小学奥数三角形等高模型与鸟头模型.docx
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小学奥数三角形等高模型与鸟头模型
三角形等高模型与鸟头模型
例题精讲
板块一三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：
三角形面积底高2
从这个公式我们可以发现：
三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；
如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是，当三角形的底和高同时发生
变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1,则三角形面积与原来的一
3
样.这就是说：
一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：
一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论:
1等底等高的两个三角形面积相等；
2
两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图§:
S2a:
b
3夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图&acd&BCD;
ACDBCD
反之，如果SwCDSeD，则可知直线AB平行于CD.ACDBCD
4等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；
5三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
6两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.
【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：
⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶
6个面积相等的三角形.
【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上.
⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?
【例3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米.
B
F
C
【巩固】（2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积
是平方厘米.
【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20,宽是12,则它内部阴影部分的面积是.
【例4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.
【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12,那么阴影部
分的面积是.
【例5】长方形ABCD的面积为36cm2,E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
【例6】长方形ABCD的面积为36,E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是
多少?
【例7】
如右图，E在AD上，AD垂直BC,AD12厘米，DE3厘米.求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？
【例8］如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与VBEC等积的三角形一共有哪几个三角形？
【巩固】如图，在VABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE,那么与VABE等积的三角形一共有哪几个三角形？
【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对?
【例9】（第四届”迎春杯”试题）如图，三角形ABC的面积为1,其中AE3AB,BD2BC，三角形BDE的面积是多少？
【例10】（2008年四中考题）如右图，ADDB,AEEFFC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC
的面积是平方厘米.
【巩固】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB24厘米，BC8厘米，求三角形ZCY的面积.
【巩固】如图，三角形ABC的面积是24,D、E和F分别是BC、AC和AD的中点.求三角形DEF的面积.
【巩固】如图，在三角形ABC中，BC8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？
【例11】如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点.如果长方形的面积是36
个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位.
【巩固】（97迎春杯决赛）如图，长方形ABCD的面积是1,M是AD边的中点，N在AB边上，且2ANBN.那么，阴影部分的面积是多少？
【例14】（2009年第七届”希望杯”二试六年级）如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、
三角形BCD的面积分别是89,28,26.那么三角形DBE的面积是.
【例15】（第四届〈〈小数报》数学竞赛）如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分.三角形
BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米,
它们的差是5分米.求梯形ABCD的面积.
【例16】图中VAOB的面积为15cm2,线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
【例17】如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.
【例18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形
面积的15%，黄色三角形面积是21cm2.问：
长方形的面积是多少平方厘米？
O是长方形ABCD内一点，已知OBC的面积是5cm2,OAB的面积是2cm2,求OBD的面积是多少？
如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH,若PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？
【巩固】如右图，正方形ABCD的面积是12,正三角形BPC的面积是5,求阴影
【例22】在长方形ABCD内部有一点O,形成等腰AOB的面积为16,等腰DOC的面积占长方形面积的18%,那么阴影AOC的面积是多少？
【例24】如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.
【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?
【例25】如图，正方形ABCD的边长为6,AE1.5,CF2.长方形EFGH的面积为
【例26】如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC,如果VADE的面积为4平方厘米.求三角形CDF的
面积.
【巩固】如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F,若S.的面积.
【例27】
图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米.
【巩固】（2008年西城实验考题）如图,中阴影部分的面积为
ABCD与AEFG均为正方形，三角形ABH的面积为6平方厘米，图
【巩固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米?
【巩固】（人大附中考题）已知正方形ABCD边长为10,正方形BEFG边长为6,求阴影部分的面积.
【例29】（2008年”华杯赛”决赛）右图中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于H,已知CH
等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积.
【例30】（第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的
点，DFFC,并且甲、乙、丙3个三角形面积相等.已知梯形ABCD的面积是32平方厘米.求图
中阴影部分的面积.
【例31】如图，已知长方形ADEF的面积16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,那么
三角形ABC的面积是多少？
【例32】如图，在平行四边形ABCD中，BEEC,CF2FD.求阴影面积与空白面积的比.
【例33】（第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛）如图所示，三角形ABC中，D是AB边的中点，E
是AC边上的一点，且AE3EC,O为DC与BE的交点.若CEO的面积为a平方厘米，BDO的面积为b平方厘米.且ba是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是平方厘米.
【例34】如图，在梯形ABCD中，AD:
BE4:
3,BE:
EC2:
3，且BOE的面积比AOD的面积小10
平方厘米.梯形ABCD的面积是平方厘米.
【巩固】（第五届〈〈小数报》数学竞赛初赛）如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与DC平行，AE
与BD相交于O点.已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且EC-BC.求
5
梯形ABCD的面积.
【例35】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中
阴影部分的面积是多少？
【例36】图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形.将它的短直角边对折到斜边
上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分（即未被盖住的部分）的面积是多少平方厘米？
【例37】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米？
【例38】（2007年六年级希望杯二试试题）如图，三角形田地中有两条小路AE和CF,交叉处为D,张大
伯常走这两条小路，他知道DFDC,且AD2DE.则两块地ACF和CFB的面积比是.
【例39】（2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试）如图，BC45,AC21,ABC被分
成9个面积相等的小三角形，那么DIFK.
B
【例40】E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD5,BC7,AE5,EB3.求阴影部分的面积.
【例41】（2007年人大附中分班考试题）已知ABC为等边三角形，面积为400,D、E、F分别为三边
的中点，已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC）
【例42】（2009年四中入学测试题）如图，已知CD5,DE7,EF15,FG6,线段AB将图形分
成两部分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是.
【巩固】（第四届希望杯）如图，点D、E、F在线段CG上，已知CD2厘米，DE8厘米，EF20厘米，
FG4厘米，AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分面积是166平
方厘米，则三角形ADG的面积是多少平方厘米？
【例44】（2008年走美六年级初赛）如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70,AB8,
AD15,四边形EFGO的面积为.
【巩固】（2008年”华杯赛”初赛）如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米.三角形ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是平方厘米.
【巩固】如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米.
【巩固】（2008年清华附中考题）如图，长方形ABCD的面积是36,E是AD的三等分点，AE2ED,贝U阴影部分的面积为.
【例45】（清华附中分班考试题）如图，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面
积是多少平方厘米？
【例46】（2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛）如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为
2
10cm的正方形，贝U阴影部分四边形的面积是cm.
4cm
―1c—
【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方
厘米？
4cm
2ci
【巩固】已知正方形的边长为10,EC3,BF2,则鼐边形abcd
【例47】如图，三角形AEF的面积是17,DE、BF的长度分别为11、3.求长方形ABCD的面积.
F
E
【例48】（2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛）如图，长方形ABCD中，AB67,
BC30.E、F分别是AB、BC边上的两点，BEBF49.那么，三角形DEF面积的最小值
是.
【例49】（2007首届全国资优生思维能力测试）ABCD是边长为12的正方形，如图所示，P是内部任意
一点，BLDM4、BKDN5,那么阴影部分的面积是.
【例50】如图所示，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分与四
边形PQRS的面积之比.
【拓展】如图，对于任意四边形ABCD,通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH,求四边形
EFGH的面积是四边形ABCD的几分之几?
【例53】如图：
已知在梯形ABCD中，上底是下底的Z,其中F是BC边上任意一点，三角形AME、
3
角形BMF、三角形NFC的面积分别为14、20、12.求三角形NDE的面积.
【例54】如图，已知ABCD是梯形，AD//BC,AD:
BC1:
2,Saof：
Sdoe1:
3,SBEF24cm2,求
AOF的面积.
【例55】（2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点.如
果ASM、MTB与DSN的面积分别是6、7和8,且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为.
板块二鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.
如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴（或D在BA的延长线上，E在AC上），
则SaABC:
SaADE（ABAC）：
（ADAE）
【例56】如图在^ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:
AB2:
5,AE:
AC4:
7,SwDE16
平方厘米，求△ABC的面积.
【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1,那么三角形ABC的面积是多少？
【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BDDC4,BE3,AE6,乙部分面积是甲部分面积的几倍？
【例57】如图在^ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:
AD5:
2,
AE:
EC3:
2,S^aade12平方厘米，求△ABC的面积.
【例59】已知△DEF的面积为7平方厘米，BECE,AD2BD,CF3AF，求△ABC的面积.
【例60】如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:
BE2:
5,BC:
CD3:
2，三角形BDE的
面积是多少？
【例61】（2007年”走美”五年级初赛试题）如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，AE-AC,
3
1
CF-BC.三角形DEF的面积为平方厘米.
3
【例62】如图，已知三角形ABC面积为1,延长AB至D,使BDAB;延长BC至E,使CE2BC;
延长CA至F,使AF3AC,求三角形DEF的面积.
【例63】如图，平行四边形ABCD,BEAB,CF2CB,GD3DC,HA4AD，平行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.
【例64】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB,CBBF,DCCG,HDDA,求四边形ABCD的面积.
【例65】如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H,若
四边形ABCD的面积为5,则四边形EFGH的面积是.
F
【例66】如图，在△ABC中，延长AB至D,使BDAB,延长BC至E,使CE1BC,F是AC的2
中点，若△ABC的面积是2,则△DEF的面积是多少？
【例67】如图，，△abc1，BC5BD,AC4EC,DGGSSE,AFFG.求SVFGS.
ABCVFGS
【例68】如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点,
三角形ABG的面积是多少平方厘米？
【例69】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.
【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是
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