高中数学新人教版必修3教案第3章 322 整数值随机数random+numbers的产生 含答案.docx

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高中数学新人教版必修3教案第3章322整数值随机数random+numbers的产生含答案

3.2.2　（整数值）随机数（randomnumbers）的产生

1．了解随机数的意义.

2．会用模拟方法（包括计算器产生的随机数进行模拟）估计概率．（重点）

3．理解用模拟方法估计概率的实质．（难点）

[基础·初探]

教材整理1　随机数与伪随机数

阅读教材P130的内容，完成下列问题．

1．随机数

要产生1～n（n∈N*）之间的随机整数，把n个大小形状相同的小球分别标上1,2,3，…，n，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．

2．伪随机数

计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性（周期很长），它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．

教材整理2　整数值随机数的产生及应用

阅读教材P131～P132“例6”以上的部分，完成下列问题．

1．产生整数值随机数的方法

用计算器的随机函数RANDI（a，b）或计算机的随机函数RANDBETWEEN（a，b）可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数；也可用计算机中的Excel软件产生随机数．

用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法．

2．整数值的随机数的应用

利用计算器或计算机产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）随机模拟方法只适用于试验结果有限的试验．（　　）

（2）计算机或计算器产生的随机数是伪随机数，因此取得的概率不可信．（　　）

（3）随机数的抽取就是简单随机抽样．（　　）

【答案】　

（1）√　

（2）×　（3）√

2．用随机模拟方法得到的频率（　　）

A．大于概率　　　　　　B．小于概率

C．等于概率D．是概率的近似值

【解析】　用随机模拟方法得到的频率是概率的近似值．

【答案】　D

3．随机函数RANDBETWEEN（0,7）不可能产生的随机数是（　　）

A．0B．2

C．3D．9

【解析】　由随机函数RANDBETWEEN（a，b）的含义知，选D.

【答案】　D

4．从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率为________．

【解析】　所有子集共8个，∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，含两个元素的子集共3个，故所求概率为

.

【答案】　

[小组合作型]

随机数的产生方法

　产生10个在1～25之间的取整数值的随机数．

【精彩点拨】　用计算器的随机函数RAND（a，b）产生．

【尝试解答】　方法如下：

反复按ENTER键10次，就可以产生10个1～25之间的随机数．

1．产生随机数可以采用抽签法或用计算机（器）产生随机数．

2．利用计算机或计算器产生随机数时，需切实保证操作步骤与顺序的正确性．并且注意不同型号的计算器产生随机数的方法可能会不同，具体操作可参照其说明书．

[再练一题]

1．某校高一年级共20个班，1200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？

【解】　要把1200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成．

（1）按班级、学号顺序把学生档案输入计算机；

（2）用随机函数按顺序给每个学生一个随机数（每人都不相同）；

（3）使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1200名学生的考试号0001,0002，…，1200，然后0001～0030为第一考场，0031～0060为第二考场，依次类推．

用随机模拟估计概率

　某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，那么在连续三次投篮中，三次都投中的概率是多少？

【精彩点拨】　因为投篮的命中率为60%，所以要用0～9这10个数字中的6个数字代表投篮命中，另4个数字代表投篮不命中．又由于连续三次投篮，所以需要产生的随机数每3个一组．

【尝试解答】　我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以产生0到9之间的取整数值的随机数．

我们用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%.因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组．

例如：

产生20组随机数：

812　932　569　683　271

989　730　537　925　834

907　113　966　191　432

256　393　027　556　755

这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果3个数均在1,2,3,4,5,6中，则表示三次都投中，它们分别是113,432,256,556，即共有4组数，我们得到了三次投篮都投中的概率近似为

＝20%.

用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.我们可以从以下三方面考虑：

1当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；

2研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；

3当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.

[再练一题]

2．种植某种树苗，成活率是0.9.若种植该种树苗5棵，用随机模拟方法估计恰好4棵成活的概率．

【解】　利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9.因为种植5棵，所以每5个随机数作为一组，可产生30组随机数，如下所示：

69801　66097　77124　22961　74235　31516

29747　24945　57558　65258　74130　23224

37445　44344　33315　27120　21782　58555

61017　45241　44134　92201　70362　83005

94976　56173　34783　16624　30344　01117

这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为

＝0.3.

[探究共研型]

随机数的特征

探究1　通过随机数的特征来估计概率有什么优势？

【提示】　用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复．

探究2　哪些概率问题可以用随机模拟来估计概率？

【提示】　

（1）对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率．

（2）对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难于验证的概率问题，应考虑用随机模拟方法来估计概率．

　通过模拟试验，产生了20组随机数：

6830　3013　7055　7430　7740

4422　7884　2604　3346　0952

6807　9706　5774　5725　6576

5929　9768　6071　9138　6754

如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________．

【精彩点拨】　因四次射击中，恰有三次击中，所以要结合随机数每四个一组从左到右的数，找出满足条件数，进而估计概率．

【尝试解答】　表示三次击中目标分别为3013,2604,5725,6576,6754，共5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似值为

＝25%.

【答案】　25%

1．恰当设计

恰当设计随机数，弄清随机数代表的事件及代表所求事件的随机数组，如本例用1,2,3,4,5,6表示击中目标，用0,7,8,9表示没击中．

2．准确计算

要正确计算代表所求事件的随机数组的个数和总的随机数组的个数，正确利用概率公式计算出所求概率．如本例找出代表恰有三次击中目标的随机数组个数，即可求出概率．

[再练一题]

3．在用随机（整数）模拟求“有4个男生和5个女生，从中取4个，求选出2个男生2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是________．

【解析】　1～4代表男生，5～9代表女生，4678表示一男三女．

【答案】　选出的4个人中，只有1个男生

1．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度决定于（　　）

A．产生的随机数的大小

B．产生的随机数的个数

C．随机数对应的结果

D．产生随机数的方法

【解析】　随机数容量越大，概率越接近实际数．

【答案】　B

2．小明同学的QQ密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中的6个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是（　　）

A.

　　　B.

　　　C.

　　　D.

【解析】　只考虑最后一位数字即可，从0至9这10个数字中随机选择一个作为密码的最后一位数字有10种可能，选对只有一种可能，所以选对的概率是

.

【答案】　D

3．用计算机随机模拟掷骰子的试验，估计出现2点的概率，则下列步骤中不正确的是（　　）

A．用计算器的随机函数RANDI（1,7）或计算机的随机函数RANDBETWEEN（1,7）产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x，如果x＝2，我们认为出现2点

B．我们通常用计数器n记录做了多少次掷骰子试验，用计数器m记录其中有多少次出现2点，置n＝0，m＝0

C．出现2点，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变

D．程序结束，出现2点的频率

作为概率的近似值

【解析】　计算器的随机函数RANDI（1,7）或计算机的随机函数RANDBETWEEN（1,7）产生的是1到7之间的整数（包括1,7），共7个整数．

【答案】　A

4．抛掷一枚均匀的正方体骰子两次，用随机模拟方法估计朝上面的点数和为7的概率，共进行了两次试验，第一次产生了60组随机数，第二次产生了200组随机数，那么这两次估计的结果相比较，第________次准确.

【解析】　用随机模拟方法估计概率时，产生的随机数越大，估计的结果越准确，所以第二次比第一次准确．

【答案】　二

5．盒中有大小、形状相同的5只白球2只黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：

（1）任取一球，得到白球；

（2）任取三球，都是白球．

【解】　用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球．

（1）步骤：

①利用计算器或计算机产生1到7的整数随机数，每一个数一组，统计组数n；

②统计这n组数中小于6的组数m；

③任取一球，得到白球的概率估计值是

.

（2）步骤：

①利用计算器或计算机产生1到7的整数随机数，每三个数一组，统计组数n；

②统计这n组数中，每个数字均小于6的组数m；

③任取三球，都是白球的概率估计值是

.

学业分层测评（十九）　

（整数值）随机数（randomnumbers）的产生

（建议用时：

45分钟）

[学业达标]

一、选择题

1．下列不能产生随机数的是（　　）

A．抛掷骰子试验

B．抛硬币

C．计算器

D．正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5，抛掷该正方体

【解析】　D项中，出现2的概率为

，出现1,3,4,5的概率均是

，则D项不能产生随机数．

【答案】　D

2．某银行储蓄卡上的密码是一个6位数号码，每位上的数字可以在0～9这10个数字中选取．某人未记住密码的最后一位数字，如果随意按密码的最后一位数字，则正好按对密码的概率是（　　）

A.

　　　B.

C.

　　　D.

【解析】　只考虑最后一位数字即可，从0到9这10个数字中随机选一个的概率为

.

【答案】　D

3．袋子中有四个小球，分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“快”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：

先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：

13　24　12　32　43　14　24　32　31　21

23　13　32　21　24　42　13　32　21　34

据此估计，直到第二次就停止的概率为（　　）

A.

B.

C.

D.

【解析】　由随机模拟产生的随机数可知，直到第二次停止的有13,43,23,13,13共5个基本事件，故所求的概率为P＝

＝

.

【答案】　B

4．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐蓬，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是（　　）

A．一定不会淋雨B．淋雨机会为

C．淋雨机会为

D．淋雨机会为

【解析】　用A、B分别表示下雨和不下雨，用a、b表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），则当（A，b）发生时就会被雨淋到，∴淋雨的概率为P＝

.

【答案】　D

5．已知某运动员每次投篮命中的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：

先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示没有命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：

907　966　191　925　271　932　812　458　569　683　431　257　393　027　556　488　730　113　537　989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（　　）

A．0.35B．0.25

C．0,20D．0.15

【解析】　恰有两次命中的有191,271,932,812,393，共有5组，则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率近似为

＝0.25.

【答案】　B

二、填空题

6．抛掷两枚相同的骰子，用随机模拟方法估计向上面的点数和是6的倍数的概率时，用1,2,3,4,5,6分别表示向上的面的点数，用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个，每组第i个数组成一组，共组成60组数，其中有一组是16，这组数表示的结果是否满足向上面的点数和是6的倍数：

________.（填“是”或“否”）

【解析】　16表示第一枚骰子向上的点数是1，第二枚骰子向上的点数是6，则向上的面的点数和是1＋6＝7，不表示和是6的倍数．

【答案】　否

7．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：

先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．则他乘上上等车的概率为________．

【解析】　共有6种发车顺序：

①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中（其中画横线的表示袁先生所乘的车），所以他乘坐上等车的概率为

＝

.

【答案】　

8．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．

先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数．

034　743　738　636　964　736　614　698　637　162　332　616　804　560　111　410　959　774　246　762　428　114　572　042　533　237　322　707　360　751

据此估计乙获胜的概率为________．

【解析】　就相当于做了30次试验．如果6,7,8,9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707，共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为

≈0.367.

【答案】　0.367

三、解答题

9．一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球1个红球．现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取．试设计一个模拟试验，计算恰好第三次摸到红球的概率．

【解】　用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组．例如，产生20组随机数．

666　743　671　464　571

561　156　567　732　375

716　116　614　445　117

573　552　274　114　622

就相当于做了20次试验，在这组数中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7，就表示第一次、第二次摸的是白球，第三次恰好是红球，它们分别是567和117共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为

＝0.1.

10．一个学生在一次竞赛中要回答8道题是这样产生的：

从15道物理题中随机抽取3道；从20道化学题中随机抽取3道；从12道生物题中随机抽取2道．使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号（物理题的编号为1～15，化学题的编号为16～35，生物题的编号为36～47）．

【解】　利用计算器的随机函数RANDI（1,15）产生3个不同的1～15之间的整数随机数（如果有一个重复，则重新产生一个）；再利用计算器的随机函数RANDI（16,35）产生3个不同的16～35之间的整数随机数（如果有一个重复，则重新产生一个）；再用计算器的随机函数RANDI（36,47）产生2个不同的36～47之间的整数随机数（如果有一个重复，则重新产生一个），这样就得到8道题的序号．[能力提升]

1．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至多击中1次的概率：

先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：

5727　0293　7140　9857　0347

4373　8636　9647　1417　4698

0371　6233　2616　8045　6011

3661　9597　7424　6710　4281

据此估计，该射击运动员射击4次至多击中1次的概率为（　　）

A．0.95　　B．0.1　　

C．0.15　　D．0.05

【解析】　该射击运动员射击4次至多击中1次，故看这20组数据中含有0和1的个数多少，含有3个或3个以上的有：

6011，故所求概率为

＝0.05.

【答案】　D

2．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出两个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（　　）

A.

B.

C.

D.

【解析】　随机取出两个小球有（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共10种情况，和为3只有1种情况（1,2），和为6可以是（1,5），（2,4），共2种情况．所以P＝

.

【答案】　A

3．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是________．

【解析】　[a，b]中共有b－a＋1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是

.

【答案】　

4．一份测试题包括6道选择题，每题只有一个选项是正确的．如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．

【解】　我们通过设计模拟试验的方法来解决问题．利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数．我们用0表示猜的选项正确，1,2,3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%.因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组．例如，产生25组随机数：

330130　302220　133020　022011　313121　222330

231022　001003　213322　030032　100211　022210

231330　321202　031210　232111　210010　212020

230331　112000　102330　200313　303321　012033

321230

就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003,030032,210010,112000，即共有4组数，我们得到该同学6道选择题至少答对3道题的概率近似为

＝0.16.

（）