四川省开江县任市中学高中数学人教A必修5课件252等比数列的前n项和.docx

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四川省开江县任市中学高中数学人教A必修5课件252等比数列的前n项和

2.5等比数列的前兀项和

任中高2015级

Yuzhisheng

普比數科｛an｝的嚙兀项知公式:

nar

s”=<為（1_?

"）

S=i）

8工1）

、_q

通项公式：

an=a、q

前兀项和公式:

（g=i）

（"1）

两个公式共有5个基本量:

a19q9n9an,S〃可知“三求二”.

例1・若数列｛%｝是各项为正的等比数列，前〃项和为80,其中最大项为54,前加项和为砧60,求Si。

。

.解：

由已知得，c為（1-0"）on

S^=~rr~=

S2ft="+_g）=6560・

加1-q

由②一①得1+q"=82,qn=81,代入①得：

严一=一1,©=g-l,

a”>0,・：

叭=g-1>0,q>1,・：

｛a“｝是递增数列.

.••最大项为5=54,BP虻=54,^x81=54,④q

解③④得a｛=2,^=3，.:

5100=乞琴一-一=3100-1.

1-q

1-q

例2•数列｛©｝的前m项和为S“，且°i=l,a“+i=^Sn,求：

（I）a2fa3,為的值及数列｛a“｝的通项公式；（II）+L+。

2"的值*解：

（D由幻=1,«„+1=gS"，得

—a

3

11c1..4

133323129

*—、161。

l4=^S3=^（ai+a2+a3）=^^an=Sn-1，由~+i一〜=t（S”一S“_J=jan,（n>2）

1n=l叫护5

得an+l=3""（n>2）又。

2=3，

14w_2

•:

""蔦（3）（w>2）

例2•数列｛馮｝的前兀项和为S”，且°i=l,a“+i,

求：

（I）avav血的值及数列｛〃“｝的通项公式；

（II）a2+a4+a6+L+a2n的值.

解：

（II）由（I）可知。

2皿4丄，。

2”是首项为扌,公比为4）\项数为〃的等比数列，

42

17）34

・•・a2+a4+a6+L+a2n==y［（~）2M-1】・

例3数列S“｝的前兀项和记为盼已知

a1=l,«„+i=ZLJls„（n=1>23A）-

⑴数列｛存｝是等比数列；⑵几+产％

o_兀+2c

证明：

（1）oa“+i=S“+i-S“,a“+i=—^~%

.・.（m+2）S“=m（S”+i-S”），S“+i

整理得nSn+1=2（n+l）S„,即2^1=2-

故色｝是以2为公比的等比数列・

例3数列SJ的前兀项和记为S"，已知

a,=l,a„+i=S”（"=1,2,3A）•

求证：

（1）数列岸｝是等比数列;⑵S“+i=4a“・证明：

⑵由⑴得善=*2"-1=2"亠

・•.S“+2-,

⑸（n=D_J1（"=1）=（n+1）•2n-2

鑫=k-S-（h22）~［統2幻4陥-仙滋）2（nn2）又Sn+1=（n+1）•2B=4（n+1）-2n'2,

・•・S“+i=4a“・

例4已知数列｛陽｝满足ai卫2~ai皿3~a2J^an一d/i—1A是首项为1,公比为土的等比数列.

CD求色的表达式；

0）设乞=（2〃-叽,求｛仇｝的前〃项和S“・解：

（1）由已知得©=I，a”一=1x（*）"1=3严_1（n—2）

an=（an-«„_!

）+（«„_!

-alt_2）+A+（a2-al）+al=」一+」一+」一+人+丄+1=£（1-丄）（心2）3兀一i3〃一23川一彳323舁

当〃=1时，=1也满足上式，

解：

（2）由⑴知，

3〃

bn=（2n-l）an=|（2w-1）（1-i）=j[（2n-1）-2n~1•\Sn=b、+方2+方3+A+bfl

2n-l

=|[l+3+54-A+（2M_l）_（g+寺+寺+A+*#）]令人詁+寺+寺+人+葺F1'则

3Tn

已+巳+A+2n~3+2n~^,

32333“3"冉

汙=1加3”）-•+）丄331心伶（1-21-3++1-31-3

+1

1J

丁-1

n

2

+

3一32

1-3

两式相减得jr„

•••Sn=l

课后作业

1•习题2.5B组

2.《天府数学》2.5.2