利用数轴解决集合运算问题.docx

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利用数轴解决集合运算问题

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利用数轴解决集合运算问题

数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。

在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。

、基础知识:

1、集合运算在数轴中的体现:

aPIB:

在数轴上表示为A,B表示区域的公共部分aUb：

在数轴上表示为A,B表示区域的总和

CuA:

在数轴上表示为U中除去A剩下的部分（要注意边界值能否取到）

2、问题处理时的方法与技巧:

（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于

含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关

（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各

个集合的区域。

（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公

共部分和集合包含区域。

交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域

（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根

据条件放置参数即可

3、作图时要注意的问题:

（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到,

则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察

（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。

、例题精析:

f1、答案：

AnBtV〕

思路：

可解出S=（Y,-1）U（5,P），而T集合含有参数，作出数轴，先从容易作

图的集合做起，即画出S的范围，由于sUt=r，而数轴上有一部分区域没有被S

小炼有话说：

（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数

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决定T区间的端点

（2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参

的集合

（3）注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若a=-3或a=-1，

则端点处既不在S里，也不在T里，不符题意。

例3:

对于任意的x^R，满足（a-2）x2+2（a-2）x-4<:

0恒成立的所有实数a构成

An（CRB尸

思路：

先利用已知条件求出A,B，再利用数轴画出aDCrB的范围即可

2

解：

由（a-2）x+2（a-2）x-4c0①恒成立，可得:

ja-2c0

{2=一2

[A=4（a—2）+16（a—2）v0二A=（-2,2】

a"x-4|+|x-3h

3cx<4

；2x-7,x>4

X-4|+|x-3|=<1,

7—2x,x<3

二f（Xhn=1二a兰1即B=（Y,l]

二CrB=（1严

二aRCrB=（1,2】

小炼有话说：

本题更多考察的地方在于A,B集合的求解。

A集合要注意a-2=0的

情况，而不能默认为二次不等式，B集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转

化。

在集合进行交并运算时，数轴将成为一个非常直观的工具，作图时要注意端

例4:

已知集合A=

点值的开闭。

1<3怕=如2-（2m+1）x+m2+mc0}，若

AplB，贝U实数m的取值范围为思路：

先解出A,B的解集，ACB芒0意味着A,B有公共部分，利用数轴可标注集

合B两端点的位置，进而求出m的范围

当x〉1时，x十5兰3»兰2•••心号当一1

3

当x<—1日寸，1—X—X-1<3=X>-—

2

taDb丰0

3

二m+1八一且m

2

.53〕

…m匚一一，一

I22丿

例5:

已知A={x|5-x二j2（xT）},B='x|X2-ax兰X—a}，当x亡A”是x“B”的充分不必要条件，则a的取值范围是

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思路：

A,B为两个不等式的解集，因为xcA”是x'“B”的充分不必要条件，所以A

是B的真子集。

考虑解出两个不等式的解集，然后利用数轴求出a的范围即可解:

5-X>j2（x-1戶J

'（5-

二A=1,3】

22

X-ax

由A是B的真子集可得：

a>3

答案：

a忘（3,畑

小炼有话说：

1、熟悉充分必要条件与集合的联系:

p是q的充分不必要条件UP

对应集合P是q对应集合Q的真子集

2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参

数范围加以限制，减少分类讨论的情况。

例如在本题中，若先处理B，则解不等

式面临着分类讨论的问题。

但先处理A之后，结合数轴会发现只有图中一种情况

符合，减掉了无谓的讨论。

rX

例6:

已知函数g（x）=ax+1,f（X）=Q2?

1,0-x-2，对灯x^[-2,2[眈迂

[―x2,-2

〔-2,2]，

使得g（xj=f（x2）成立，则实数a的取值范围是

思路：

任取X1丘［-2,2］，则g（X1）取到g（x）值域中的每一个元素，依题意,

存在X2

使得g（xi）=f（X2），意味着g（x）值域中的每一个元素都在f（X）的值域中,

即g（x）

的值域为f（x）的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出

范围

解：

x2€0,2］时，f（X2户［0,3］

X2亡［—2,0时，f（X2卢［—4,0）

”f（X2尸［«3］

对于g（x），分三种情况讨论

a忘（0,1】

a忘［-1,0）

综上所述：

a"-1,1】

答案：

a-[—1,1】

例7:

已知集合A={x|xa2或x<—1},B={x|a

思路：

本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合B的范围。

从而确定

出a,b的值，如图所示：

可得a=-1,b=4，所以

答案：

-4

例8:

设A={x|（x2+x-2）（x+1）>0〉,B={xlx2+ax+b兰0〉,aUB={x|x+2〉0}，

aRb={x|1

思路：

A集合的不等式解集为（—2,—1）U（1,址），集合B为一元二次不等式的解集,

由题意可知B，设X2+ax+b=0的两根为x1,x^x^x2），贝U[xi,xj，在

数轴上作图并分析后两个条件：

AUB=｛x|x+2>0｝说明B将A集合覆盖数轴的

漏洞堵上了，AnB=｛x|1

X1=-1,X2=3，由韦达定理可得：

a=-2,b=-3

X

例9:

在R上定义运算後5*，若关于X的不等式x述（□-小0的解集

是｛x|-2兰X兰2,x€R｝的子集，则实数a的取值范围是（）

A.—2

思路：

首先将x*+1-a）:

>0变为传统不等式：

+门^严，不等式含有参数a,考虑根据条件对a进行分类讨论。

设解集为A，因为AG[-2,2],所以首先解集要分空集与非空两种情况：

当A=0时，则a=-1;当AH0时，根据a的取值分类讨论计算出解集后再根据数轴求出a的范围即可

解:

x®（x+1-a）>0=>0=<0

2-（x+1-a）x-（a+1）

设解集为A当A=0时，贝Ua=—1

若a+1>0=aAT时，A=（0,a+1）匸〔—2,2】二a+1兰2二a兰1

二一1

若a+1cO=a<—1时，A=（a+1,0匸〔―2,2】

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二a+1>-2二a>3二一3

综上所述：

a-[-3,1]

答案：

D

例10:

已知f（X）=|mX-

X-n（0

的整数恰有3个，则实数m的取值范围是（

因式分解可得：

[（m—1）x+n][（m+1）x-n]<0，

点的取值范围为-3<-^^c-2=2（m-1）vn<3（m-1）①，而0

以只要①②有交集，则可找到符合条件的n,m，结合数轴可得：

2（m-1）

求出m-（1,3）

答案：

m-（1,3）

三、近年模拟题题目精选:

0

（CRM）nN=（

（_QC,一1]U（2,3]

AnB=（

U（CrN）=

（亠,72]

5、（优质试题，浙江）已知集合P={x|x-2x>0,Q』x|1vx£2则

（CrP）nq=（）

7、

设集合A={x||2x-3兰7},B={x|m+1

取值范围是&已知全集U=R，集合A={x|x2-3x-4aO},B={x|2xa8}，那么集合

（CuA）nB=（

9、若关于X的不等式（2x-1）2cax2的解集中整数恰好有3个，贝U实数a的取值范围是

习题答案:

1、答案：

B

解析：

若a*0，贝UN=0符合题意，若a=0，贝UN={l}符合题意，当a>0时

'a-1>—2

解得：

M+2,2小十-1”），由N“M可知冷aT；》-*-1,综上

可得：

a兰1

2、答案：

D

解析：

CrM=（亠1］U（2,畑），在数轴上标出CrM,N的区域即可得出（CrM）r|N

3、答案：

C

解析：

分别解出A,B中的不等式，A:

-2

x:

>1，所以^^（1,21

4、答案：

A

解析：

f（X）的定义域：

2-x2》XM=（-厂2厂）2g（x）的定义域：

x+1>gN=（-什护），所以CrN=（=,-1），MU（CrN）=（=,&）

5、答案：

C

解析：

解出P中不等式：

x<0或x>2，所以CrP=（0,2），贝U（CrP）nQ=（1,2）

6、答案：

D

解析：

集合A为解不等式:

X—1<2=-2

的值域，由X亡［0,2］可知匹1,4］，所以ADB=〔1,3）

7、答案：

m<3

解析：

A集合为［-2,5，由aUB=人可知B^A；当B=0时，可得

m+1>2m-1二m<2当BH0时，结合数轴可得:

|m+1<2m-1

{m+13-2=

I

I2mT兰5

|m>2

{mA-3即

[m乞3

2

m的取值范围是m兰3

&答案：

C

2■r■

解析：

x-3x-4>0=X>4或x<-1「.AT-爭

1U（4,堺

CuA=[—1,4]

2X>8=X>3/.B=（3，母）/.（CuA）n亠（3,4

解析：

因为不等式等价于（£+4）x2-4x+1c0，其中（-a+4）x2-4x+1=0中的

1

△=4aaO，且有4-a：

＞0，故0vac4，不等式的解集为

1111

厂丙则一定有1，2，3为所求的整数解集。

所以3＜彳＜4，解得a

的范围为（強