含参量积分一致收敛及其应用.docx
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含参量积分一致收敛及其应用
含参量积分一致收敛及其应用
1引言
无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：
积分区间的有穷性和被积函数的有界性。
但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：
将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分,这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分.
广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了.在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序.于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要.
1.含参量的广义积分
和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。
从形式上讲，含参量的广义积分也应有两种形式：
无穷限形式的广义积分和无界函数的广义积分，由于二者之间可以相互转化，我们仅以无穷限广义积分为例讨论其性质。
1.1无穷限广义积分的定义
定义1：
设f（x,y）为定义在D=[a,+∞）⨯I（I为某区间，有界或无界）的二元函数，形如⎰
+∞a
f（x,y）dx的积分称为含参变量y的广义积分。
从定义形式决定研究内容：
广义积分是否存在-----收敛性问题
与一元函数广义积分相区别的是：
由于含参量积分的结果不再是一个单纯的数值，而是一个函数，这就决定了含参量广义积分的收敛性问题中，不仅要有收敛性而且还必须讨论收敛性与参量之关系，由此形成一致收敛性。
1.1.2含参量广义积分的收敛和一致收敛。
定义2：
设f（x,y）定义在D=[a,+∞）⨯I，若对某个y0∈I，广义积分⎰在y0点收敛，则称含参量广义积分⎰一点都收敛，称含参量广义积分⎰“ε-δ”定义：
+∞a
+∞c
+∞a
f（x,y0）dx
f（x,y）dx在y0点收敛；若⎰
+∞
c
f（x,y）dx在I中每
f（x,y）dx在I上收敛.
⎰
+∞
a
f（x,y）dx在I上收敛是指：
对每个y∈I，∀ε>0,∃A0（ε,y）>a，使当
A',A>A0时，
⎰
A'
A
f（x,y）dx
（或者
⎰
+∞
A
f（x,y）dx
注意：
A0~ε,y由收敛性定义，若⎰
I（y）=⎰
+∞a
+∞c
f（x,y）dx在I上收敛，则可定义I上的函数
f（x,y）dx。
自然提出：
此时I（y）的性质如何?
能否保证I（y）具有较好的性质。
事实上，研究发现：
正是由于定义中A（ε0,y）与y的依赖关系，使得I（y）不能具有较好的性质。
换句话说：
为保证I（y）具有可供利用的分析性质，必须改进收敛性，这就形成关于参量y的一致收敛性。
定义3：
若∀ε>0,∃A0（ε）>a，使当A',A>A0时，⎰f（x,y）dx
AA'
成立，称⎰
+∞
a
f（x,y）dx在I上关于y一致收敛.
类似以前学过的相似内容，我们先给出一致收敛性的判断定理，然后分析性质的
研究.
1.1.3一致收敛性的判别法
定理1（Weistrass判别法）设存在定义于[a,+∞）上的函数F（x），使
f（x,）≤F（x∀）,（x,y∈）D=收敛。
且[+a∞,，⨯）I⎰F（x）dx收敛，则⎰
a
+∞+∞
a
f（x,y）dx在J上一致
定理2（Abel判别法）设f（x,y）,g（x,y）定义在D上且满足：
1）⎰
+∞
a
f（x,y）dx在I上关于y一致收敛。
2）g（x,y）关于x单调，即对每个固定y∈I,g（x,y）为x的单调函数。
3）g（x,y）在D上一致有界，即∃L，使g（x,y）≤L,∀（x,y）∈D。
则⎰
+∞a
f（x,y）g（x,y）dx关于y一致收敛。
定理3（Dirichlet判别法）设f（x,y）,g（x,y）定义在D上且满足：
1）∀A>a,⎰f（x,y）dx关于
aA
y一致有界，即∃K>0，使
I
⎰
A
a
f（x,）≤dx∀,K≥A,∈ay都成立。
2）对固定的y∈I，g（x,y）关于x单调。
3）limg（x,y）=0关于y∈I一致成立：
即∀ε>0,∃A0≥a，当x≥A0g（x,y）
x→+∞
关于y∈I一致成立。
则⎰
+∞
a
f（x,y）g（x,y）dx关于y∈I一致收敛。
注：
上述两个定理的证明和广义积分的收敛性的证明类似，其出发点都是积分第二中值定理：
⎰
A'
A
f（x,y）g（x,y）dx=g（A,y）⎰
ξ（y）
A
f（x,y）dx+g（A',y）⎰
A'
ξ（y）
f（x,y）dx
三、一致收敛性判别举例。
根据一致收敛判别定理，在讨论一致收敛性问题时，通常按如下顺序进行：
首先考虑能否用Werstrass判别法，其次，考虑用Abel和Dirichlet判别法，再次，考虑用Dini判别法，最后，考虑非一致收敛性。
但是，上述只是解决此类问题的一般规律。
事实上，各类判别法所适用的对象都有相应的结构特点，因此，在熟练掌握了各判别法的实质后，可根据题目结构特点，选用相应的判别法。
例1：
讨论⎰e-αxsinxdx在i）α∈[α0,+∞）（α0>0）ii）（0,+∞）内一致收敛性。
0+∞
解、i）当α∈[α0,+∞）时，由于e-αxsinx≤e-α0x，故，利用Werstrass判别法可得，
⎰
+∞
e-αxsinxdx关于α∈[α0,+∞）一致收敛。
ii）、当α∈（0,+∞）时，可以考虑非一致收敛性。
事实上：
取An=2nπ+
π
4
'=An+An
'An
π
2
αn=
12
']，因而
，则，sinx≥,x∈[An,An
'2An
⎰
An
e-αxsinxdx≥
An'-αx-αAn'-1
'edx≥e（A-A）=ennA2n24
故，⎰e-αxsinxdx关于α∈（0,+∞）非一致收敛。
+∞
例2、证明⎰e-αx
+∞
sinx
dx在[0,+∞）上一致收敛。
x
证明：
典型的Abel判别法所处理对象。
由于
⎰
+∞
A'sinx1
dx收敛（广义积分的Dirichlet判别法：
即↓0,⎰sinxdx≤2），因此，
Axx
关于α一致收敛。
又：
e-αx是关于x的单调函数且一致有界，故，由Abel判别法可知该积分关于α∈[0,+∞）一致收敛。
1.1.4一致收敛积分的性质
设⎰
+∞a
f（x,y）dx对每一个y∈[c,d]收敛，记I（y）=⎰
+∞
a
f（x,y）dx,y∈[c,d]，
anan-1
任取严格单调递增数列{an}，满足a0=a,an→+∞，记un（y）=⎰则⎰
+∞
f（x,y）dx,n=1,2，
a
f（x,y）dx=∑un（y）。
n=1
∞
引理1：
若⎰
+∞
a
f（x,y）dx关于y∈[c,d]一致收敛，则∑un（y）关
n=1
∞
于y∈[c,d]一致收敛。
连续性定理:
设f（x,y）∈C[a,∞;c,d]，若⎰
+∞
a
f（x,y）dx关于y∈[c,d]一致收敛，则
I（y）=⎰
+∞
a
f（x,y）dx∈C[c,d]。
证明：
∑u
n=1
∞
n
（y）一致收敛且un（x,y）连续，由函数项级数的连续性定理，
I（y）=∑un（y）连续。
可积性:
设f（x,y）∈C[a,∞,c,d]，若⎰
+∞a
f（x,y）dx关于y∈[c,d]一致收敛，则
⎰
d
c
dy⎰
+∞
a
f（x,y）dx=⎰dx⎰f（x,y）dy。
a
c
d
+a
d
¥
+∞d
证明：
利用函数项级数的积分换序定理，则
蝌dy
cf（x,ydx）=
c
å[
uny（dy）]
n=1
==
åò
an
d
cd
un（y）dy
anan-1
å蝌（
c
f（xy,dx）dy）
+∞
d
a
c
=∑⎰dx⎰fdy=⎰dx⎰fdy。
an-1
c
d
注：
这仍然是一个积分换序定理。
当d=+∞时，有下述结论:
设f∈C[a,+∞）⨯[c,+∞），
⎰
+∞
a
f（x,y）dx关于y∈[c,C]一致收敛（∀C>c），
⎰
+∞
c
f（x,y）dy关于x∈[a,A]（∀A>a）一致收敛，且dy⎰f（x,y）dx中有一个存在，则⎰dy⎰
a
c
∞
+∞
+∞a
⎰
+∞
a
dx⎰f（x,y）dy和
c
∞
⎰
+∞
c
fdx=⎰dx⎰
a
+∞+∞
c
fdy。
可微性:
设f,fy∈C[a,+∞）⨯[c,d]，且
⎰
+∞
a
f（x,y）dx关于y∈[c,d]一致收敛，
+∞a
⎰
+∞
a
fy（x,y）dx关于y∈[c,d]一致收敛，则I（y）=⎰
+∞a
f（x,y）dx在[c,d]可微，且
I'（y）=⎰
fy（x,y）dx。
含参量反常积分的一致收敛的Cauchy准则
定义6.1（含参量反常积分）设函数f（x,y）定义在无界区域
R={（x,y）a≤x≤b,c≤y
⎰
+∞
c
f（x,y）dy
（1）
都收敛，则它的值是x在[a,b]上取值的函数，当记这个函数为I（x）时，则有
I（x）=⎰
+∞
c
f（x,y）dy,x∈[a,b]，
（2）
称
（1）式为定义在[a,b]上的含参量x的无穷限反常积分
定义6.2若含参量反常积分
（1）与函数I（x）对任给的正数ε，总存在某一实数，N>c，使得当M>N时，对一切x∈[a,b]，都有
⎰
即
M
c
f（x,y）dy-I（x）
⎰
[a,b]上一致收敛
+∞
M
f（x,y）dy
则称含参量反常积分
（1）在[a,b]上一致收敛与I（x），或简单地说含参量积分
（1）在
定理6.1（一致收敛的Cauchy准则）含参量反常积分
（1）在[a,b]上一致收敛的充要条件是：
对任给正数ε，总存在某一实数M>c，使得当A1,A2>M时，对一切x∈[a,b]，都有
⎰
例6.1证明含参量反常积分
A2A1
f（x,y）dy
⎰
+∞
sinxy
（3）y
在[δ,+∞]上一致收敛（其中δ>0），但在（0,+∞）内不一致收敛证明做变量代换u=xy，得
⎰
其中A>0.由于⎰0有
+∞
+∞
+∞sinusinxy
=⎰du（4）
Axyu
sinu
du收敛，故对任给正数ε，总存在正数M，使当A'>M，就u
⎰
+∞
A'
sinu
du
取Aδ>M，则当A>M时，对一切x≥δ>0，由（4）式有
δ
⎰
+∞
A
sinxy
dy
所以（3）式在x≥δ>0上一致收敛.
现证明（4）在（0,+∞）内不一致收敛.由一致收敛定义，只要证明：
存在某一正数ε0，使对任何实数M（>c），总相应地存在某个A>M及某个x∈[a,b]，使得
⎰
由于非正常积分⎰
+∞0
+∞A
f（x,y）dy≥ε0
sinu
du收敛，故对任何ε0和M，总存在某个x（>0），使得u
⎰
即
+∞
Mx
+∞sinusinu
du-⎰du
0uu
⎰
现令ε0=
+∞
+∞sinu+∞sinusinu
du-ε0
Mx0uuu
1+∞sinu
du，由（4）及不等式（5）的左端就有⎰02u
⎰
+∞
M
+∞sinusinxy
=⎰du>2ε0-ε0=ε0
Mxyu
所以（3）在（0,+∞）内不一致收敛
7、Cauchy收敛准则在在证明相关定理中的应用
7.1Cauchy收敛准则在证明牛顿—莱布尼茨公式中的运用
定理7.1若函数f（x）在[a,b]上连续，且存在原函数F（x），即F'x（
b
=x（），x∈[a,b],）f
则f在[a,b]上可积，且⎰f（x）dx=F（b）-F（a）
（1）
a证由定积分定义，任给ε>0，要证∃δ>0,当T
∑f（ξ）∆x-⎡⎣F（b）-F（a）⎤⎦
i
i
i=1
n
一分割T={a=x0,x1,⋅⋅⋅,xn=b}，在每个小区间[xi-1,xi]上对F（x）用拉格朗日中值定理，分别∃ηi∈（xi-1,xi）,i=1,2,⋅⋅⋅,n,使得
F（b）-F（a）=∑⎡⎣F（xi）-F（xi-1）⎤⎦=∑F'（η）∆xi=∑f（η）∆xi
（2）
i=1
i=1
i
n=i
i
n
n
n
因为f（x）在[a,b]上连续，从而一致连续，
∴对上述ε>0,∃δ>0，当x',x''∈[a,b]且x'-x''
f（x'）-f（x''）
ε
b-a
.
于是当∆xi≤T≤δ时，任取i∈[xi-1,xi]，便有ξi-ηi
∑f（η）∆x-⎡⎣F（b）-F（a）⎤⎦=∑⎡⎣f（ξ）-f（η）⎤⎦∆x
i
i
i
i
i=1
i=1
nn
i
≤∑f（ξi）-f（ηi）xi
i=1
n
ε
b-a
⋅∑∆xi=ε.
i=1
n
所以f在[a,b]上可积，且有公式
（1）成立。
7.2Cauchy收敛准则在一致连续性定理中证明的运用
定理7.2一致连续性定理：
若函数f（x）在区间[a,b]上连续，则f（x）在区间[a,b]上一致连续。
证明由f（x）在[a,b]上的连续性，任给ε>0，对每一点x∈[a,b]，都存在δx>0，使得当x'∈U（x;δx）时，有
f（x）-f（x'）
ε
2
⎧⎛δ⎫⎫
考虑开区间集合H=⎨Ux,x⎪x∈[a,b]⎬，显然H是[a,b]的一个开覆盖,由有限覆盖
⎩⎝2⎭⎭⎧⎛δ⎫⎫
定理，存在H的一个有限子集H*=⎨Uxi,i⎪⎬i=1,2,⋅⋅⋅,k.覆盖了[a,b].
⎩⎝2⎭⎭
⎧δ⎫'∈a,b,x'-x''0.对任何x',x'⎩2⎭
[]
⎛δ
间，设x'∈Uxi;i
⎝2δi⎫'x-x
x''-xi≤x''-x'+x'-xi
δi
2
≤
δi
2
+
δi
2
=δi.
故，有f（x'）-f（x）
ε
2
，同时有f（x'）-f（xi）
ε
2
和f（x''）-f（xi）
ε
2
由此得f（x'）-f（x''）
参考文献
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