立体几何大题同步练习菁优网.docx

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立体几何大题同步练习

解答题（共１0小题）

１．（2014•福建）如图,三棱锥A﹣BCD中,AＢ⊥平面BCD，CD⊥BD.

（Ⅰ）求证：

ＣＤ⊥平面ABD；

（Ⅱ）若ＡB＝BD=CD＝１,M为AＤ中点，求三棱锥A﹣MBＣ的体积．

2．（２014•山东）如图，四棱锥Ｐ﹣ABＣD中,AＰ⊥平面ＰCD,ＡD∥ＢＣ，ＡB＝BC＝

AD,Ｅ,F分别为线段AD,PＣ的中点.

（Ⅰ）求证：

AＰ∥平面BEＦ;

（Ⅱ）求证：

BＥ⊥平面PＡC．

３．（２014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中,D,E，Ｆ分别为棱ＰC,AC,AＢ的中点，已知ＰA⊥AC,PA=6,BＣ=8，DF=５.求证:

（1）直线ＰＡ∥平面DEF；

（２）平面BＤE⊥平面AＢC．

４.（2014•北京）如图，在三棱柱AＢＣ﹣A1B1C１中，侧棱垂直于底面,AＢ⊥BC，ＡA1＝AC＝2,BC=１,E,F分别是Ａ1C1,BC的中点．

（Ⅰ）求证：

平面AＢE⊥B1BＣＣ１；

（Ⅱ）求证：

C１F∥平面ABＥ；

（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABＣ的体积．

5．（2014•浦东新区一模）如图,四棱锥S﹣ＡBCD的底面是正方形,SD⊥平面AＢCD，SD=AD＝2．

（1）求证:

SA⊥ＣＤ;

（２）求异面直线SB与CD所成角的大小．

6．（2014•安徽模拟）如图:

已知四棱锥Ｐ﹣ABCＤ中,PD⊥平面AＢCD,AＢＣＤ是正方形,E是PA的中点，

求证：

（1）PC∥平面ＥＢD．

（2）平面PBC⊥平面PＣＤ.

7．（２0１４•云南模拟）如图所示,在三棱锥P﹣AＢＣ中,E、F分别为ＡC、ＢC的中点．

（１）求证:

EＦ∥平面PAＢ；

（2）若PA=PＢ,CA＝CＢ，求证:

AB⊥ＰC．

8．（20１４•盐城二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABＣＤ为矩形，平面PＡB⊥平面ＡＢCＤ，PA⊥ＰB，ＢP=BＣ，E为PC的中点.

（1）求证:

AＰ∥平面ＢＤE；

（２）求证:

BE⊥平面PAC.

9．（2０14•苏州一模）如图,在四棱锥P﹣AＢCD中,四边形AＢCD是矩形,平面PCD⊥平面ABCD,M为PC中点.求证:

（１）PA∥平面ＭＤB；

（２）PD⊥BＣ.

10.（2014•河西区三模）如图,已知矩形ABCD中，AB=10,BC=6,将矩形沿对角线BD把△AＢD折起,使Ａ移到A1点,且A1在平面BＣD上的射影O恰好在CD上.

（1）求证：

BC⊥A1D；

（2）求证:

平面A1BＣ⊥平面A1ＢＤ；

（３）求三棱锥A1﹣ＢCＤ的体积．

立体几何大题同步练习

参考答案与试题解析

一.解答题（共１0小题）

１.（20１4•福建）如图，三棱锥A﹣BＣD中,AB⊥平面BＣD，CD⊥BD.

（Ⅰ）求证：

CD⊥平面ＡBD；

（Ⅱ）若ＡB=ＢD=ＣD=1，M为AD中点,求三棱锥A﹣MＢC的体积.

考点：

直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有

专题:

综合题；空间位置关系与距离．

分析：

（Ⅰ）证明:

CD⊥平面ABD,只需证明AB⊥CD;

（Ⅱ）利用转换底面，VA﹣MBC=VＣ﹣ABM=

S△AＢＭ•ＣD,即可求出三棱锥A﹣MBC的体积．

解答：

（Ⅰ）证明:

∵AＢ⊥平面BCD，CD⊂平面BCD,

∴AB⊥ＣＤ，

∵CD⊥BＤ，AB∩ＢD=B,

∴CＤ⊥平面ABD;

（Ⅱ）解:

∵AB⊥平面ＢCD,BD⊂平面BＣD，

∴AＢ⊥ＢD．

∵ＡB＝ＢD＝1，

∴Ｓ△AＢＤ=

，

∵Ｍ为AＤ中点,

∴Ｓ△ABＭ＝

S△AＢD＝

，

∵CD⊥平面ＡBD，

∴VＡ﹣ＭBC=VC﹣ABM＝

Ｓ△ＡBＭ•CＤ=

．

点评:

本题考查线面垂直,考查三棱锥A﹣MBC的体积,正确运用线面垂直的判定定理是关键．

２．（2014•山东）如图,四棱锥P﹣ＡＢＣD中，AP⊥平面PＣD，ＡD∥ＢＣ，ＡＢ=BC=

ＡD，E,F分别为线段AＤ,ＰC的中点．

（Ⅰ）求证：

AP∥平面BＥF;

（Ⅱ）求证：

ＢＥ⊥平面ＰAＣ.

考点：

直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.菁优网版权所有

专题：

综合题；空间位置关系与距离.

分析:

（Ⅰ）证明四边形ABＣE是平行四边形，可得O是AC的中点,利用F为线段PC的中点，可得PA∥OF，从而可证AP∥平面ＢEF；

（Ⅱ）证明BE⊥AP、ＢE⊥AC,即可证明BE⊥平面PAC．

解答：

证明:

（Ⅰ）连接ＣE，则

∵AD∥BC,BＣ=

ＡＤ，E为线段AD的中点，

∴四边形ABCＥ是平行四边形，BCＤＥ是平行四边形，

设AＣ∩BＥ=O,连接OF,则O是AＣ的中点,

∵F为线段PＣ的中点，

∴ＰＡ∥OF，

∵PＡ⊄平面BEF,OF⊂平面BEF,

∴AＰ∥平面BEF；

（Ⅱ）∵BＣDE是平行四边形,

∴BE∥CD，

∵AP⊥平面PＣD，CD⊂平面PＣＤ,

∴AP⊥CD,

∴BE⊥ＡP,

∵AＢ=BC,四边形AＢＣE是平行四边形，

∴四边形ABCE是菱形,

∴BE⊥AＣ,

∵AＰ∩ＡC=A，

∴ＢＥ⊥平面PＡC.

点评：

本题考查直线与平面平行、垂直的判定,考查学生分析解决问题的能力，正确运用直线与平面平行、垂直的判定是关键

3.（20１4•江苏）如图,在三棱锥P﹣AＢＣ中,Ｄ，Ｅ,F分别为棱PＣ，AＣ，ＡB的中点，已知ＰＡ⊥AC，PA=6,BC=８，DＦ=5．求证:

（1）直线PA∥平面DＥＦ；

（２）平面BDＥ⊥平面AＢC．

考点：

平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有

专题:

证明题;空间位置关系与距离．

分析：

（1）由D、Ｅ为ＰC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出ＰA∥平面DＥF;

（2）要证平面BDE⊥平面ＡBC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥ＥF,且DE⊥AC即可．

解答：

证明:

（１）∵D、E为ＰC、AC的中点，∴DE∥PA，

又∵PA⊄平面DEＦ,DE⊂平面DEＦ，

∴PＡ∥平面DEF；

（2）∵D、E为PC、ＡＣ的中点,∴DＥ＝

PA＝3；

又∵Ｅ、F为ＡC、ＡB的中点，∴ＥF=

BC＝４；

∴DE２+EF2=ＤF２，

∴∠DEF=9０°,

∴DＥ⊥EＦ；

∵DE∥PA,PA⊥AC,∴DE⊥AC;

∵AC∩EF＝E,∴ＤE⊥平面ＡBC;

∵ＤE⊂平面BDＥ,∴平面BDＥ⊥平面ABC.

点评：

本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目.

4.（２014•北京）如图，在三棱柱ABＣ﹣A1Ｂ１C1中，侧棱垂直于底面，ＡB⊥BC,ＡA１=AC＝2，BC＝1,E，F分别是A1C1，BC的中点.

（Ⅰ）求证：

平面ABＥ⊥B1BCC1;

（Ⅱ）求证：

C１F∥平面AＢＥ；

（Ⅲ）求三棱锥E﹣AＢＣ的体积．

考点：

平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有

专题：

综合题;空间位置关系与距离．

分析:

（Ⅰ）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1ＢＣC1;

（Ⅱ）证明C１F∥平面ABE，只需证明四边形FＧEＣ1为平行四边形,可得C1Ｆ∥EG;

（Ⅲ）利用VE﹣ＡBC=

，可求三棱锥E﹣ABC的体积．

解答:

（Ⅰ）证明：

∵三棱柱ABC﹣A1B１C1中，侧棱垂直于底面，

∴BB1⊥AB，

∵AB⊥ＢC,BＢ1∩BC=B，

∴AB⊥B1BCC1，

∵AＢ⊂平面ABＥ，

∴平面ABＥ⊥B1BCＣ１；

（Ⅱ）证明:

取ＡB中点Ｇ,连接ＥG,FG，则

∵F是BＣ的中点,

∴FG∥AC，FＧ=

AC，

∵E是Ａ1C１的中点，

∴ＦＧ∥EC１,FG=ＥＣ1，

∴四边形FGEC１为平行四边形，

∴C1Ｆ∥EＧ,

∵C1F⊄平面ABE，ＥG⊂平面ABＥ,

∴Ｃ１F∥平面ＡBE;

（Ⅲ）解：

∵AA1=ＡC=2,ＢＣ＝1,ＡB⊥BC，

∴ＡB＝

，

∴VE﹣ＡBC=

=

=

点评:

本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键.

5.（２0１4•浦东新区一模）如图,四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，ＳD⊥平面ＡBCＤ,ＳD=AD＝２．

（1）求证:

ＳA⊥CD;

（2）求异面直线SB与ＣD所成角的大小.

考点:

异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有

专题：

空间位置关系与距离.

分析：

（1）由线面垂直的性质可得CD⊥ＳD,结合正方形的性质可得CD⊥AＤ，可判CＤ⊥平面SDA，可得结论；

（２）可得∠SBA或其补角是异面直线SB与CD所成角,在直角△SＡＢ中可得ｔan∠SBA的值,由反三角函数可得．

解答:

解:

（1）∵SD⊥平面AＢCD，CD⊆平面ＡBCD，∴CD⊥ＳD,

又∵四边形ＡBCD是正方形，∴CD⊥AD,

又SD∩AD=D，∴ＣＤ⊥平面ＳDA,

又∵SＡ⊆平面SＤA,∴ＳＡ⊥CＤ

（2）∵四边形ＡＢＣD是正方形，∴AB‖CD，

∴∠ＳＢA或其补角是异面直线SB与ＣＤ所成角，

由

（1）知BA⊥平面SＤA,∴△SAB是直角三角形

∴tan∠SBA=

=

=

，

∴∠ＳBA=arctaｎ

，

故异面直线SB与ＣD所成角的大小为

．

点评：

本题考查异面直线所成的角，涉及线面垂直的判定定理和反三角函数的应用，属中档题．

６．（201４•安徽模拟）如图:

已知四棱锥Ｐ﹣ＡBCD中,PD⊥平面ＡBCD，ABCD是正方形,E是PA的中点,

求证：

（１）PC∥平面ＥBD.

（2）平面PBC⊥平面PCＤ.

考点：

直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定.菁优网版权所有

专题:

综合题;空间位置关系与距离．

分析：

（1）连ＢD,与AC交于O，利用三角形的中位线，可得线线平行,从而可得线面平行；

（2）证明BC⊥平面ＰCＤ，即可证得平面PBC⊥平面PCD.

解答：

证明：

（1）连BＤ，与AC交于O，连接EＯ

∵ABCD是正方形,∴Ｏ是AＣ的中点，

∵Ｅ是PA的中点,

∴EO∥ＰC

又∵EO⊂平面ＥBD，PＣ⊄平面EＢＤ

∴PC∥平面EBD;

（2）∵ＰD⊥平面ABCD，ＢC⊂平面ABCＤ

∴BC⊥PD　

∵ABCD是正方形,∴BC⊥CD

又∵PＤ∩CD＝D

∴BC⊥平面PＣD

∵ＢC⊂平面PBC

∴平面PBC⊥平面PCD．

点评:

本题考查线面平行,考查面面平行,掌握线面平行,面面平行的判定方法是关键.

7．（２０１4•云南模拟）如图所示,在三棱锥P﹣ＡBC中,E、F分别为AＣ、BC的中点.

（1）求证:

ＥF∥平面PAB;

（２）若ＰA=PＢ,ＣＡ=CＢ,求证:

AＢ⊥PC．

考点:

直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系.菁优网版权所有

专题:

空间位置关系与距离.

分析:

（1）依题意知Ｅ，F为中位线推断出EF∥AB,依据线面平行的判定定理推断出EＦ∥平面PＡB.

（2）取ＡB的中点G,连结PG,CＧ，根据ＰA=PB,ＣA=ＣB,判断出△PＡB,△AＣB均为等腰三角形进而可推断出AB⊥PＧ，ＡB⊥CＧ，利用线面垂直的判定定理得出AB⊥平面GPＣ,最后根据线面垂直的性质得出AB⊥PC的结论．

解答：

（1）证明：

∵E,F为AＣ、BC的中点，

∴EF∥AB,

∵ＡB⊂平面PＡＢ,EF⊄平面PAB,

∴ＥF∥平面ＰAB．

（2）证明:

取ＡＢ的中点G，连结PG,CG,

∵PA=ＰＢ，CA=ＣB,

∴AB⊥PＧ,AＢ⊥CＧ,

∵PＧ⊂平面GPC，CＧ⊂平面GＰC,且PＧ∩CG＝Ｃ，

∴AB⊥平面GPC，

∵ＰC⊂平面GPC，

∴AB⊥PC.

点评:

本题主要考查了直线和平面平行的判定和直线与平面垂直的判定．综合考查了学生对基础知识的运用.

8.（２014•盐城二模）如图,在四棱锥P﹣ABCD中，底面AＢCＤ为矩形，平面PＡB⊥平面ABCD，PA⊥ＰB,BP＝BＣ,E为PC的中点.

（１）求证:

AP∥平面BＤＥ;

（2）求证：

BE⊥平面PAC．

考点:

直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.菁优网版权所有

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

（1）设AＣ∩BD=O,连结OＥ．根据ＡＢCＤ为矩形,推断O是ＡC的中点，同时E是ＰC中点,推断出ＯE为中位线，即OE∥AP，再根据线面平行的判定定理ＡP⊄平面BDＥ,OE⊂平面BDE,推断出AＰ∥平面BDE.　　　　　　

（２）根据已知平面ＰAB⊥平面ABＣD，BC⊥AB,平面PAB∩平面ABCＤ=AB,推断BC⊥平面ＰAＢ．进而利用线面垂直性质知BＣ⊥PA,根据PB⊥PA,BC∩ＰＢ=B,BC,PB⊂平面PBＣ，推断出PA⊥平面PBC．进而知PA⊥BE,根据ＢＰ=PＣ,且E为PＣ中点，可知BE⊥PC,最后利用线面垂直的判定定理推断出ＢＥ⊥平面ＰＡC.

解答:

证明：

（1）设AＣ∩ＢD=O,连结OE．

∵四边形ABCＤ为矩形，

∴O是AＣ的中点.

∵Ｅ是PC中点，

∴OＥ∥AP．　　　　　　

∵AP⊄平面BDE,OＥ⊂平面BDE,

∴AＰ∥平面BＤＥ．　　　　　　　　　　

（2）∵平面ＰＡB⊥平面ABＣD，BC⊥AＢ,平面PAB∩平面AＢCD=AB,

∴BC⊥平面PＡB.　　　　　　　　

∵AP⊂平面ＰAB，

∴BＣ⊥ＰA．

∵PB⊥PA,BＣ∩PＢ=B，BＣ，PB⊂平面PＢC,

∴PA⊥平面ＰBC.　　　　　

∵BE⊂平面PBC,

∴PA⊥ＢE.

∵BP=PC，且E为PＣ中点,

∴ＢE⊥PC．

∵ＰA∩PC=P，PA，ＰC⊂平面PＡＣ,

∴BＥ⊥平面PAC.

点评：

本题主要考查了空间位置关系中，线面平行，线面垂直的判定.注意对线面平行,线面垂直的判定定理灵活运用,对线面平行和线面垂直的性质能熟练掌握．

9.（2014•苏州一模）如图,在四棱锥Ｐ﹣ABCD中,四边形ABCＤ是矩形，平面ＰCD⊥平面AＢCD，M为PＣ中点.求证：

（１）PA∥平面MDB；

（２）PD⊥BC．

考点：

直线与平面平行的判定.菁优网版权所有

专题:

空间位置关系与距离.

分析:

（1）连接AC,交BD与点O,连接OM，先证明出MO∥ＰA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB.

（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥ＰD．

解答：

证明：

（1）连接AC,交BＤ与点O,连接OＭ，

∵M为PC的中点，O为AC的中点，

∴MO∥PA，

∵MO⊂平面ＭDＢ，PA⊄平面MＤB，

∴PA∥平面ＭＤＢ．

（2）∵平面PCＤ⊥平面ABCD，平面ＰCD∩平面ABCD=CD,ＢC⊂平面ＡBＣD，BC⊥ＣD,

∴ＢC⊥平面PCD，

∵PD⊂平面PCD,

∴BC⊥PD．

点评:

本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定.判定的关键是先找到到线线平行,线线垂直.

10．（2014•河西区三模）如图，已知矩形AＢCＤ中，ＡＢ＝10，BC=６，将矩形沿对角线BＤ把△AＢＤ折起,使Ａ移到Ａ１点，且Ａ１在平面BCD上的射影Ｏ恰好在ＣD上．

（1）求证：

BC⊥Ａ1Ｄ；

（2）求证:

平面A１BC⊥平面Ａ１BD；

（３）求三棱锥Ａ１﹣ＢＣD的体积．

考点：

平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有

专题:

计算题;证明题.

分析:

（１）由A1在平面BＣD上的射影O在CＤ上得A1O⊥平面BCＤ⇒BC⊥A1Ｏ；又BＣ⊥ＣＯ⇒ＢＣ⊥平面Ａ1ＣD⇒BC⊥A1Ｄ;

（2）先由ＡBCD为矩形⇒Ａ１Ｄ⊥Ａ1B，再由（Ⅰ）知A1Ｄ⊥BC⇒A１Ｄ⊥平面A1BC，即可得到平面A1BC⊥平面A1BD；

（3）把求三棱锥Ａ１﹣BCＤ的体积转化为求三棱锥B﹣A1CD的体积即可．

解答:

证明:

（1）连接A1O,

∵A1在平面BCD上的射影O在CＤ上,

∴Ａ1O⊥平面ＢCＤ，又BＣ⊂平面BＣD

∴BC⊥Ａ1O

又BC⊥ＣO，A1O∩CＯ＝Ｏ，

∴BＣ⊥平面A１CD，又A1D⊂平面A１CD，

∴BC⊥A1D

（2）∵ABＣD为矩形,∴A1Ｄ⊥A１B由（Ⅰ）知A１D⊥ＢC,Ａ1B∩BC=B

∴A1Ｄ⊥平面Ａ1BC,又A1D⊂平面A1ＢＤ

∴平面A1BC⊥平面A1ＢD

（3）∵A1D⊥平面A１BＣ，

∴A1D⊥A１C．

∵A１D=6，ＣD=1０,∴A１C=8，

∴V

＝V

＝

=4８.

故所求三棱锥A1﹣BCＤ的体积为：

４8.

点评:

本题是对线线垂直以及面面垂直和三棱锥的体积计算的综合考查.在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直