一次函数图像应用题路程类.docx
《一次函数图像应用题路程类.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《一次函数图像应用题路程类.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![一次函数图像应用题路程类.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-12/12/e821fb09-9408-44d1-ba84-bc133e5a4188/e821fb09-9408-44d1-ba84-bc133e5a41881.gif)
一次函数图像应用题路程类
二.解答题(共18小题)
1.小聪在学习时看到一则材料:
甲、乙两人去某风景区游玩,约好在飞瀑见面,早上,甲乘景区巴士从古刹出发,沿景区公路(如图1)去飞瀑;同时,乙骑电动自行车从塔林出发,沿景区公路去飞瀑.设两人行驶的时间为t(小时),两人之间相距的路程为s(千米),s与t之间的函数关系如图2所示,小聪观察、思考后发现了图2的部分正确信息:
①两人出发1小时后第一次相遇;②线段CD表示甲到达飞瀑后,乙正在赶往飞瀑途中时s随t的变化情况,…,请你应用相关知识,与小聪一起解决下列问题
(1)求乙骑电动自行车的速度;
(2)当甲、乙两人第一次相遇时,他们离飞瀑还有多少千米
(3)在行驶途中,当甲、乙两人之间相距的路程不超过1千米时,求t的取值范围.
【解答】解:
(1)由CD段可知,乙骑电动自行车的速度=
=20千米/小时.
(2)第一次相遇在B点,离飞瀑的距离为20×0.75=15千米.
(3)设甲的速度为x千米/小时,由BC段可知,0.5(x﹣20)=5,
∴x=30,
∴A(0,30),B(1,0),C(1.5,5),D(1.75,0),
∴直线AB的解析式为y=﹣30x+30,直线BC的解析式为y=10x﹣10,直线CD的解析式为y=﹣20x+35,
当y=1时,x的值分别为
h,
h,
h,
∴当甲、乙两人之间相距的路程不超过1千米时,t的取值范围为
≤t≤
或
≤t≤1.75.
2.甲、乙两人分别开汽车和摩托车从A地出发沿同一条公路匀速前往B地,乙出发半小时后甲出发,设乙行驶的时间t(h),甲、乙两人之间的距离为y(km),y与t之间关系的图象如图所示.
(1)分别指出点E,F所表示的实际意义;
(2)分别求出线段DE,FG所在直线的函数表达式;
(3)分别求甲、乙两人行驶的速度.
【解答】解:
(1)点E表示的实际意义是甲、乙两人在乙出发2小时时相遇,此时两人之间的距离为0,F所表示的实际意义乙出发5小时时甲到达B地,此时两人之间的距离为60km;
(2)设直线DE的函数表达式为y=kx+b,
把(0.5,30),(2,0)代入得
,
解得:
,
则直线DE的函数表达式为y=﹣20x+40,
设直线FG的函数表达式为y1=k1x+b1,把(5,60),(6,0)代入得
,
解得
,∴直线FG的函数表达式为y1=﹣60x+360;
(3)设甲的速度为v甲km/h,甲的速度为v乙km/h,
根据图象得
,解得:
,
答:
甲行驶的速度是80km/h,乙行驶的速度是60km/h.
3.小王骑车从甲地到乙地,小季骑车从乙地到甲地,两人同时出发,沿同一条公路匀速前进,小王的速度小于小李的速度,在出发2h时,两人相距36km,在出发4h时,两人又相距36km,设小王骑行的时间为x(h),两人之间的距离为y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系.
(1)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式;
(2)求甲、乙两地之间的距离.
【解答】解:
(1)∵出发2h时,两人相距36km,在出发4h时,两人又相距36km,
∴B(3,0),
设线段AB所表示的y与x之间的函数关系式为:
y=kx+b,
根据题意,得:
,
解得:
.
所以解析式为:
y=﹣36x+108;
(2)把x=0代入解析式,可得y=108,
所以甲、乙两地的距离为108千米.
4.甲从M地骑摩托车匀速前往N地,同时乙从N地沿同一条公路骑自行车匀速前往M地,甲到达N地后,原路原速返回,追上乙后返回到M地.设甲、乙与N地的距离分别为y1、y2千米,甲与乙之间的距离为s千米,设乙行走的时间为x小时.y1、y2与x之间的函数图象如图1.
(1)分别求出y1、y2与x的函数表达式;
(2)求s与x的函数表达式,并在图2中画出函数图象;
(3)当两人之间的距离不超过5千米时,能够用无线对讲机保持联系.并且规定:
持续联系时间不少于15分钟为有效联系时间.求当两人用无线对讲机保持有效联系时,x的取值范围.
【解答】解:
(1)由图1知摩托车的速度为:
=45(千米/小时),自行车的速度
=15(千米/小时),
∴点B的坐标为(2,0),点D的坐标为(4,90),
当0≤x≤2时,y1=90﹣45x,
当2≤x≤4时,y1=45x﹣90,
y2=15x,
(2)甲和乙在A点第一次相遇,时间t1=
=1.5小时,
甲和乙在C点第二次相遇,时间t2=
=3小时,.
当0≤x≤1.5时,s=y1﹣y2=﹣45x+90﹣15x=﹣60x+90,
∴x=1.5时,s=0,
当1.5≤x≤2时,s=y2﹣y1=15x﹣(﹣45x+90)=60x﹣90,
∴x=2时,s=30,
当2≤x≤3时,s=y2﹣y1=15x﹣(45x﹣90)=﹣30x+90,
∴x=3时,s=0,
当3
时,s=y1﹣y2=45x﹣90﹣15x=30x﹣90,
∴x=4时,s=30,
当4≤x≤6时,s=90﹣y2=90﹣15x,
∴x=6时,s=0,
故描出相应的点就可以补全图象.如图所示,
(3)∵0≤x≤1.5,s=﹣60x+90,s=5时,x=
,
1.5≤x≤2,s=﹣60x﹣90,s=5时,x=
,
2≤x≤3,s=﹣30x+90,s=5时,x=
,
3≤x≤4,s=30x﹣90,s=5时,x=
,
4≤x≤6,s=﹣1.5x+90,s=5时,x=
,
∴由图象知当两人距离不超过5千米时x的取值范围为:
≤x≤
,
≤x≤
,
≤x≤6,
60×(
﹣
)=10分钟,60×(
﹣
)=20分钟,60×(6﹣
)=20分钟.
∴当两人能够用无线对讲机保持有效联系时x的取值范围为:
≤x≤
,
≤x≤6.
5.在一条笔直的公路上有A、B两地,甲骑自行车从A地到B地;乙骑摩托车从B地到A地,到达A地后立即按原路返回,如图是甲、乙两人距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象,根据图象解答以下问题:
(1)写出A、B两地之间的距离;
(2)请问甲乙两人何时相遇;
(3)求出在9﹣18小时之间甲乙两人相距s与时间x的函数表达式.
【解答】解:
(1)由题意的AB两地相距360米;
(2)由图得,V甲=360÷18=20km/h,V乙=360÷9=40km/h,
则t=360÷(20+40)=6h;
(3)在9﹣18小时之间,甲乙两人分别与A的距离为S甲=20x,S乙=40(x﹣9)=40x﹣360,
则s=S甲﹣S乙=360﹣20x.
6.某森林公园从正门到侧门有一条公路供游客运动,甲徒步从正门出发匀速走向侧门,出发一段时间开始休息,休息了0.6小时后仍按原速继续行走.乙与甲同时出发,骑自行车从侧门匀速前往正门,到达正门后休息0.2小时,然后按原路原速匀速返回侧门.图中折线分别表示甲、乙到侧门的路程y(km)与甲出发时间x(h)之间的函数关系图象.根据图象信息解答下列问题.
(1)求甲在休息前到侧门的路程y(km)与出发时间x(h)之间的函数关系式.
(2)求甲、乙第一次相遇的时间.
(3)直接写出乙回到侧门时,甲到侧门的路程.
【解答】解:
(1)设甲在休息前到侧门的路程y(km)与出发时间x(h)之间的函数关系式为:
y=kx+b,
∵点(0,15)和点(1,10)在此函数的图象上,
∴
,
解得k=﹣5,b=15.
∴y=﹣5x+15.
即甲在休息前到侧门的路程y(km)与出发时间x(h)之间的函数关系式为:
y=﹣5x+15.
(2)设乙骑自行车从侧门匀速前往正门对应的函数关系式y=kx,
将(1,15)代入可得k=15,
∴乙骑自行车从侧门匀速前往正门对应的函数关系式y=15x,
∴
解得x=0.75.
即第一次相遇时间为0.75h.
(3)乙回到侧门时,甲到侧门的路程是7km.
设甲休息了0.6小时后仍按原速继续行走对应的函数解析式为:
y=kx+b.
将x=1.2代入y=﹣5x+15得,y=9.
∵点(1.8,9),(3.6,0)在y=kx+b上,
∴
,
解得k=﹣5,b=18.
∴y=﹣5x+18.
将x=2.2代入y=﹣5x+18,得y=7.
即乙回到侧门时,甲到侧门的路程是7km.
7.一列快车从甲地匀速驶往乙地,一列慢车从乙地匀速驶往甲地.设一辆车先出发xh后,另一辆车也开始行驶,两车之间的距离为ykm,图中的折线表示y与x之间的函数关系.根据图象解决以下问题:
(1)慢车的速度为 km/h,快车的速度为 km/h;
(2)求线段CD的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)求当x为多少时,两车之间的距离为300km.
【解答】解:
(1)(480﹣440)÷0.5=80km/h,
440÷(2.7﹣0.5)﹣80=120km/h,
所以,慢车速度为80km/h,
快车速度为120km/h;
故答案为:
80,120;
(2)快车到达乙地(出发了4小时快车慢车相距360KM时甲车到达乙地);
∵快车走完全程所需时间为480÷120=4(h),
∴点D的横坐标为4.5,
纵坐标为(80+120)×(4.5﹣2.7)=360,
即点D(4.5,360);
设CD的直线的解析式为:
y=kx+b,
可得:
,
解得:
,
解析式为y=200x﹣540(2.7≤x≤4.5);
(3)由题意,可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为300km.
即相遇前:
(80+120)×(x﹣0.5)=440﹣300,
解得x=1.2(h),
相遇后:
(80+120)×(x﹣2.7)=300,
解得x=4.2(h),
故x=1.2h或4.2h,两车之间的距离为300km.
8.已知A、B两地相距40km,甲、乙两人沿同一公路从A地出发到B地,甲骑摩托车,乙骑自行车,图中CD、OE分别表示甲、乙离开A地的路程y(km)与时间x(h)的函数关系的图象,结合图象解答下列问题.
(1)甲比乙晚出发 小时,乙的速度是 km/h;
(2)在甲出发后几小时,两人相遇
(3)甲到达B地后,原地休息0.5小时,从B地以原来的速度和路线返回A地,求甲在返回过程中与乙相距10km时,对应x的值.
【解答】解:
(1)由图象可得,
甲比乙晚出发1小时,乙的速度是:
20÷2=10km/h,
故答案为:
1,10;
(2)设甲出发x小时,两人相遇,
[40÷(2﹣1)]x=10(x+1),
解得,x=
,
即在甲出发
小时后,两人相遇;
(3)设OE所在直线的解析式为y=kx,
20=2k,得k=10,
∴OE所在直线的解析式为y=10x;
设甲车在返回时对应的函数解析式为y=ax+b,
则
,得
,
即甲车在返回时对应的函数解析式为y=﹣40x+140,
∴|﹣40x+140﹣10x|=10,
解得,
,x2=3,
即甲在返回过程中与乙相距10km时,对应x的值是
或3.
9.甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行,乙车比甲车先出发1小时,并以各自的速度匀速行驶,途经C地,甲车到达C地停留1小时,因有事按原路原速返回A地.乙车从B地直达A地,两车同时到达A地.甲、乙两车距各自出发地的路程y(千米)与甲车出发所用的时间x(小时)的关系如图,结合图象信息解答下列问题:
(1)乙车的速度是 千米/时,t= 小时;
(2)求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米.
【解答】解:
(1)根据图示,可得
乙车的速度是60千米/时,
甲车的速度是:
(360×2)÷(480÷60﹣1﹣1)
=720÷6
=120(千米/小时)
∴t=360÷120=3(小时).
(2)①当0≤x≤3时,设y=k1x,
把(3,360)代入,可得
3k1=360,
解得k1=120,
∴y=120x(0≤x≤3).
②当3<x≤4时,y=360.
③4<x≤7时,设y=k2x+b,
把(4,360)和(7,0)代入,可得
解得
∴y=﹣120x+840(4<x≤7).
(3)①(480﹣60﹣120)÷(120+60)+1
=300÷180+1
=
=
(小时)
②当甲车停留在C地时,
(480﹣360+120)÷60
=240÷60
=4(小时)
③两车都朝A地行驶时,
设乙车出发x小时后两车相距120千米,
则60x﹣[120(x﹣1)﹣360]=120,
所以480﹣60x=120,
所以60x=360,
解得x=6.
综上,可得
乙车出发
后两车相距120千米.
故答案为:
60、3.
10.甲船从A港出发顺流匀速驶向B港,行至某处,发现船上一救生圈不知何时落入水中,立刻原路返回,找到救生圈后,继续顺流驶向B港.乙船从B港出发逆流匀速驶向A港.已知救生圈漂流的速度和水流速度相同;甲、乙两船在静水中的速度相同.甲、乙两船到A港的距离y1、y2(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示.
(1)写出乙船在逆流中行驶的速度;
(2)求甲船在逆流中行驶的路程;
(3)求甲船到A港的距离y1与行驶时间x之间的函数关系式;
(4)求救生圈落入水中时,甲船到A港的距离.
【解答】解:
(1)乙船在逆流中行驶的速度为6km/h.(2分)
(2)甲船在逆流中行驶的路程为6×(2.5﹣2)=3(km).(4分)
(3)方法一:
设甲船顺流的速度为akm/h,
由图象得2a﹣3+(3.5﹣2.5)a=24,
解得a=9.(5分)
当0≤x≤2时,y1=9x,
当2≤x≤2.5时,设y1=﹣6x+b1,
把x=2,y1=18代入,得b1=30,
∴y1=﹣6x+30,
当2.5≤x≤3.5时,设y1=9x+b2,
把x=3.5,y1=24代入,得b2=﹣7.5,
∴y1=9x﹣7.5.(8分)
方法二:
设甲船顺流的速度为akm/h,
由图象得2a﹣3+(3.5﹣2.5)a=24,
解得a=9,(5分)
当0≤x≤2时,y1=9x,
令x=2,则y1=18,
当2≤x≤2.5时,y1=18﹣6(x﹣2),
即y1=﹣6x+30,
令x=2.5,则y1=15,
当2.5≤x≤3.5时,y1=15+9(x﹣2.5),
y1=9x﹣7.5.(8分)
(4)水流速度为(9﹣6)÷2=1.5(km/h),
设甲船从A港航行x小时救生圈掉落水中.
根据题意,得9(2﹣x)=1.5(2.5﹣x)+3,
解得x=1.5,
1.5×9=13.5,
即救生圈落水时甲船到A港的距离为13.5km.(10分)
参考公式:
船顺流航行的速度=船在静水中航行的速度+水流速度,船逆流航行的速度=船在静水中航行的速度﹣水流速度.
10.一条笔直的公路上依次有A、B、C三地,甲、乙两车同时从B地出发,匀速驶往C地.乙车直接驶往C地,甲车先到A地取一物件后立即调转方向追赶乙车(甲车取物件的时间忽略不计).已知两车间距离y(km)与甲车行驶时间x(h)的关系图象如图1所示.
(1)求两车的速度分别是多少
(2)填空:
A、C两地的距离是:
,图中的t=
(3)在图2中,画出两车离B地距离y(km)与各自行驶时间x(h)的关系图象,并求两车与B地距离相等时行驶的时间.
【解答】解:
(1)由直线1可得,出v甲+v乙=150①;由直线2得,v甲﹣v乙=30②,
结合①②可得:
v甲=90km/小时,v乙=60km/小时;
(2)由直线1、2得,乙运用3.5小时候到达C地,
故B、C之间的距离为:
v乙t=3.5×60=210km.
由图也可得:
甲用1小时从B到达A,故A、B之间的距离为v甲t=90×1=90km,
综上可得A、C之间的距离为:
AB+BC=300km;
甲需要先花1小时从B到达A,然后再花
=
小时从A到达C,
从而可得t=
+1=
;
(3)甲:
当0≤t≤1时,y=90x;
②当1<t≤2时,y=180﹣90x;
③当2<x≤
,y=90x﹣180;
乙:
y乙=60x.
由题意可得,当甲从A到B行驶的过程中会出现题意所述情况,
故可得:
90﹣90(t﹣1)=60t,
解得:
t=
小时.
答:
两车与B地距离相等时行驶的时间为1.2小时或
小时.