完整版八年级因式分解难题附答案及解析.docx
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完整版八年级因式分解难题附答案及解析
2017年05月21日数学（因式分解难题）2
一•填空题（共10小题）
1.已知x+y=10,xy=16,则x2y+xy2的值为.
2•两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分
解成2（x-1）（x-9）;另一位同学因看错了常数项分解成2（x-2）（x-4）,请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：
_.
3.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是.
4.分解因式：
4貳-4x-3=.
5.利用因式分解计算：
2022+202X196+982=.
6.AABC三边a,b,c满足a2+b2+c?
=ab+bc+ca，则△ABC的形状是.
7.计算：
12-22+32-42+52-62+…-1002+1012=.
8.定义运算b=（1-a）b,下面给出了关于这种运算的四个结论：
12★（-2）=3
2a^b=b^a
3若a+b=0,则（a^a）+（b^b）=2ab
4若a^b=0,则a=1或b=0.
其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）.
9.如果1+a+a2+a3=0,代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=.
10.若多项式x2-6x-b可化为（x+a）2-1,则b的值是.
二.解答题（共20小题）
11.已知n为整数，试说明（n+7）2-（n-3）2的值一定能被20整除.
12.因式分解：
4x2y-4xy+y.
13.因式分解
（1）a3-ab2
（2）（x-y）2+4xy.
14•先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：
若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值.
解：
Tm2+2mn+2n2-6n+9=0
•••m2+2mn+n2+n2-6n+9=0
/•（m+n）2+（n-3）2=0
•m+n=0,n—3=0
•m=—3,n=3
问题：
（1）若x2+2『-2xy+4y+4=0,求Xy的值.
（2）已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足a2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0,请问△ABC是怎样形状的三角形？
15.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为和谐数”如4=22-02,12=42-22,20=62-42，因此4,12,20这三个数都是和谐数.
（1）36和2016这两个数是和谐数吗？
为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？
为什么？
（3）介于1到200之间的所有和谐数”之和为.
16.如图1,有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片.
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（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式.
（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34,求长方形②的面积.
（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，
把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求
可以拼成多少种边长不同的正方形.
17.
（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片
拼成一个新的长方形，如图2.
1用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积;
2由此，你可以得出的一个等式为：
（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.
1请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；
2请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图.
18.已知a+b=1，ab=-1，设S1=a+b，S2=a2+b2，S3=a3+b3，…，Sn=an+bn
（1）计算s；
（2）请阅读下面计算S3的过程:
ai-b'二乍"十F+（站g-hp十&召一盘为
=（护+扩＜0+（扩+a③-府白+应为
=（白’+盼"+（/4扌0-4地+曲
二S+如+巧一□糾»
因为a+b=1,ab=-1,
所以S3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）—ab（a+b）=1xS2-（-1）=S2+1=
你读懂了吗？
请你先填空完成
（2）中S3的计算结果，再用你学到的方法计算
S4.
（3）试写出Sn-2,Sn-1,Sn三者之间的关系式；
（4）根据（3）得出的结论，计算S6.
19.
（1）利用因式分解简算:
9.82+0.4X9.8+0.04
（2）分解因式：
4a（a-1）2-（1-a）
20.阅读材料：
若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m、n的值.
解：
Tm2-2mn+2n2-8n+16=0,二（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）=0
■'■（m-n）2+（n-4）2=0,a（m-n）2=0,（n-4）2=0,二n=4,m=4.根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求x-y的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足石+b2-6a-8b+25=0,求厶ABC的最大边c的值.
（3）已知a-b=4,ab+c2-6c+13=0,则a-b+c=.
21.仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：
已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值.
解：
设另一个因式为（x+n）,得x2-4x+m=（x+3）（x+n），则x2-4x+m=W+（n+3）x+3n
n+3=—4
m=3n解得：
n=-7,m=—21
•另一个因式为（x—7）,m的值为-21.
问题：
（1）若二次三项式x2-5x+6可分解为（x-2）（x+a）,贝Ua=;
（2）若二次三项式2x2+bx-5可分解为（2x-1）（x+5）,则b=;
（3）仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是
（2x-3），求另一个因式以及k的值.
22•分解因式:
（1）2x2-x;
（2）16x2-1;
（3）6xy2-9x2y-y3;
（4）4+12（x-y）+9（x-y）2.
23.已知a,b,c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2）,试确定三角形的形状.
24.分解因式
（1）2（-4x2y2+2y4
（2）2a3-4a2b+2ab2.
25.图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.
（1）图②中的阴影部分的面积为—;
（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m-n）2、mn之间的等量关
系是.
（3）若x+y=7,xy=10,则（x—y）2=.
（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.
如图③，它表示了.
（5）
试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2.
26.已知a、b、c满足a—b=8,ab+c2+16=0,求2a+b+c的值.
27.已知：
一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足
a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,
求：
这个长方体的体积.
28.（x2—4x）2—2（x2—4x）—15.
29.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题:
1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是—，共应用了—次.
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+-+x（x+1）2004,则需应用上述方法次，
结果是.
（3）分解因式：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2+-+x（x+1）n（n为正整数）.
30.对于多项式x3—5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3
—5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x-2）（注：
把x=a代入多项
式能使多项式的值为0,则多项式含有因式（X-a））,于是我们可以把多项式
写成：
x3-5x2+x+10=（x-2）（x2+mx+n），
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3-2x2-13x
-10的因式．
2017年05月21日数学（因式分解难题）2
参考答案与试题解析
一•填空题（共10小题）
1.（2016秋？
望谟县期末）已知x+y=10,xy=16,则x2y+xy2的值为160.
【分析】首先提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.
【解答】解：
•••x+y=10,xy=16,
•••x2y+xy2=xy（x+y）=10X16=160.
故答案为：
160.
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.
2.（2016秋？
新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x-1）（x-9）;另一位同学因看错了常数项分解成2（x-2）（x-4）,请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：
2（x
-3）2.
【分析】根据多项式的乘法将2（x-1）（x-9）展开得到二次项、常数项；将2（x-2）（x-4）展开得到二次项、一次项.从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式.
【解答】解：
：
2（x-1）（x-9）=2乂-20x+18;
2（x-2）（x-4）=2^-12x+16;
•原多项式为2x2-12x+18.
2/-12x+18=2（x2-6x+9）=2（x-3）2.
【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键.二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次
项正确.
3.（2015春？
昌邑市期末）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是土4.
【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（a-b）2+4ab、（a-b）2=（a+b）2-4ab计算即可.
【解答】解：
•••x2+mx+4=（x±2）2,
即x2+mx+4=W土4x+4,
•••m=±4.
故答案为：
土4.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键.
4.（2015秋？
利川市期末）分解因式：
4/-4x-3=（2x-3）（2x+1）.
【分析】ax2+bx+c（a^0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数ai,a2的积ai?
a2，把常数项c分解成两个因数ci,C2的积ci?
C2,并使aiC2+a2Ci正好是一次项b，那么可以直接写成结果：
ax2+bx+c=
（aix+ci）（a2x+c2）,进而得出答案.
【解答】解：
4x2-4x-3=（2x-3）（2x+i）.
故答案为：
（2x-3）（2x+i）.
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键.
5.（20i5春？
东阳市期末）利用因式分解计算：
2022+202Xi96+982=90000.
【分析】通过观察，显然符合完全平方公式.
【解答】解：
原式=2022+2x202x98+982
=（202+98）2
=300=90000.
【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值.
6.（2015秋？
浮梁县校级期末）△ABC三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca,则厶ABC的形状是等边三角形.
【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2,再化简得（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0,得出：
a=b=c,即选出答案.
【解答】解：
等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：
2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,
即a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0,
即（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0,
解得：
a=b=c,
所以，△ABC是等边三角形.
故答案为：
等边三角形.
【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c,由三边相等判定厶ABC是等边三角形.
7.（2015秋？
鄂托克旗校级期末）计算：
12-22+32-42+52-62+…-1002+1012=
5151.
【分析】通过观察，原式变为1+（32-22）+（52-42）+（1012-1002）,进一步运用高斯求和公式即可解决.
【解答】解：
12-22+32-42+52-62+…-1002+1012
=1+（32-22）+（52-42）+（1012-1002）
=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+••+（101+100）
=（1+101）X101-2
=5151.
故答案为：
5151.
【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题.
8.（2015秋？
乐至县期末）定义运算a^b=（1-a）b,下面给出了关于这种运算的四个结论：
12★（-2）=3
2a^b=b^a
3若a+b=0,则（a^a）+（b^b）=2ab
4若a^b=0,则a=1或b=0.
其中正确结论的序号是③④（填上你认为正确的所有结论的序号）.
【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断.
【解答】解：
①2★（-2）=（1-2）X（-2）=2,本选项错误；
2a^b=（1-a）b,b^a=（1-b）a,故a^b不一定等于b^a,本选项错误；
3若a+b=0，贝U（a^a）+（b★b）=（1-a）a+（1-b）b=a-a2+b-b2=-a2-b2=-2a2=2ab,本选项正确；
4若a^b=0,即（1-a）b=0,则a=1或b=0,本选项正确，
其中正确的有③④.
故答案为③④.
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.
9.（2015春？
张掖校级期末）如果1+a+a2+a3=0,代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=
0.
【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可.
【解答】解：
I1+a+a2+a3=0,
二a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8,
=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3）,
=0+0,
=0.
故答案是：
0.
【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题.
10.（2015春？
昆山市期末）若多项式X2-6x-b可化为（x+a）2-1,贝Ub的
值是-8.
【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可.
【解答】解：
Tx2-6x-b=（x-3）2-9-b=（x+a）2-1,
二a=-3,-9-b=-1,
解得：
a=-3,b=-8.
故答案为：
-8.
【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键.
二.解答题（共20小题）
11.已知n为整数，试说明（n+7）2-（n-3）2的值一定能被20整除.
【分析】用平方差公式展开（n+7）2-（n-3）2,看因式中有没有20即可.
【解答】解：
（n+7）2-（n-3）2=（n+7+n-3）（n+7-n+3）=20（n+2）,•••（n+7）2-（n-3）2的值一定能被20整除.
【点评】主要考查利用平方差公式分解因式.公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）.
12.（2016秋？
农安县校级期末）因式分解：
4x2y-4xy+y.
【分析】先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
【解答】解：
4x2y-4xy+y
=y（4x2-4x+1）
=y（2x-1）2.
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
13.（2015秋?
成都校级期末）因式分解
（1）a3-ab2
（2）（x-y）2+4xy.
【分析】
（1）原式提取a,再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式分解即可.
【解答】解：
（1）原式=a（a2-b2）=a（a+b）（a-b）；
（2）原式=x2-2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2.
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
14.（2015春?
甘肃校级期末）先阅读下面的内容,再解决问题,
例题：
若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值.
解：
Tm2+2mn+2n2-6n+9=0
•••m2+2mn+n2+n2-6n+9=0
/•（m+n）2+（n-3）2=0
m+n=0,n—3=0
m=—3,n=3
问题：
（1）若x2+2y2—2xy+4y+4=0,求X的值.
（2）已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足孑+b2-6a—6b+18+|3—c|=0,请问△ABC是怎样形状的三角形？
【分析】
（1）首先把x2+2y2—2xy+4y+4=0,配方得到（x—y）2+（y+2）2=0,再根据非负数的性质得到x=y=—2,代入求得数值即可；
（2）先把a^b2-6a—6b+18+|3—c|=0,配方得到（a—3）2+（b—3）2+|3—c|=0,根据非负数的性质得到a=b=c=3,得出三角形的形状即可.
【解答】解：
（1）•••x2+2y2—2xy+4y+4=0
•x2+y2—2xy+y2+4y+4=0,
•（x—y）2+（y+2）2=0
•x=y=-2
（2a2+b2—6a—6b+18+|3—c|=0,
•a2-6a+9+b2—6b+9+|3—c|=0,
••（a—3）2+（b—3）2+|3—c|=0
•a=b=c=3
•三角形ABC是等边三角形.
【点评】此题考查了配方法的应用：
通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题.
15.（2015秋？
太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为和谐数”如4=22-02,12=军-22,20=62-42,因此4,12,20这三个数都是和谐数.
（1）36和2016这两个数是和谐数吗？
为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？
为什么？
（3）介于1到200之间的所有和谐数”之和为2500.
【分析】
（1）利用36=1俨-82;2016=5052-5032说明36是和谐数”2016不是和谐数”
（2）设两个连续偶数为2n,2n+2（n为自然数）,则和谐数”（2n+2）2-（2n）
2,利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+2-2n）=4（2n+1）,然后利用整除性可说明和谐数”一定是4的倍数；
（3）介于1到200之间的所有和谐数”中，最小的为：
22-02=4,最大的为：
502-482=196，将它们全部列出不难求出他们的和.
【解答】解：
（1）36是和谐数”2016不是和谐数”理由如下：
36=10^-82;2016=5052-5032;
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），
•••（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）
=（4k+2）x2
=4（2k+1）,
•••4（2k+1）能被4整除，
•••和谐数”一定是4的倍数；
（3）介于1到200之间的所有和谐数”之和，
S=（22-02）+（42-22）+（62-42）+••+（502-482）=50^=2500.
故答案是：
2500.
【点评】本题考查了因式分解的应用：
利用因式分解把所求的代数式进行变形,从而达到使计算简化.
16.（2015春?
兴化市校级期末）如图1,有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片.
圍1圉2
（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式.
（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34,求长方形②的面积.
（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，
把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求
可以拼成多少种边长不同的正方形.
【分析】
（1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；
（2）由长方形②的周长为34,得出a+b=17，由题意可知：
小正方形①与大正方形③的面积之和为a2+b2=169,将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从而可求得长方形②的面积；
（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）由完全平方公式
可知：
（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2.因为现有三种纸片各8张，
n2<8,m2<8,2mnw8（n、m为正整数）从而可知nW2,m<2,从而可得出答案.
•••a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）;
（2长方形②的周长为34,
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