三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质.docx
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三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用
知识点总结
1.O是也ABC的重心二°A+°B+°C=0；
s
若O是警的重心，则_呷
PG"=1-（PA）+
1
=3SABC故°A°B°C=0；
G为:
ABC的重心.
2.O是AABC的垂心二°A°B=°B°C=°C°A
若O是心ABC（非直角三角形）的垂心，则s^oc:
S^oc:
s^ob=tanA:
tanB:
tanC
故tanAOAtanBOBtanCOC=0
222
3.O是ABC的外心二|°A|=|°B|=|°C|（或°a=°B=OC）
若O是ABC的外心则SBOC：
SA°C：
Saob=sinBOC:
sinAOC:
sinAOB=sin2A:
sin2B:
sin2C
故sin2AOAsin2BOBsin2COC=0
——ABAC——-BABC——CACB
OA（-——）=OB.（）=OC.（）=0
4.O是内心ABC的充要条件是|AB|AC|BA||BC||CA|ICB|
引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记AB,BC,CA的单位向量为ei，e2，e3，则刚才O是
ABC内心的充要条件可以写成OA（eie3）=°B（ei6）=°C（e^e3p0,o是
ABC内心的充要条件也可以是aOAbOBc°^0。
若O是ABC的内心,则
SBOC:
S.AOC:
S.AOB=a:
b:
故aOAbOBc°C=0或sinAOAsinBOBsinCOC=0；
|AB|PC|BC|PA|CA|PB=0二P是ABC的内心;
向量’（召g）（.=o）所在直线过ABC的内心（是・BAC的角平|AB||AC|
分线所在直线）；范例
（一）将平面向量与三角形内心结合考查
例1.O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
AB与AC方向上的单位向量分别为©和e2,又
解析：
因为AB是向量AB的单位向量设网
OP-0A二AP，则原式可化为AP=•G-e2），由菱形的基本性质知AP平分.BAC，那么在ABC中，AP平分.BAC，则知选B.
（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2.H是厶ABC所在平面内任一点，HAHC=HCHA二点H是厶ABC的垂心.
.jd*■■-»**■*
由HAHB=HBHC=HB（HC_HA）=0=HBAC=0=HB_AC,
同理HC_AB，故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略））
例3.（湖南）P是厶ABC所在平面上一点，若PAP^PBP^PCPA，贝UP是厶ABC的（D）
A.外心B.内心C.重心D.垂心
解析:
由PAPB二PB卩CWPAPB-PB卩C二0.即卩PB（PA-PC）=0,即PBCA=0
则PB_CA,同理PA_BC,PC_AB所以P为ABC的垂心.故选D.
（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4.G是厶ABC所在平面内一点，GAGB・GC=0=点G是厶ABC的重心.
证明作图如右，图中GB，GC二GE
连结BE和CE,贝UCE=GB，BE=GC=BGCE为平行四边形=D是BC的中点，AD为BC边上的中线•
将GBGC=GE代入GAGBGC=0,
得GA-EG=0二GA-~GE--2GD，故G是厶ABC的重心.（反之亦然（证略））
例5.P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC的重心二（paPBPC）.
证明PG=PAAGBG=PCCG二3PG=（AGBGCG）（PAPBPC）
•/G是厶ABC的重心•••GAGBGC=0二AGBGCG=0，即卩3P^=PAPBPC
由此可得PGJ（PAPBPC）.（反之亦然（证略））
3
解析：
由OA+OB+OC=0得OB+OC=-OA，如图以oboc为相邻两边构作平行四边形，则
卜F（.
2222
.）^AHgMhQF=（乎亡十-y3）
33222
BC=化“皿）
质，所以是重心，选D。
（四）将平面向量与三角形外心结合考查
例7若O为UABC内一点，OA=OB=OC，则O是.'ABC的（）
A.内心B.外心C.垂心D.重心
解析：
由向量模的定义知O至打ABC的三顶点距离相等。
故O是丄ABC的外心，选B
（五）将平面向量与三角形四心结合考查
例8.已知向量OPi，OP2，OP3满足条件OP+OP2+OP3=0，|OPi|=|OP2|=|OP3|=1，
求证△P1P2P3是正三角形•（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）证明由已知OP1+Op2=-Op3，两边平方得OP1•OP2=_丄，
2
——1
同理OP2•OP3=OP3•OP=—?
，
|PP2|=|P2P3|=|P3P11=、3，从而△P1P2P3是正三角形.
反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有OP；+OP2+OP3=0且|OR|=|OP2|=|OP3|.
即O是厶ABC所在平面内一点，
OP+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|二点O是正△P1P2P3的中心.
例9.在△ABC中，已知QGH分别是三角形的外心、重心、垂心。
求证：
QGH三点共
线，且QG:
GH=1:
2
设A（0,0）、B（X1,0）、
【证明】:
以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系
C（X2,y2），DE、F分别为ABBCAC的中点，则有：
D（竺0）、E（§红込、F（X^,y^）由题设可设Q（仝
222222
G（X1X2y2
it1_
AH厂BC
AH*BC=x2（x2y2y4=0
.X2（X2-X1）
y4
o
y2
7q^_AC
.QF.ACg^—^1）『2（^73）=0
2（X2-xjy2
2石2兀
x1z2x2_x13x2（X2_x1）
2y2
5%2一才宀/）212（21）
补充练习
1•已知A、B、C是平面上不共线的三点，0是三角形ABC的重心，动点P满足
111
OP=（0A+—0B+20C）,贝U点P一定为三角形ABC的（B）
322
D.AB边的中点
————一—11—1—一
1.B取AB边的中点M，贝UOA0B=20M，由OP=—（―0A+—0B+20C）可得322
30P=30M2MC,二MP_?
MC，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且3
点P不过重心，故选B.
2.在同一个平面上有「ABC及一点O满足关系式:
8.
ABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H,OH"=m（0A-OB-OC），则实数m=1
9.点0是ABC所在平面内的一点，满足0AOB=0BOC二OC0A，则点0是ABC的（B）
（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点
（C）三条中线的交点（D）三条高的交点
10.
如图1,已知点G是UABC的重心，过G乍直线与ABAC两边分别交于MN两点，且咖二xAB，
AN=yAC，则-■-=3o
xy
证点G是厶ABC的重心，知GAGBGC=0,
得■（ABAG^）■（ACAG）=0,有AG=-（AB■AC）。
又M,N,G三点共线（A不在直线MN3
上）,
于是存在丄，使得AG=■AM：
〔-AN（且，•」=—,
有AG=■xA^<_jyAC=-（ABAC）,
3
'■■-1
11
得1，于是得1」=3o
x=」yxy
I3
例讲三角形中与向量有关的问题
教学目标：
1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法
2、向量的加法、数量积等性质
3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题
4、数形结合
教学重点：
灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题
教学难点：
针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题
教学过程：
1、课前练习
——2——■2——2
1.1已知0是厶ABC内的一点，若0A=0B=0C，则0是厶ABC£〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
1.2在厶ABC中,有命题①AB-AC二BC:
②ABBCCA=0;③若ABAC•AB-AC二0,
则厶ABC为等腰三角形；④若AB・AC7,则厶ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔〕
A、①②B、①④C、②③D、②③④
2、知识回顾
2.1三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法
2.2向量的有关性质
2.3上述两者间的关联
3
、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题
练习1、已知△ABC中,AB=a，BC二b，B是厶ABC中的最大角，若，试判断厶ABC的形状。
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知0是厶ABC所在平面内的一点，满足|oA-|BC=OB-|aC-OC-|ab，贝U0是厶ABC—〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
则动点P一定过△ABC的:
〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
练习2、已知0为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足
C、外心D、内心
过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，
——一一_-11
AM=x・AB,AN=y・AC，求证：
3
xy
6小结
处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化,合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。
7、作业
1、
*「I].—►
已知O是厶ABC内的一点，若OA•OB•OC=0，贝U0是厶ABC的:
〕
A、重心B、垂心
a・0Ab・0Bc・0C=0，贝U0是厶ABC的:
〕
、内心
A、重心B、垂心C、外心
4、已知P是厶ABC所在平面内与A不重合的一点，满足AB-AC=3AP,则P是厶ABC的〔〕
、内心
|0A=OB=0C=1，求证:
A、重心B、垂心C、外心D
5、平面上的三个向量OA、OB、OC满足0A・0B，0C=0,
△ABC为正三角形。
6在厶ABC中,0为中线AM上的一个动点，若AMh2,求oa（oboc）
三角形四心与向量的典型问题分析
向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。
在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。
在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。
下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一
些特定的性质。
既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感
」、重心”的向量风采
【命题1】G是△ABC所在平面上的一点,
TTT—+
OP=OA…（ABAC）,■（0,•：
：
），则P的轨迹一定通过△ABC的重心.
_I-1-1-1
由题意■（ABAC），当…（0,：
）时，由于■（ABAC）表示BC边上的中线所在
【解析】
直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，如图⑵.
垂心”的向量风采
【命题3】P是厶ABC所在平面上一点，若PA・PB=：
PBPC=PCPA，则P是厶ABC的垂心.
【解析】由PAPBnPBpc，得Pb（PA-PC）=o,即卩pbC^-o，所以
~1T丄CA.同理可证
垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心，如图⑷.
二、内心”的向量风米
【命题5】已知I为△ABC所在平面上的一点，且AB二c,AC二b,BC=a•若
•••AI与/BAC平分线共线，即AI平分.BAC.
同理可证：
BI平分.ABC，CI平分.ACB.从而I是厶ABC的内心，如图⑸.
【命题6】已知O是平面上一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
■（0,•:
■），则动点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
•••当…（0,=）时，AP表示.BAC的平分线所在直线
方向的向量，故动点P的轨迹一定通过△ABC的内心，如图⑹.
四、“外心”的向量风采
已知O是厶ABC所在平面上一点，若OA^rOB^rOC2，则O是厶ABC的外心.
外心如图⑺。
的向量（注意：
理由见二、4条解释。
），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过△ABC的外心，如图⑻。
甜润在心。
我无所谓成功不成功，但我在乎我自己的成长；我无法掌握别人，但我可以掌握自己。
我唯一能把握的，是我会一直尽力走下去，不为了别人，为了给自己一个交代。
这个世界上有太多的事情是我们无法掌握的，你不知道谁明天会离开，你不知道意外和你等的人谁先到来。
我们都会遇到很多人，会告别很多人，会继续往前走，也许还会爱上那么几个人，弄丢那么几个人。
关键在于，谁愿意为你停下脚步？
对于生命中每一个这样的人，一千一万个感激。
有一些人、一些事是不需要理由的:
比如天空的颜色;
比如连你自己都不知道为什么会喜欢上的那个人;
比如昨天擦肩而过的人变成了你今天的知己。
梦想这东西，最美妙的在于你可以制造它，重温它。
看一本书，听一首歌，去一个地方，梦想就能重新发芽，那个在你体内扎根的与生俱来的梦想。
我们唯一能把握的事情是，成为最好的自己，我们可以不成功，但是我们不能不成长，没有什么比背叛自己更可怕。
你唯一能把握的，是变成最好的自己。
也许你最后也没能牵到那个人的手，但是你付出了就不会有遗憾;
也许最后你也只是默默无闻，但你曾经为了将来努力地奋斗了一把;
也许你最后也没能环游世界，可是你在实现梦想的途中找到了自己。
那是能够为了一个目标默默努力的自己，不抱怨，不浮躁，不害怕孤单，沉默却又努力的自己。
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