完整版八年级因式分解难题附答案及解析.docx

1、完整版八年级因式分解难题附答案及解析2017年05月21日数学(因式分解难题)2一填空题(共10小题)1 .已知 x+y=10, xy=16,则 x2y+xy2 的值为 .2两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2 (x- 1) (x-9);另一位同学因看错了常数项分解成 2 (x-2) (x- 4), 请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：_ .3.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则 m的值是 .4.分解因式：4貳-4x- 3= .5. 利用因式分解计算：2022+202X 196+982= .6. AABC三边 a, b, c满足 a2+b2

2、+c?=ab+bc+ca，则 ABC的形状是 .7 .计算：12 - 22+32 - 42+52 - 62+-1002+1012= .8. 定义运算b= (1-a) b,下面给出了关于这种运算的四个结论：12 (- 2) =32a b=b a3若 a+b=0,则(a a) + (b b) =2ab4若 a b=0,则 a=1 或 b=0.其中正确结论的序号是 (填上你认为正确的所有结论的序号).9. 如果 1+a+a2+a3=0,代数式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= .10.若多项式x2-6x- b可化为(x+a) 2- 1,则b的值是 .二.解答题(共20小题)11.已知n

3、为整数，试说明(n+7) 2-(n -3) 2的值一定能被20整除.12.因式分解：4x2y - 4xy+y .13.因式分解(1)a3- ab2(2)(x-y) 2+4xy.14先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2+2mn+2n2- 6n+9=0,求 m 和 n 的值.解：T m2+2mn+2n2 - 6n+9=0 m2+2mn +n2+n2- 6n+9=0/( m+ n) 2+ (n - 3) 2=0m+n=0, n 3=0m= 3, n=3问题：(1 )若 x2+2-2xy+4y+4=0,求 Xy 的值.(2)已知 ABC的三边长a, b, c都是正整数，且满足 a2+b2- 6

4、a- 6b+18+|3 -c| =0,请问 ABC是怎样形状的三角形？15. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差， 那么称这个正整数为 和 谐数”如4=22- 02, 12=42 - 22, 20=62 - 42，因此4, 12, 20这三个数都是和 谐数.(1)36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k (其中k取非负整数)，由这两个连续偶数 构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？(3) 介于1到200之间的所有 和谐数”之和为 .16.如图1,有若干张边长为a的小正方形、长为b宽为a的长方形以及 边长为b的大正方形的纸片.:1b111 111 111

5、 111 111 11i1i iiaHI郅(1)如果现有小正方形1张，大正方形2张，长方形3张，请你将它们 拼成一个大长方形 (在图2虚线框中画出图形)，并运用面积之间的关系，将 多项式a2+3ab+2b2分解因式.(2)已知小正方形与大正方形的面积之和为 169，长方形的周长为34, 求长方形的面积.(3)现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接) ，求可以拼成多少种边长不同的正方形.17.(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.1用两种不同的方法，计算

6、图2中长方形的面积;2由此，你可以得出的一个等式为： (2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3所示.1请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；2请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图.18 .已知 a+b=1，ab=- 1，设 S1 =a+b， S2=a2+b2，S3=a3+b3，Sn=an+bn(1)计算s ；(2)请阅读下面计算S3的过程:a i-b二乍十F +(站g-hp 十&召一盘为=(护+扩0+(扩+a-府白+应为=(白 +盼+(/ 4扌0-4地+曲二S+如+巧一糾因为 a+b=1, ab=- 1,所以 S3=a3+b3= (a+b) (

7、a2+b2) ab (a+b) =1 x S2 -( - 1) =S2+1= 你读懂了吗？请你先填空完成(2)中S3的计算结果，再用你学到的方法计算S4.(3 )试写出Sn-2, Sn-1, Sn三者之间的关系式；(4)根据(3)得出的结论，计算S6.19.(1)利用因式分解简算:9.82+0.4X 9.8+0.04(2)分解因式：4a (a- 1) 2-( 1 - a)20.阅读材料：若 m2-2mn+2n2 - 8n+16=0,求 m、n 的值.解：T m2- 2mn+2n2 - 8n +16=0,二(m2 - 2mn+n2) + (n2 - 8n+16) =0( m - n) 2+ (n

8、- 4) 2=0,a( m - n) 2=0, (n- 4) 2=0,二 n=4, m=4. 根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0, 求 x-y 的值.(2)已知 ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 石+b2-6a- 8b+25=0, 求厶ABC的最大边c的值.(3)已知 a - b=4, ab+c2- 6c+13=0,则 a - b+c= .21.仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及 m 的值.解：设另一个因式为(x+n),得 x2- 4x+m= (x+3) (x+n)，则 x2

9、 - 4x+m=W+ (n+3) x+3nn+3= 4m=3n 解得：n= - 7, m= 21另一个因式为(x 7), m的值为-21 .问题：(1)若二次三项式x2- 5x+6可分解为(x- 2) (x+a),贝U a= ;(2)若二次三项式2x2+bx - 5可分解为(2x- 1) (x+5),则b= ;(3) 仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式 2x2+5x- k有一个因式是(2x-3)，求另一个因式以及k的值.22 分解因式:(1)2x2- x;(2)16x2- 1;(3)6xy2 - 9x2y - y3;(4)4+12 (x- y) +9 (x-y) 2.23.已知a, b,

10、 c是三角形的三边，且满足(a+b+c) 2=3 (a2+b2+c2),试确定 三角形的形状.24.分解因式(1)2(- 4x2y2+2y4(2)2a3 - 4a2b+2ab2.25.图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四 块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形.(1)图中的阴影部分的面积为 ;(2)观察图请你写出三个代数式(m+n) 2、(m - n) 2、mn之间的等量关系是 .(3) 若 x+y=7, xy=10,则(x y) 2= .(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图，它表示了 .(5) 试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+ n)

11、(m+3n) =m2+4mn+3n2.26.已知 a、b、c满足 a b=8, ab+c2+16=0,求 2a+b+c 的值.27 .已知：一 个长 方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,求：这个长方体的体积.28.(x2 4x) 2 2 (x2 4x) 15.29.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题:1+x+x (x+1) +x (x+1) 2 =(1+x) 1 +x+x (x+1)=(1+x) 2 (1+x)=(1+x) 3(1 )上述分解因式的方法是 ，共应用了次.(2) 若分解 1+x+x (x+1 ) +x (x+1 )

12、 2+-+x (x+1 ) 2004,则需应用上述方法 次，结果是 .(3)分解因式：1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+-+x (x+1) n (n 为正整数).30.对于多项式x3 5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x35x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式(x- 2)(注：把x=a代入多项 式能使多项式的值为0,则多项式含有因式（X- a）,于是我们可以把多项式写成：x3 - 5x2+x+10=（x- 2） （x2+mx+n），（1 ）求式子中 m、n 的值； （2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式 x3- 2x2- 13x-

13、 10 的因式2017年05月21日数学(因式分解难题)2参考答案与试题解析一填空题(共10小题)1.( 2016秋？望谟县期末)已知x+y=10, xy=16,则x2y+xy2的值为 160 .【分析】首先提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.【解答】解： x+y=10, xy=16, x2y+xy2=xy (x+y) =10X 16=160.故答案为：160.【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.2.(2016秋？新宾县期末)两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因 看错了一次项系数而分解成2 (x- 1) (x-9);另一位同学因看错了常数项分 解成

14、2 (x-2) (x-4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来： 2 (x-3) 2 .【分析】根据多项式的乘法将 2 (x- 1) (x-9)展开得到二次项、常数项； 将2 (x-2) (x-4)展开得到二次项、一次项.从而得到原多项式，再对该 多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式.【解答】 解：2 (x- 1) (x-9) =2乂 - 20x+18;2 (x- 2) (x-4) =2- 12x+16;原多项式为2x2- 12x+18 .2/- 12x+18=2 (x2- 6x+9) =2 (x-3) 2.【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键. 二次三项式分解因式，

15、看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确.3.(2015春？昌邑市期末)若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则 m的值是 土 4 .【分析】利用完全平方公式(a+b) 2= (a- b) 2+4ab、(a- b) 2= (a+b) 2- 4ab 计算即可.【解答】解： x2+mx+4= (x 2) 2,即 x2+mx+4=W 土 4x+4, m= 4.故答案为：土 4.【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式 是解题关键.4.(2015 秋？利川市期末)分解因式：4/- 4x- 3= (2x- 3) (2x+1).【分析

16、】ax2+bx+c (a0)型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项 系数a分解成两个因数ai, a2的积ai?a2，把常数项c分解成两个因数ci, C2 的积ci?C2,并使aiC2+a2Ci正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(aix+ci) (a2x+c2),进而得出答案.【解答】解：4x2- 4x- 3= (2x- 3) (2x+i).故答案为：(2x- 3) (2x+i).【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键.5 . (20i5春？东阳市期末)利用因式分解计算：2022+202X i96+982= 90000 .【分析】通过观察

17、，显然符合完全平方公式.【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=(202+98) 2=300 =90000.【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值.6.(2015秋？浮梁县校级期末) ABC三边a, b, c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca, 则厶ABC的形状是 等边三角形 .【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以 2,再化简得(a- b) 2+ (a -c) 2+ (b - c) 2=0,得出：a=b=c,即选出答案.【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得： 2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,即 a2 - 2ab+b2

18、+a2 - 2ac+c2+b2 - 2bc+c2=0,即(a - b) 2+ (a- c) 2+ (b - c) 2=0,解得：a=b=c,所以， ABC是等边三角形.故答案为：等边三角形.【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得 a=b=c,由三边相等判定厶ABC是等边三角形.7.(2015 秋？鄂托克旗校级期末)计算：12- 22+32- 42+52- 62+-1002+1012=5151 .【分析】通过观察，原式变为1+ (32 - 22) + (52 - 42) + (1012 - 1002),进一 步运用高斯求和公式即可解决.【解答】解：12- 22+32

19、- 42+52 - 62+-1002+1012=1+ (32 - 22) + (52 - 42) + ( 1012 - 1002)=1+ (3+2) + (5+4) + (7+6) + (101+100)=(1+101)X 101-2=5151.故答案为：5151.【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题.8.(2015秋？乐至县期末)定义运算ab= (1 - a) b,下面给出了关于这种运 算的四个结论：12 (- 2) =32a b=b a3若 a+b=0,则(a a) + (b b) =2ab4若 a b=0,则 a=1 或 b=0.其中正确结论的序号是 (填

20、上你认为正确的所有结论的序号).【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断.【解答】解：2 (-2) = (1 - 2)X(- 2) =2,本选项错误；2ab= (1 - a) b, ba= (1 - b) a,故ab不一定等于ba,本选项错误；3若 a+b=0，贝U( aa) + (b b) = (1 - a) a+ (1 - b) b=a- a2+b- b2=- a2 -b2= - 2a2=2ab,本选项正确；4若a b=0,即(1 - a) b=0,则a=1或b=0,本选项正确，其中正确的有.故答案为.【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新 定义是解

21、本题的关键.9.（2015 春？张掖校级期末）如果 1 +a+a2+a3=0,代数式 a+a2+a3+a4+a5 +a6+a7+a8=0 .【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可.【解答】解：I 1+a+a2+a3=0,二 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7 +a8,=a (1 +a+a2+a3) +a5 (1 +a+a2+a3),=0+0,=0.故答案是：0.【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题.10.(2015春？昆山市期末)若多项式X2-6x-b可化为(x+a) 2- 1,贝U b的值是 -8 .【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可

22、.【解答】 解：T x2 - 6x- b= (x- 3) 2 - 9- b= (x+a) 2- 1,二 a=- 3,- 9- b= - 1,解得：a=- 3, b= - 8.故答案为：-8.【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键.二.解答题(共20小题)11.已知n为整数，试说明(n+7) 2-(n -3) 2的值一定能被20整除.【分析】用平方差公式展开(n+7) 2-(n -3) 2,看因式中有没有20即可.【解答】 解：(n +7) 2-(n-3) 2= (n +7+n-3) (n +7- n+3) =20 (n+2), (n +7) 2-(n- 3) 2的值一定

23、能被20整除.【点评】主要考查利用平方差公式分解因式.公式： a2- b2= (a+b) (a- b).12.(2016秋？农安县校级期末)因式分解：4x2y- 4xy+y.【分析】先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【解答】 解： 4x2y- 4xy+y=y( 4x2- 4x+1 )=y(2x- 1) 2.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解, 一个多项式有公因 式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底, 直到不能分解为止.13.(2015秋?成都校级期末)因式分解( 1 ) a3- ab2(2)(x- y) 2+4xy.【分析】

24、(1)原式提取a,再利用平方差公式分解即可；( 2)原式利用完全平方公式分解即可.【解答】解：(1)原式=a (a2 - b2) =a (a+b) (a- b)；( 2)原式 =x2- 2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=( x+y) 2.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用, 熟练掌握因式分解的方 法是解本题的关键.14.(2015 春?甘肃校级期末)先阅读下面的内容,再解决问题,例题：若 m2+2mn+2n2- 6n+9=0,求 m 和 n 的值.解：T m2+2mn+2n2 - 6n+9=0 m2+2mn +n2+n2- 6n+9=0/( m+ n) 2+ (n - 3)

25、 2=0m+n=0, n 3=0m= 3, n=3问题：(1)若 x2+2y2 2xy+4y+4=0,求 X 的值.(2)已知 ABC的三边长a, b, c都是正整数，且满足 孑+b2-6a 6b+18+|3 c| =0,请问 ABC是怎样形状的三角形？【分析】(1)首先把 x2+2y2 2xy+4y+4=0,配方得到(x y) 2+ (y+2) 2=0, 再根据非负数的性质得到x=y= 2,代入求得数值即可；(2)先把 ab2- 6a 6b+18+|3 c| =0,配方得到(a 3) 2+ (b 3) 2+| 3 c| =0,根据非负数的性质得到a=b=c=3,得出三角形的形状即可.【解答】

26、解：(1 ) x2+2y2 2xy+4y+4=0x2+y2 2xy+y2+4y+4=0,( x y) 2+ (y+2) 2=0x=y=- 2(2a2+b2 6a 6b+18+| 3 c| =0,a2 - 6a+9+b2 6b+9+| 3 c| =0,( a 3) 2+ (b 3) 2+| 3 c| =0a=b=c=3三角形ABC是等边三角形.【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数 的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系， 建立方程求得数值解 决问题.15.(2015秋？太和县期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差, 那么称这个正整数为 和谐数”

27、如4=22 - 02, 12=军-22, 20=62 - 42,因此4, 12, 20这三个数都是和谐数.(1)36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k (其中k取非负整数)，由这两个连续偶数 构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？(3)介于1到200之间的所有 和谐数”之和为 2500 .【分析】(1)利用36=1俨-82; 2016=5052 - 5032说明36是 和谐数” 2016 不是和谐数”(2)设两个连续偶数为2n, 2n+2(n为自然数),则和谐数”(2n +2) 2- (2n)2,利用平方差公式展开得到(2n+2+2n) (2n+2-2n)

28、=4(2n+1),然后利用整 除性可说明 和谐数”一定是4的倍数；(3) 介于1到200之间的所有 和谐数”中，最小的为：22 - 02=4,最大的为： 502 - 482=196，将它们全部列出不难求出他们的和.【解答】解：(1) 36是 和谐数” 2016不是 和谐数”理由如下：36=10- 82; 2016=5052 - 5032;(2)设两个连续偶数为2k+2和2k (n为自然数)，(2k+2) 2-(2k) 2= (2k+2+2k) (2k+2- 2k)=(4k+2)x 2=4 (2k+1), 4 (2k+1)能被4整除，和谐数”一定是4的倍数；(3)介于1到200之间的所有 和谐数

29、”之和，S= (22 - 02) + (42 - 22) + (62 - 42) + (502 - 482) =50=2500.故答案是：2500.【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形, 从而达到使计算简化.16.（2015春?兴化市校级期末）如图1,有若干张边长为a的小正方形、长 为b宽为a的长方形以及边长为b的大正方形的纸片.圍1 圉2（1） 如果现有小正方形1张，大正方形2张，长方形3张，请你将它们 拼成一个大长方形 （在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将 多项式a2+3ab+2b2分解因式.（2） 已知小正方形与大正方形的面积之和为 169

30、，长方形的周长为34, 求长方形的面积.（3） 现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接） ，求可以拼成多少种边长不同的正方形.【分析】（1）根据小正方形1张，大正方形2张，长方形3张，直接画 出图形，利用图形分解因式即可；（2） 由长方形的周长为34,得出a+b=17，由题意可知：小正方形与大正 方形的面积之和为a2+b2=169,将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从 而可求得长方形的面积；（3） 设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb） 2=n2a2+2nmab+m2b2.因为现有三种纸片各 8张，n28, m28, 2mnw 8 （n、m为正整数）从而可知 nW2, m2,从而可得 出答案. a2+3ab+2b2= （a+2b） （a+b）;（2 长方形的周长为34,