高三数学高考一轮复习资料 指数与指数函数.docx

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高三数学高考一轮复习资料指数与指数函数

　指数与指数函数

[最新考纲]

1．了解指数函数模型的实际背景．

2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象．

4．体会指数函数是一类重要的函数模型.

知识梳理

1．根式

（1）根式的概念

根式的概念

符号表示

备注

如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根

n＞1且n∈N*

当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数

零的n次方根是零

当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数

±

负数没有偶次方根

（2）两个重要公式

①＝n为偶数．

②（）n＝a.

2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①零指数幂：

a0＝1（a≠0）．

②负整数指数幂：

a－p＝（a≠0，p∈N*）；

③正分数指数幂：

＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；

④负分数指数幂：

＝

＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；

⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．

（2）有理数指数幂的性质

①aras＝ar＋s（a＞0，r，s∈Q）；

②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；

③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．

3．指数函数的图象与性质

y＝ax

a＞1

0＜a＜1

图象

定义域

R

值域

（0，＋∞）

性质

过定点（0,1）

当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1

当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1

在（－∞，＋∞）上是增函数

在（－∞，＋∞）上是减函数

辨析感悟

1．指数幂的应用辨析

（1）（）4＝－2.（×）

（2）（教材探究改编）（）＝a.（×）

2．对指数函数的理解

（3）函数y＝3·2x是指数函数．（×）

（4）y＝x是R上的减函数．（×）

（5）指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，

无论在y轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小．（×）

（6）（·金华调研改编）已知函数f（x）＝4＋ax－1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是（1,5）．（√）

[感悟·提升]

1．“”与“n”的区别　当n为奇数时，或当n为偶数且a≥0时，＝a，当n为偶数，且a＜0时，＝－a，而（）n＝a恒成立．如

（1）中不成立，

（2）中＝≠.

2．两点注意　一是指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论，如（4）；

二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大．如（5）.

考点一　指数幂的运算

【例1】

（1）计算：

÷0.06250.25；

（2）若

＋

＝3，求

的值．

解　

（1）原式＝

－

＋

÷×

÷

＝÷＝×2＝.

（2）由

＋

＝3，得x＋x－1＋2＝9，∴x＋x－1＝7，∴x2＋x－2＋2＝49，

∴x2＋x－2＝47.∵

＝

3－3

＝27－9＝18，∴原式＝＝.

规律方法进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：

（1）对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；

（2）应用平方差、完全平方公式及apa－p＝1（a≠0）简化运算．

答案　C

考点二　指数函数的图象及其应用

【例2】

（1）（·郑州模拟）已知函数f（x）＝2x－2，则函数y＝|f（x）|的图象可能是（　　）．

（2）下列各式比较大小正确的是（　　）．

A．1.72.5>1.73B．0.6－1>0.62

C．0.8－0.1>1.250.2D．1.70.3<0.93.1

解析　

（1）y＝2xy＝2x－2y＝|f（x）|.

（2）A中，∵函数y＝1.7x是增函数，2.5<3，

∴1.72.5<1.73.

B中，∵y＝0.6x是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62.

C中，∵（0.8）－1＝1.25，

∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．

∵y＝1.25x是增函数，0.1<0.2，

∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.

D中，∵1.70.3>1,0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1.

答案　

（1）B　

（2）B

规律方法

（1）对指数型函数的图象与性质（单调性、最值、大小比较、零点等）的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．

（2）一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．

【训练2】

已知实数a，b满足等式2011a＝2012b，下列五个关系式：

①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有（　　）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

解析　设2011a＝2012b＝t，如图所示，由函数图象，可得

（1）若t＞1，则有a＞b＞0；'

（2）若t＝1，则有a＝b＝0；（3）若0＜t＜1，则有a＜b＜0.

故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．

答案　B

考点三　指数函数的性质及其应用

【例3】

已知函数f（x）＝x3.

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）讨论f（x）的奇偶性；

（3）求证：

f（x）＞0.

审题路线　由2x－1≠0可求f（x）的定义域⇒分别求g（x）＝＋与h（x）＝x3的奇偶性⇒可利用g（－x）±g（x）＝0判断g（x）的奇偶性⇒利用“奇×奇＝偶，奇×偶＝奇”判断f（x）的奇偶性⇒先证x＞0时，f（x）＞0⇒再证x＜0时，f（x）＞0.

解　

（1）由2x－1≠0可解得x≠0，∴定义域为{x|x≠0}．

（2）令g（x）＝＋，h（x）＝x3.

则h（x）为奇函数，g（－x）＋g（x）＝＋＋＋＝＋＋1＝0.

∴g（x）为奇函数，故f（x）为偶函数．

（3）证明　当x＞0时，2x－1＞0，∴x3＞0，

即f（x）＞0.又∵f（x）是偶函数，

∴当x＜0时，f（x）＝f（－x）＞0，

∴f（x）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上恒大于零．∴f（x）＞0.

规律方法

（1）应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小．

（2）与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.

【训练3】

已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）解关于t的不等式f（t2－2t）＋f（2t2－1）<0.

解　

（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即＝0，解得b＝1，所以f（x）＝.又由f

（1）＝－f（－1）知＝－.解得a＝2.

（2）由

（1）知f（x）＝＝－＋.

由上式易知f（x）在（－∞，＋∞）上为减函数（此外可用定义或导数法证明函数f（x）在R上是减函数）．

又因为f（x）是奇函数，所以不等式f（t2－2t）＋f（2t2－1）<0等价于f（t2－2t）<－f（2t2－1）＝f（－2t2＋1）．因为f（x）是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1，即3t2－2t－1>0，解不等式可得.

1．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．

2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．

3．画指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：

（1，a），（0,1），.

4．熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝x，y＝x在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．

易错辨析2——忽略讨论及验证致误

【典例】

（·山东卷）若函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g（x）＝（1－4m）在[0，＋∞）上是增函数，则a＝________.

[解析]　若a＞1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g（x）＝－为减函数，不合题意．若0＜a＜1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝，m＝，检验知符合题意．

[答案]　

[易错警示]　

（1）误以为a＞1，未进行分类讨论从而求得错误答案．

（2）对条件“g（x）在[0，＋∞）上是增函数”不会使用，求得结果后未进行检验得到两个答案．

[防范错施]

（1）指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．

（2）根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础．

【自主体验】

当x∈[－2,2]时，ax<2（a>0，且a≠1），则实数a的范围是（　　）．

A．（1，）B.

C.∪（1，）D．（0,1）∪（1，）

解析　x∈[－2,2]时，ax<2（a>0，且a≠1），

若a>1，y＝ax是一个增函数，则有a2<2，可得a<，故有1

若0，故有

答案　C

对应学生用书P235

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1．函数y＝ax－（a＞0，a≠1）的图象可能是（　　）．

解析　当a＞1时单调递增，且在y轴上的截距为0＜1－＜1时，故A，B不正确；

当0＜a＜1时单调递减，且在y轴上的截距为1－＜0，故C不正确；D正确．

答案　D

2．（·陕西质检三）函数y＝2x－2－x是（　　）．

A．奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递增

B．奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递减

C．偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增

D．偶函数，在区间（－∞，0）上单调递减

解析　令f（x）＝2x－2－x，则f（－x）＝2－x－2x＝－f（x），所以函数是奇函数，排除C，D.又函数y＝2x，y＝－2－x都是R上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f（x）＝2x－2－x是R上的增函数．

答案　A

3．（·济南一模）若a＝30.6，b＝log30.2，c＝0.63，则（　　）．

A．a＞c＞bB．a＞b＞c

C．c＞b＞aD．b＞c＞a

解析　30.6＞1，log30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a＞c＞b，选A.

答案　A

4．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于（　　）．

A.B．10C．20D．100

解析　∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，

∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.

∴m＝.

答案　A

5．函数y＝ax－b（a＞0且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围为（　　）．

A．（1，＋∞）B．（0，＋∞）

C．（0,1）D．无法确定

解析　函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y轴的交点在负半轴上．而当x＝0时，y＝a0－b＝1－b，由题意得解得所以ab∈（0,1）．

答案　C

二、填空题

6.（a＞0）的值是________．

解析　＝

＝

＝

.

答案　

7．（·盐城模拟）已知函数f（x）＝a－x（a＞0，且a≠1），且f（－2）＞f（－3），则a的取值范围是________．

解析　因为f（x）＝a－x＝x，且f（－2）＞f（－3），所以函数f（x）在定义域上单调递增，所以＞1，解得0＜a＜1.

答案　（0,1）

8．函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[1,2]中的最大值比最小值大，则a的值为________．

解析　当0＜a＜1时，a－a2＝，∴a＝或a＝0（舍去）．

当a＞1时，a2－a＝，∴a＝或a＝0（舍去）．

综上所述，a＝或.

答案　或

三、解答题

9．设f（x）＝＋是定义在R上的函数．

（1）f（x）可能是奇函数吗？

（2）若f（x）是偶函数，求a的值．

解　

（1）假设f（x）是奇函数，由于定义域为R，

∴f（－x）＝－f（x），即＋＝－，

整理得（ex＋e－x）＝0，

即a＋＝0，即a2＋1＝0，显然无解．

∴f（x）不可能是奇函数．

（2）因为f（x）是偶函数，所以f（－x）＝f（x），

即＋＝＋，整理得（ex－e－x）＝0，

又∵对任意x∈R都成立，∴有a－＝0，得a＝±1.

10．设a＞0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．

解　令t＝ax（a＞0且a≠1），

则原函数化为y＝（t＋1）2－2（t＞0）．

①当0＜a＜1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈，

此时f（t）在上为增函数．

所以f（t）max＝f＝2－2＝14.

所以2＝16，所以a＝－或a＝.

又因为a＞0，所以a＝.

②当a＞1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈，

此时f（t）在上是增函数．

所以f（t）max＝f（a）＝（a＋1）2－2＝14，

解得a＝3（a＝－5舍去）．综上得a＝或3.

能力提升题组

（建议用时：

25分钟）

一、选择题

1．（·惠州质检）设f（x）＝|3x－1|，c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b），则下列关系式中一定成立的是（　　）．

A．3c＞3bB．3b＞3a

C．3c＋3a＞2D．3c＋3a＜2

解析　作f（x）＝|3x－1|的图象如图所示，由图可知，要使c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b）成立，则有c＜0且a＞0，

∴3c＜1＜3a，∴f（c）＝1－3c，f（a）＝3a－1，

又f（c）＞f（a），∴1－3c＞3a－1，

即3a＋3c＜2，故选D.

答案　D

2．（·杭州质检）已知函数f（x）＝是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是（　　）．

A.B.

C.D.

解析　∵函数f（x）＝是定义域上的递减函数，∴即

解得

答案　B

二、填空题

3．已知实数a≠1，函数f（x）＝若f（1－a）＝f（a－1），则a的值为________．

解析　由f（1－a）＝f（a－1），1－a和a－1互为相反数，得e2（1－a）＝ea－（a－1）（1－a＞0），解得a＝，或e2（a－1）＝ea－（1－a）（a－1＞0），此方程无解，故a＝.

答案　

三、解答题

4．已知函数f（x）＝

.

（1）若a＝－1，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）有最大值3，求a的值．

解　

（1）当a＝－1时，f（x）＝

，

令t＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7，

由于t在（－∞，－2）上单调递增，在[－2，＋∞）上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在[－2，＋∞）上单调递增，即函数f（x）的单调递增区间是[－2，＋∞），单调递减区间是（－∞，－2）．

（2）令h（x）＝ax2－4x＋3，则f（x）＝h（x）．由于f（x）有最大值3，所以h（x）应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f（x）有最大值3时，a的值等于1.