运筹学总复习.docx
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运筹学总复习
《运筹学》总复习
第1章线性规划及其对偶问题
●基本概念
基本要素：
决策变量、目标函数、约束条件
线性规划定义：
决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件为决策变量的线性函数。
标准形式：
目标函数取“max”、约束条件取“=”、约束右端项非负、决策变量非负
解的概念：
凡满足约束条件的决策变量的取值称为线性规划的可行解,所有可行解的集合称为线性规划的可行域,使目标函数达到最优值的可行解称为线性规划的最优解。
●数学建模与求解
建模步骤：
科学选择决策变量、找出所有约束条件、明确目标要求、非负变量的选择
单纯形法与对偶单纯形法：
两阶段法：
第一阶段：
添加人工变量，构造人工变量之和为最小的目标函数辅助线性规划，由松驰变量和人工变量构成初始单纯形表，进行迭代。
在最终单纯形表中如果存在人工变量，由无可行解，否则转第二阶段。
第二阶段：
在第一阶段求解的最终单纯形表中去掉人工变量，目标系数恢复为标准模型的目标系数，按单纯形法继续迭代。
●练习题：
1.某厂利用原料A、B生产甲、乙、丙3种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件利润及有关数据如表所示，试建立该问题线性规划模型，并用单纯形法求解。
甲
乙
丙
原料拥有量
A
B
6
3
3
4
5
5
45
30
单件利润
4
1
5
2.某旅馆在不同时段所需服务员数如表所示：
每班服务员从开始上班到下班连续工作8小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅馆至少需要多少服务员？
（列出该问题线性规划模型，不求解）
时间段
最少服务员数
1
06:
00~10:
00
20
2
10:
00~14:
00
30
3
14:
00~18:
00
25
4
18:
00~22:
00
30
5
22:
00~02:
00
10
6
02:
00~06:
00
10
3.用两阶段法求解线性规划问题：
4.用对偶单纯形法求解线性规划问题：
第2章整数规划与分配问题
●0-1变量的用法及建模
理解0-1变量的9种用途，其中
（1）
（2）（4）（8）重点掌握
（1）多个取1：
（2）n中取k：
n中至少取k，改为
n中最多取k，改为
（3）变量取离散数值：
（4）选甲必须选乙，选乙不一定选甲：
或1
（5）两个约束条件只需满足一个：
或
式中：
M为任意大正数
（6）n个约束条件中满足k个：
（7）若
，则
；否则
，
，
或
（8）选了甲或乙，丙就不能入选，选了丙，甲、乙都不能入选
（9）对
可表述为：
●匈牙利法
步骤：
1.从每行中减去最小数
2.再从每列中减去最小数
3.
（1）先看行,从第一行开始,如该行只有一个0,给该0打Δ,划去该为所在列,如有两个以上0或无0,转下一行,到最后一行;
（2）再看列,如该列只有一个0,给该0打Δ,划去该0所在行,如无0或两个以上0,转下一列;
（3）重复
（1）
（2）,可能出现三种结局:
a.有m个打Δ的0,令对应Δ号的xij=1,即为最优.
b.存在0的闭回路.
对闭回路上的0按顺时针编号,任取单号或双号打Δ,分别对打Δ的0都划去所在行（或都划去所在列）返回3
（1）
C.打Δ的0的数4.从未被划去的数字中找出最小数字k,对未被划去的行分别减k;对被划去的列加k,回到3
●练习题：
1．某公司有5000万元可用于投资，有6个投资方案，其投资额、安排员工数和年利润额如表所示：
方案
投资额（万元）
可安排员工数（人）
年利润额（万元）
1
2000
50
150
2
2000
60
200
3
3500
100
150
4
1000
20
100
5
4000
100
200
6
1500
50
100
要求：
（1）投资额不超过5000万元；
（2）至少安排150人员就业；
（3）年利润额尽可能地多。
试建立该问题0-1规划数学模型（不求解）
2.某校排球队准备从以下8名预备队员中选拔4名正式队员，并使平均身高尽可能高。
这8名预备队员情况如下表所示。
预备队员
号码
身高（厘米）
位置
A
B
C
D
E
F
G
H
1
2
3
4
5
6
7
8
197
194
189
196
188
180
183
185
主攻
主攻
副攻
副攻
二传
二传
接应
接应
要求：
（1）8名预备队员选4名；
（2）最多补充1名主攻；
（3）最多补充1名副攻；
（4）至少补充1名二传；
（5）至少补充1名接应；
（6）A和E只能入选1名；
（7）无论B或D入选，A都不能入选。
（建立数学模型，不求解）
3.某企业接受订货，产品需求量为6000公斤，可由3种设备进行生产，其成本与产量如下：
设备
设备调整费（元）
生产成本（元/公斤）
生产能力（公斤）
A
B
C
2000
2500
3000
6
5
4
3000
4000
5000
企业如何组织生产才能使总成本最小？
试列出该问题的整数规划数学模型（不求解）。
4.试利用0-1变量对下列各题分别表示成一般线性约束条件。
（1）x1+x2≤2或2x1+3x2≥8
（2）变量x3只能取0、5、9、12
（3）若x2≤4，则x5≥0，否则x5≤3
（4）以下四个约束条件中至少满足两个：
5.用匈牙利法求解分配问题：
（1）
（2）
第3章运输问题
●数学模型
1.产销平衡运输问题数学模型
2.产销不平衡的运输问题转化为产销平衡的运输问题
产>销：
添加一个假想销地，使其销量=∑产量-∑销量
产<销：
添加一个假想产地，使其产量=∑销量-∑产量
3.会将一般的非地理问题转化为运输问题数学模型
●表上作业法
（1）用最小元素法给出初始方案
（2）用位势法求检验数
（3）用闭回路法进行方案调整
重复
（2）（3）步，直到得最优解。
●练习题：
1.某建筑公司6个工地（A、B、C、D、E、F）的物资需要运输，各工地起点、终点及所需车次如表（a）所示，相关工地间路程如表（b）所示。
（a）（b）
线路
从工地
到工地
需车次
A
B
E
1
2
3
4
E
B
A
D
D
C
F
B
9
7
4
6
C
D
F
2
3
4
3
2
4
3
2
1
试求最优调运方案（列出产销平衡表，并用表上作业法求解）。
第4章目标规划
●基本概念
偏差变量：
用以表示实际值与超出或未达到目标值的差距的变量称为偏差变量；
正偏差变量：
超出目标的差距称为正偏差变量；
负偏差变量：
未达到目标值的差距称为负偏差变量；
优先级：
对两个不同目标，如果其重要程度相差悬殊，为达到一个目标甚至可以牺牲另一目标，可将它们划分属不同优先级。
优先级是一个定性概念，规定：
Pk>>Pk+1
权系数：
在同一优先级内，根据重要程度不同，用权系数确定其优先顺序。
权系数是一个具体的数字。
●数学建模
建模步骤：
（1）确定优先因子
（2）列出目标要求（不等式）
（3）约束转换（加减负正偏差变量变为等式）
（4）由目标要求确定目标值偏差（允许超过目标：
负偏差最小；允许不完成：
正偏差最小；要求准确完成：
正、负偏差之和最小）
（5）将目标值偏差组合起来，加上系统约束和目标约束及变量非负约束构成目标规划数学模型
●练习题：
1．某广播电台每天开播12小时，其中广告节目用以赢利，每分钟可收入500元，新闻节目每分钟需支出50元，而音乐节目每分钟支出20元，依据规定：
正常情况下广告节目不超过广播时间的15%，每小时至少安排5分钟的新闻节目，试问该电台每天应如何安排广播节目？
其优先级如下：
P1——满足规定要求，P2——每天的纯收入达到1千元并力争超过。
试建立此问题的目标规划模型（不求解）。
2．某公司计划生产甲、乙两种产品，它们分别要经过设备A和设备B两道工序的加工，其所需工时定额如下表：
产品
工序
甲
（小时/千克）
乙
（小时/千克）
有效工时
（小时）
设备A
设备B
5
2
3
7
80
72
单位盈利
100元/千克
120元/千克
系统约束：
两种设备已满负荷，不能加班。
目标要求：
P1：
盈利达到150元，并尽可能地超过；
P2：
两种产品的产量之和尽可能超过10千克；
P3：
产品乙不少于6千克。
试建立此问题的数学模型（不求解）
第6章图与网络模型
●基本概念
图：
点和连线的集合.
不带箭头的连线称为边（edge）.带箭头的连线称为弧（Arc）.
无向图：
连线不带箭头的图,用为:
G={V,E}
式中：
V={v1,v2,…}，E={e1,e2,…}表示.（如图a）.
有向图：
连线带箭头的图,用D={V,A}表示,（如图b）
边相邻：
两条边有公共的端点
点相邻：
两点有公共的关联边
环：
两端点相重的边.
多重边：
两条以上边所连的端点相重
简单图：
无环、无多重边的图
次（度）：
某一点具有的关联边的数目
孤立点：
次为“0”的点,
悬挂点：
次为“1”的点
悬挂边：
与悬挂点相连的边
奇点：
次为奇数的点
偶点：
次为偶数的点;
链：
点、边的交错序列.
圈（或称路）：
封闭的链
连通图：
任两点至少存在一条链.
基础图：
有向图去掉箭头就变成了无向图,此无向图称为该有向图的基础图.
树：
一个无圈的连通图称为树.
●基本方法
最小支撑树的避圈法与破圈法。
最短路的dijkstra标号算法。
最大流的Ford-Fulkerson标号算法。
中国邮路问题：
结论1:
若无奇点,则邮递员可以走遍所有街道,做到每条街道只走一次而不重复.
结论2:
（1）有奇点的连线的边最多重复一次;
（2）在该网络图的每个回路上,有重复的边的长度不超过回路总长的一半.
●练习题
1.用避圈法或破圈法求下图所示最小支撑树。
2.用dijkstra标号算法求上图所示从v1到v8的最短路。
3.如图，圆圈代表网络节点，节点间的连线表示它们间有网线相连，连线上的数表示该网线传送10兆字节的信息所用时间（单位：
秒）。
现需从点s向点t传送10兆字节的信息，问至少需多少时间？
4.用Ford-Fulkerson标号算法求上图所示从s到t的网络最大流。
第8章对策论
●对策模型三要素
局中人、策略集、赢得矩阵
●二人零和对策的条件：
（1）有两个局中人；
（2）每个局中人的策略都是有限的；
（3）每一策略组合下，各局中人赢得之和始终为零。
●对策模型的假设前提：
（1）对策双方的行为是理智的；
（2）局中人选取策略的目标是收益最大或损失最小；
（3）局中人同时选取各自的行动策略，且不知道对方选取哪一个策略；
（4）对策中的有关规定和要求，局中人是知道的。
●矩阵对策最优纯策略
求法：
超优原则化简，最大最小原则
●最优混合策略
求法：
线性规划法
●练习题
1．求赢得矩阵A的最优纯策略。
第9章决策分析
●不确定型决策
乐观主义准则（最大最大原则）
悲观主义准则（最小最大原则）
等概率准则
乐观系数法
最小后悔值准则
●风险型决策
期望值法
●练习题
1.根据以往的资料，一家面包店所需要的面包数（即面包当天的需求量）分布如下：
销售量（个）
180
240
300
360
概率
0.2
0.3
0.3
0.2
如果一个面包当天没销售掉，则在当天结束时以0.10元处理给饲养场，新面包的售价为每个1.00元，每个面包的成本为0.50元。
要求：
（1）列出收益矩阵并用期望值法对面包生产量进行决策。
（2）若概率分布未知，试用乐观准则、悲观准则、等概率准则和最小后悔值准则进行决策。
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