长方体：a*b*c。（3）柱体：S*h。不强调圆柱体，所有的柱体都可以这样计算。（4）锥体：1/3*S*h。不强调圆锥体，所有的椎体都是这样计算。（5）球体：4/3*R。35.公式推导过程能够看懂再好不过，考场上没有时间推导。二、结论类【知识点】结论类：见招拆招，逐步积累，遇到结论时可以直接运用。14 例 1（2016北京）小王近期正在装修新房，他计划将长 8米、宽 6米的客厅按下图所示分别在各边中点连线形成的四边形内铺设不同花色的瓷砖，则需要为最里侧的四边形铺设多少平方米的瓷砖？（ ）A.3B

28、.6C.12D.24【解析】例 1.经典题型：三角形、四边形不断连接各边中点，问最中间的面积是多少。本题问的是最里侧的四边形铺设多少平方米，与瓷砖没有关系，只需要求出面积即可。已知最外层面积=8*6=48平方米。这种类型题都是有固定结论：各边中点连线，如果是三角形，面积*1/4；如果是四边形，面积*1/2。不会记反，比如长方形中点连线得到中间的图形，很明显与长方形差的不是很远，所以是面积*1/2。因此本题答案就是不断减半，最外侧面积为 6*8=48平方米，总共连了3次中点，则 48*（1/2） =48/8=6平方米，对应 B项。【选 B】3【注意】1.固定结论：各边中点连线，如果是三角形，面积

29、*1/4；如果是四边形，面积*1/2。2.这种类型题目不需要证明，中学考查过。特定结论有固定技巧，考场直接使用。例 2（2016吉林）用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点，第 1条直线将平面分成 2块，第 2条直线将平面分成 4块，第3条直线将平面分成 7块，按此规律将平面分为 46块需要（）。A.7条直线C.9条直线B.8条直线D.10条直线【解析】例 2.根据题意，第 1条线将平面分成 2块，第 2条线将平面分成 4块，第 3条线将平面分成 7块，已知“后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点”，因此三条线不能交叉在同一点。问的是将平面分成 46 块需要多少条直

30、15 线。如果划线比较费时，考试时如果已知第 1、2、3（ ）个，都属于枚举归纳，“按此规律”不是真正的去找规律，归纳找规律。比如已知 1、3、5、7，可以推出后面的数是 9；或者 1、2、4、8，可以推出后面的数是 16。根据题目已知 2、4、7这三个数无法归纳出规律，数太少，不是等差，也不是等比，再找第4条线将平面分成 11块，2、4、7、11，发现相邻两个数之间分别相差 2、3、4，相差的数是等差数列，则第 4条直线与第 5条相差 5块，第 5条直线将平面分成16块，按照规律依次得到：22、29、37、46，再将分成的块数与第几条线对应，由于 11块对应第 4条，则 16块对应第 5条，22块对应第 6条，29块对应第 7条，37块对应第 8条，46块对应第 9条。对应 C项。【选 C】【注意】1.只要看到“第 1、2、3”，利用枚举归纳，不需要深入研究，相当于找数字规律的题目。2.2017年联考，考查过同样类型题目，给出 10条线，每条线上标