初中数学规律探究题只是分享.docx

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初中数学规律探究题只是分享

初中数学规律探究题

归纳猜想型问题

考点一：

猜想数式规律

通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

1.（巴中）观察下面的单项式：

a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是8

;;；

第n个数据应为。

（-2）n-1xn

2.（南平）给定一列按规律排列的数：

，…，则这列数的第6个数是（　　）

A．B．C．D．

3．（黔东南州）观察规律：

1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2015的值

是1014049

．

4．（沈阳）有一组等式：

12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构

成规律，用你发现的规律写出第8个等式为82+92+722=732

．

5.（衡阳）观察下列按顺序排列的等式：

a1＝1−，a2＝，a3＝，a4＝，…，试猜

想第n个等式（n为正整数）：

an=．

6.（南宁）有这样一组数据a1，a2，a3，…an，满足以下规律：

a1＝，a2＝，a3＝，…，an＝（n≥2且n为正整数），则a2016的值为-1

（结果用数字表示）．

7.（广安）已知直线y=（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为Sn，则

S1+S2+S3+…+S2016=．

8.（大庆）已知，，，…

依据上述规律，计算+…的结果为。

9．将全体正整数排成一个三角形数阵：

       1

    2   3

   4   5   6

  7   8   9  10

……………

按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为 13

；第n行（n≥3）从左到右的第3

个数为．（用含n的代数式表示）

10．请看杨辉三角

（1），并观察下列等式

（2）：

根据前面各式的规律，则

考点二：

猜想图形规律

根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。

其中，以图形为载体的数字规律最为常见。

猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。

1．（牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有

小三角形的个数是3n+4

．

2．（娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需2n+1

根火柴棒．

3．（江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为

____________（用含n的代数式表示）．

4．（呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：

第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需____________根火柴．

5．（遂宁）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：

按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为6n+2

．

6．（深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有91

个正方形．

7.如图所示，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数为_______．

8.如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，那么图案3是由　　　　　　个组成的，依此，第n个图案是由　　　　　　个组成的．

9．（2015·重庆（B），8，3分）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，依此规律，图11中黑色正方形的个数是（　　）

A．32B．29C．28D．26

10．（2015·重庆（A），8，3分）下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为（　　）

A．21B．24C．27D．30

11.将图1的正方形作如下操作：

第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是　　　　　　．

12.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第

（1）个图案有4个三角形，第

（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n个图案有　　个三角形（用含n的代数式表示）

13．平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小菱形◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是____________个．

14.将一个面积为1的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形（如图1）后，继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如图2、图3）…如此进行挖下去，第4个图中，剩余图形的面积为________，那么第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为________（用含n的代数式表示）．

考点三:

几何图形计算变化规律

随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。

比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。

这种规律可以作为猜想的一个参考依据。

1.（张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2016=．

2．（黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为）n

．

3．（牡丹江）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是）n-1

．

4．（六盘水）把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为

，经过61次旋转后，顶点O经过的总

路程为．

5.如图，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）均在反比例函数（x>0）的图象上，若△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAnAn都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，AnAn都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是____________，点Pn的坐标是___________．（用含n的代数式表示）

6.二次函数的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An-1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3…=∠An-1BnAn=60°，菱形An-1BnAnCn的周长为．

7．（2015·浙江湖州，16，4分）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3，（如图所示），以此类推…，若A1C1＝2，过点A，D2，D3，…D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是________．

8.如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形，若＝，则正△ABC的边长是________．

9.设△ABC的面积为1，如图1将边BC，AC分别2等分，BE1，AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图2将边BC，AC分别3等分，BE1，AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依此类推，则Sn可表示为__________（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．

考点四：

坐标系和表格中的规律

1．（聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不

断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为_____________（用n表示）。

2．（抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是（-1，-1）、（0，2）、（2，0），点P在y轴上，且坐标为（0，-2）．点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，点P4关于点B的对称点为P5，点P5关于点C的对称点为P6，点P6关于点A的对称点为P7…，按此规律进行下去，则点P2016的坐标是_____________。

．

3.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据这个规律，第2016个点的坐标为____________．

4．（湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是___________。

5．（恩施州）把奇数列成下表，根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是____________。

6.如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…，An．将抛物线y=x2沿直线l：

y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：

①抛物线的顶点M1，M2，M3，…，Mn都在直线l：

y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3，…，An．则顶点M2016的坐标为（________，________）．

课后练习

考点一：

猜想数式规律

1．（2015·湖北黄冈中学自主招生）两列数如下：

7，10，13，16，19，22，25，28，31…

7，11，15，19，23，27，31，35，39…

第1个相同的数是7，第10个相同的数是（　　）

A．115B．127C．139D．151

2．（2015·浙江宁波）一列数b0