高中数学选修12课时作业1211 回归分析的基本思想及其初步应用.docx
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高中数学选修12课时作业1211回归分析的基本思想及其初步应用
§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
一、选择题
1．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：
万盒）的数据如下表所示：
x（月份）
1
2
3
4
5
y（万盒）
5
5
6
6
8
若x，y线性相关，线性回归方程为
＝0.7x＋
，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ）
A．8.0万盒B．8.1万盒
C．8.9万盒D．8.6万盒
考点 线性回归方程
题点 样本点中心的性质
[答案] B
[解析] 回归直线一定过样本点的中心．由已知数据可得
＝3，
＝6，代入线性回归方程，可得
＝
－0.7
＝3.9，即线性回归方程为
＝0.7x＋3.9.把x＝6代入，可近似得
＝8.1，故选B.
2．如图所示，由这两个散点图可以判断（ ）
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
考点 线性回归分析
题点 回归直线的概念
[答案] C
[解析] 图
（1）中的数据随着x的增大y减小，因此变量x与变量y负相关；
图
（2）中的数据随着u的增大v增大，因此u与v正相关．
3．已知变量x与y负相关，且由观测数据求得样本平均数
＝3，
＝3.5，则由该观测数据求得的线性回归方程可能是（ ）
A.
＝－2x＋9.5B.
＝2x－2.4
C.
＝－0.3x－4.4D.
＝0.4x＋2.3
考点 线性回归方程
题点 求线性回归方程
[答案] A
[解析] 因为变量x与y负相关，所以排除B，D，将样本平均数
＝3，
＝3.5代入选项验证可知，选项A符合题意．
4．对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据（xi，yi）（i＝1,2，…，8），其线性回归方程是
＝
x＋
，若x1＋x2＋x3＋…＋x8＝3，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝6，则实数
的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
考点 线性回归方程
题点 样本点中心的性质
[答案] D
[解析] 由x1＋x2＋x3＋…＋x8＝3，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝6可知样本点的中心为
，将该点坐标代入回归方程
＝
x＋
，得
＝
.
5．若对某地区人均工资x（万元）与该地区人均消费y（万元）进行调查统计得y与x具有线性相关关系，且线性回归方程为
＝0.7x＋2.1，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为（ ）
A．75%B．87.5%
C．70%D．10.5%
考点 线性回归方程
题点 线性回归方程的应用
[答案] B
[解析] y＝10.5时，由
＝0.7x＋2.1得x＝
＝12，
故得
×100%＝87.5%.
6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关试验用回归分析的方法分别求得相关系数r如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
则这四位同学的试验结果能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是（ ）
A．甲B．乙
C．丙D．丁
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的概念及计算
[答案] D
[解析] 由相关系数的意义可知，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，结合题意可知丁的线性相关性更强，故选D.
7．某化工厂为预测某产品的回收率y，而要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得
i＝52，
i＝228，
＝478，
iyi＝1849，则y与x的线性回归方程是（ ）
A.
＝11.47＋2.62x
B.
＝－11.47＋2.62x
C.
＝2.62＋11.47x
D.
＝11.47－2.62x
考点 线性回归方程
题点 求线性回归方程
[答案] A
[解析] 由题中数据得
＝6.5，
＝28.5，
∴
＝
＝
＝
≈2.62，
＝
－
≈28.5－2.62×6.5＝11.47，
∴y与x的线性回归方程是
＝2.62x＋11.47，故选A.
二、填空题
8．若一个样本的总偏差平方和为80，残差平方和为60，则相关指数R2为________．
考点 残差分析与相关指数
题点 残差及相关指数的运算
[答案] 0.25
[解析] R2＝1－
＝0.25.
9．已知样本数据点（xi，yi）（i＝1,2,3，…，n）在某一条直线上，则相关系数r的值为________．
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的概念及计算
[答案] ±1
[解析] 由题意知r＝±1.
10．关于随机误差产生的原因分析正确的有________．（填序号）
①用线性回归模型来近似真实模型所引起的误差；
②忽略某些因素的影响所产生的误差；
③对样本数据观测时产生的误差；
④计算错误所产生的误差．
考点 回归分析
题点 回归分析的概念和意义
[答案] ①②③
[解析] 理解线性回归模型y＝bx＋a＋e中随机误差e的含义是解决此问题的关键，随机误差可能由于观测工具及技术产生，也可能因忽略某些因素而产生，也可以是回归模型产生，但不是计算错误．故随机误差产生的原因分析正确的是①②③.
三、解答题
11．已知x，y之间的一组数据如下表：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
（1）分别计算：
，
，x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4，x
＋x
＋x
＋x
；
（2）已知变量x与y线性相关，求出回归方程．
考点 线性回归方程
题点 求线性回归方程
解
（1）
＝
＝1.5，
＝
＝4，
x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，
x
＋x
＋x
＋x
＝02＋12＋22＋32＝14.
（2）
＝
＝2，
＝
－
＝4－2×1.5＝1，
故
＝2x＋1.
12．某服装批发市场1－5月份的服装销售量x与利润y的统计数据如下表：
月份
1
2
3
4
5
销售量x（万件）
3
6
4
7
8
利润y（万元）
19
34
26
41
46
（1）从这五个月的利润中任选2个，分别记为m，n，求事件“m，n均不小于30”的概率；
（2）已知销售量x与利润y大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y关于x的线性回归方程
＝
x＋
；
（3）若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的．请用表格中第5个月的数据检验由
（2）中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想？
参考公式：
＝
，
＝
－
.
考点 线性回归分析
题点 回归直线的应用
解
（1）所有的基本事件为（19,34），（19,26），（19,41），（19,46），（34,26），（34,41），（34,46），（26,41），（26,46），（41,46），共10个．
记“m，n均不小于30”为事件A，则事件A包含的基本事件为（34,41），（34,46），（41,46），共3个．
所以P（A）＝
.
（2）由前4个月的数据可得，
＝5，
＝30，
iyi＝652，
＝110.
所以
＝
＝
＝5.2，
＝30－5.2×5＝4，
所以线性回归方程为
＝5.2x＋4，
（3）由题意得，当x＝8时，
＝45.6，|45.6－46|＝0.4<2；
所以利用
（2）中的回归方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的．
13．在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
求出y对x的线性回归方程，并说明拟合效果的程度．
考点 残差分析与相关指数
题点 残差及相关指数的应用
解
＝
（14＋16＋18＋20＋22）＝18，
＝
（12＋10＋7＋5＋3）＝7.4.
＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，
iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
可得回归系数
＝
＝
＝－1.15，
所以
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以线性回归方程为
＝－1.15x＋28.1.
列出残差表：
yi－
i
0
0.3
－0.4
－0.1
0.2
yi－
4.6
2.6
－0.4
－2.4
－4.4
则
（yi－
i）2＝0.3，
（yi－
）2＝53.2.
R2＝1－
≈0.994.
所以回归模型的拟合效果很好．
四、探究与拓展
14．某公司的广告费支出x（万元）与销售额y（万元）之间有下表所示的对应数据，由资料显示y对x呈线性相关关系，根据下表提供的数据得到回归方程
＝
x＋
中的
＝6.5，
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
预测销售额为115万元时，约需________万元广告费．
考点 线性回归分析
题点 回归直线的应用
[答案] 15
[解析] 因为
＝
×（2＋4＋5＋6＋8）＝5，
＝
×（30＋40＋60＋50＋70）＝50，
所以50＝6.5×5＋
，则
＝17.5，
所以当y＝115时，6.5x＝115－17.5，得x＝15，
即约需广告费为15万元．
15．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x（个）
2
3
4
5
加工的时间y（小时）
2.5
3
4
4.5
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求出y关于x的线性回归方程
＝
x＋
，并在坐标系中画出回归直线；
（3）试预测加工10个零件需要多少时间？
考点 线性回归方程
题点 求线性回归方程
解
（1）散点图如图．
（2）由表中数据得
iyi＝52.5，
＝3.5，
＝3.5，
＝54，
所以
＝
＝
＝0.7，
所以
＝
－
＝3.5－0.7×3.5＝1.05.
所以
＝0.7x＋1.05.
回归直线如图中所示．
（3）将x＝10代入线性回归方程，得
＝0.7×10＋1.05＝8.05，
所以预测加工10个零件需要8.05小时．
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