椭圆和双曲线练习题及复习资料解析.docx

椭圆和双曲线练习题及复习资料解析.docx

《椭圆和双曲线练习题及复习资料解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆和双曲线练习题及复习资料解析.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

椭圆和双曲线练习题及复习资料解析

第二章圆锥曲线与方程

一、选择题

1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则1|＋2|等于（　　）

A．4　　　　　　B．5C．8D．10

解析：

选D　根据椭圆的定义知，1|＋2|＝2a＝2×5＝10，故选D.

2．已知△的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长是（　　）

A．2B．6C．4D．12

解析：

选C　由于△的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，＋＝2，＋＝2，便可求得△的周长为4.

3．命题甲：

动点P到两定点A，B的距离之和＋＝2a（a＞0，常数）；命题乙：

P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件

解析：

选B　利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则＋＝2a（a＞0，常数），故甲是乙的必要条件．

反过来，若＋＝2a（a＞0，常数）是不能推出P点轨迹是椭圆的．

这是因为：

仅当2a＞时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝时，P点轨迹是线段；当2a＜时，P点无轨迹，故甲不是乙的充分条件．

综上，甲是乙的必要不充分条件．

4．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（　　）

A．（3，＋∞）B．（－∞，－2）C．（－∞，－2）∪（3，＋∞）D．（－6，－2）∪（3，＋∞）

解析：

选D　由a2＞a＋6＞0，得所以，所以a＞3或－6＜a＜－2.

5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且1F2|＝2，若1|与2|的等差中项为1F2|，则椭圆C的标准方程为（　　）

＋＝1＋＝1或＋＝1

＋＝1＋＝1或＋＝1

解析：

选B　由已知2c＝1F2|＝2，得c＝.

由2a＝1|＋2|＝21F2|＝4，得a＝2.

∴b2＝a2－c2＝9.

故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.

6．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0,13），另一个顶点是（－10,0），则焦点坐标为（　　）

A．（±13,0）B．（0，±10）C．（0，±13）D．（0，±）

解析：

选D　由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为（0，±）．

7．已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△1B的周长为4，则C的方程为（　　）

＋＝1＋y2＝1＋＝1＋＝1

解析：

选A　由椭圆的性质知，1|＋2|＝2a，1|＋2|＝2a，

又∵△1B的周长＝1|＋2|＋1|＋2|＝4，∴a＝.

又e＝，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.

8．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则（　　）

A．a2＝25，b2＝16B．a2＝9，b2＝25

C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D．a2＝25，b2＝9

解析：

选D　因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，

所以a2＝25，b2＝9.

9．已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且⊥x轴，直线交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是（　　）

解析：

选D　∵＝2，∴|＝2|.又∵∥，∴＝＝，即＝，∴e＝＝.

10．过椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F12＝60°，则椭圆的离心率为（　　）

解析：

选B　法一：

将x＝－c代入椭圆方程可解得点P－c，±，故1|＝，

又在△F12中∠F12＝60°，所以2|＝，根据椭圆定义得＝2a，从而可得e＝＝.

法二：

设1F2|＝2c，则在△F12中，1|＝c，2|＝c.

所以1|＋2|＝2c＝2a，离心率e＝＝.

11．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为（　　）

－＝1－＝1

－＝1或－＝1－＝0或－＝0

解析：

选C　由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a＝5，c＝7，∴b2＝72－52＝24.

12．已知m，n∈R，则“m·n＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选C　若方程＋＝1表示双曲线，则必有m·n＜0；当m·n＜0时，方程＋＝1表示双曲线．所以“m·n＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的充要条件．

13．已知定点A，B且＝4，动点P满足－＝3，则的最小值为（　　）

D．5

解析：

选C　如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，最小，最小值为a＋c＝＋2＝.

14．双曲线－＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，则点P到焦点F2的距离是（　　）

A．17B．7C．7或17D．2或22

解析：

选D　依题意及双曲线定义知，1|－2＝10，即12－2|＝±10，∴2|＝2或22，故选D.

15．焦点分别为（－2,0），（2,0）且经过点（2,3）的双曲线的标准方程为（　　）

A．x2－＝1－y2＝1

C．y2－＝1－＝1

解析：

选A　由双曲线定义知，2a＝－＝5－3＝2，

∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.

16．下列双曲线中离心率为的是（　　）

－＝1　　　　　－＝1－＝1－＝1

解析：

选B　由e＝得e2＝，∴＝，则＝，∴＝，即a2＝2b2.因此可知B正确．

17．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是（　　）

A．x2－y2＝8B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8D．y2－x2＝4

解析：

选A　令y＝0得，x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为（－4,0），

∴c＝4，a2＝c2＝×16＝8，故选A.

18．（广东高考）若实数k满足0＜k＜5，则曲线－＝1与曲线－＝1的（　　）

A．实半轴长相等B.虚半轴长相等C．离心率相等D.焦距相等

解析：

选D　由0＜k＜5易知两曲线均为双曲线，且焦点都在x轴上，由于16＋5－k＝16－k＋5，所以两曲线的焦距相等．

19．双曲线＋＝1的离心率e∈（1,2），则k的取值范围是（　　）

A．（－10,0）B．（－12,0）C．（－3,0）D．（－60，－12）

解析：

选B　由题意知k＜0，∴a2＝4，b2＝－k.∴e2＝＝＝1－.

又e∈（1,2），∴1＜1－＜4，∴－12＜k＜0.

20．（天津高考）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：

y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）

－＝1－＝1－＝1－＝1

解析：

选A　由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝x与直线y＝2x＋10平行，

所以＝2且左焦点为（－5,0），所以a2＋b2＝c2＝25，解得a2＝5，b2＝20，故双曲线的方程为－＝1.

二、填空题

21．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是．

解析：

当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1.∴m－4＝1，m＝5.

当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.

答案：

3或5

22．已知椭圆C经过点A（2,3），且点F（2,0）为其右焦点，则椭圆C的标准方程为．

解析：

法一：

依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0），且可知左焦点为F′（－2,0）．

从而有解得

又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为＋＝1.

法二：

依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0），则解得b2＝12或b2＝－3（舍去），从而a2＝16.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

答案：

＋＝1

23．椭圆的两焦点为F1（－4,0），F2（4,0），点P在椭圆上，若△1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为．

资*源%库解析：

如图，当P在y轴上时△1F2的面积最大，∴×8b＝12，∴b＝3.又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

答案：

＋＝1

24．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是．

解析：

椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，因此可设待求椭圆为＋＝1.

又b＝2，故m＝20，得＋＝1.

答案：

＋＝1

25．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝.

解析：

当焦点在x轴上时，＝⇒m＝3；当焦点在y轴上时，＝⇒m＝.综上，m＝3或m＝.

答案：

3或

26．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P（－5,4），则椭圆的方程为．

解析：

∵e＝＝，∴＝＝，∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.

设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞0），∵椭圆过点P（－5,4），∴＋＝1.解得a2＝45.∴椭圆的方程为＋＝1.

答案：

＋＝1

27．设m是常数，若点F（0,5）是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝.

解析：

由点F（0,5）可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.

答案：

16

28．经过点P（－3,2）和Q（－6，－7），且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是．

设双曲线的方程为2＋2＝1（＜0），则解得

故双曲线的标准方程为－＝1.

答案：

－＝1

29．已知双曲线的两个焦点F1（－，0），F2（，0），P是双曲线上一点，且·＝0，1|·2|＝2，则双曲线的标准方程为．

解析：

解析：

由题意可设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0）．

由·＝0，得1⊥2.根据勾股定理得1|2＋2|2＝（2c）2，即1|2＋2|2＝20.

根据双曲线定义有1|－2|＝±2a.两边平方并代入1|·2|＝2得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，所以双曲线方程为－y2＝1.

答案：

－y2＝1

30．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是．

解析：

由渐近线方程为y＝±x＝±x，得m＝3，所以c＝，又焦点在x轴上，则焦点坐标为（±，0）．

答案：

（±，0）

31．过双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为．

解析：

由题意知，a＋c＝，即a2＋＝c2－a2，∴c2－－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1（舍去）．

答案：

2

32．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△的面积为．

解析：

双曲线－＝1的右顶点A（3,0），右焦点F（5,0），渐近线方程为y＝±x.不妨设直线的方程为y＝（x－5），代入双曲线方程整理，得x2－（x－5）2＝9，解得x＝，y＝－，所以.

所以S△＝＝（c－a）＝×（5－3）×＝.

答案：

.

三、解答题

33．设F1，F2分别是椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．

解：

由点在椭圆上，得＋＝1，

又2a＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为（－1,0），（1,0）．

34．已知椭圆的两焦点为F1（－1,0），F2（1,0），P为椭圆上一点，且2＝＋.

（1）求此椭圆的方程；

资*源%库

（2）若点P满足∠F12＝120°，求△1F2的面积．

解：

（1）由已知得＝2，*源%库∴＋＝4＝2a，∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，∴椭圆的标准方程为＋＝1.

（2）在△1F2中，由余弦定理得2＝2＋2－2120°，即4＝2－，∴4＝（2a）2－＝16－，

∴＝12，∴S△1F2＝120°＝×12×＝3.

35．在平面直角坐标系中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△2的周长为16，求椭圆C的标准方程．

解：

设椭圆C的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）．由e＝知＝，故＝，从而＝，＝.

由△2的周长为＋2|＋2|＝1|＋2|＋1|＋2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.故椭圆C的标准方程为＋＝1.

36．椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右顶点是A（a,0），其上存在一点P，使∠＝90°，求椭圆离心率的取值范围．

资*源%库解：

设P（x，y），由∠＝90°知，点P在以为直径的圆上，圆的方程是：

2＋y2＝2，所以y2＝－x2.①又P点在椭圆上，故＋＝1.②把①代入②化简，得（a2－b2）x2－a3x＋a2b2＝0，即（x－a）[（a2－b2）x－2]＝0，

∵x≠a，x≠0，∴x＝，又0＜x＜a，∴0＜＜a，即2b2＜a2.

由b2＝a2－c2，得a2＜2c2，所以e＞.

又∵0＜e＜1，∴＜e＜1.即椭圆离心率的取值范围是.

37．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点，求该双曲线的标准方程．

解：

已知双曲线－＝1.据c2＝a2＋b2，得c2＝16＋9＝25，

∴c＝5.设所求双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0）．依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，

故双曲线方程可写为－＝1.

∵点在双曲线上，∴－＝1.化简，得4a4－129a2＋125＝0，

解得a2＝1或a2＝.又当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－＜0，不合题意，舍去，故a2＝1，b2＝24.

∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.

38．已知△的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式B－A＝C.

（1）求线段的长度；

（2）求顶点C的轨迹方程．

解：

（1）将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1.∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，则A（－2,0），B（2,0），＝4.

（2）∵B－A＝C，∴由正弦定理得－＝＝2＜＝4，即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，∴所求的点C的轨迹方程为x2－＝1（x＞1）．

3939.已知椭圆方程是＋＝1，双曲线E的渐近线方程是3x＋4y＝0，若双曲线E以椭圆的焦点为其顶点，求双曲线的方程．

资*源%库资*源%库解：

由已知，得椭圆的焦点坐标为（±，0），顶点坐标为（±，0）和（0，±）．

因双曲线以椭圆的焦点为顶点，即双曲线过点（±，0）时，可设所求的双曲线方程为9x2－16y2＝k（k≠0），将点的坐标代入得k＝45，故所求方程是－＝1.

40．已知双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，且＝.

（1）求双曲线C的方程；

（2）已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．

解：

（1）由题意得解得所以b2＝c2－a2＝2.所以双曲线C的方程为x2－＝1.

（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段的中点为M（x0，y0）．

由得x2－2－m2－2＝0（判别式Δ＞0）．所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m.

$来&源：

因为点M（x0，y0）在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋（2m）2＝5.故m＝±1.