两个计数原理排列与组合.docx

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两个计数原理排列与组合

第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布

1.计数原理

（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．

（2）理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．

（3）理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．

（4）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

2．概率

（1）事件与概率

①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．

②了解两个互斥事件的概率加法公式．

（2）古典概型

①理解古典概型及其概率计算公式．

②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．

（3）随机数与几何概型

①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．

②了解几何概型的意义．

3．概率与统计

（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列．

（2）了解超几何分布，并能进行简单应用．

（3）了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题．

（4）理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题．

（5）借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

10．1　两个计数原理、排列与组合

1．分类加法计数原理

完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法．

3．两个计数原理的区别

分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法______________，用其中______________都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法______________，只有______________才算做完这件事．

4．两个计数原理解决计数问题时的方法

最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——是需要分类还是需要分步．

（1）分类要做到“______________”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．

（2）分步要做到“______________”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要______________，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

5．排列

（1）排列的定义：

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

（2）排列数的定义：

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的________________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号______表示．

（3）排列数公式：

A

＝________________________.这里n，m∈N*，并且________．

（4）全排列：

n个不同元素全部取出的一个____________，叫做n个元素的一个全排列．A

＝n×（n－1）×（n－2）×…×3×2×1＝__________，因此，排列数公式写成阶乘的形式为A

＝

，这里规定0！

＝________.

6．组合

（1）组合的定义：

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

（2）组合数的定义：

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．

（3）组合数公式：

C

＝

＝____________＝____________．这里n∈N*，m∈N，并且m≤n.

（4）组合数的两个性质：

①C

＝____________；

②C

＝____________＋____________.

自查自纠

1．m1＋m2＋…＋mn

2．m1×m2×…×mn

3．相互独立　任何一种方法　互相依存　各个步骤都完成

4．

（1）不重不漏　

（2）步骤完整　相互独立

5．

（1）一定的顺序　

（2）所有不同排列　A

（3）n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）　m≤n

（4）排列　n！

　1

6．

（1）合成一组　

（2）所有不同组合　C

（3）

（4）①C

　②C

　C

（2016·郑州模拟）某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有5种测试方案，某人参加该项测试，不同的测试方法种数为（　　）

A．8B．15C．125D．243

解：

由分步计数原理知所求为3×5＝15.故选B.

某校学生会由高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人组成，现要选择不同年级的两名成员参加市里组织的活动，则共有选法（　　）

A．27种B．33种C．36种D．81种

解：

由两个计数原理知，所求为3×3＋3×4＋3×4＝33（种）．故选B.

（2016·四川）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（　　）

A．24B．48C．60D．72

解：

由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：

先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C

种方法，再将剩下的四个数字排列有A

种方法，则满足条件的五位数有C

A

＝72个．故选D.

（2017河南五校质量监测改编）6名同学排成一排照相，甲不站两端，则不同的站法有________种．

解：

所求为A

A

＝480种．故填480.

现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有____________种．

解：

按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48（种）．故填48.

类型一　分类与分步的区别与联系

　甲同学有若干本课外参考书，其中有5本不同的数学书，4本不同的物理书，3本不同的化学书．现在乙同学向甲同学借书，试问：

（1）若借一本书，则有多少种不同的借法？

（2）若每科各借一本，则有多少种不同的借法？

（3）若借两本不同学科的书，则有多少种不同的借法？

解：

（1）因为需完成的事情是“借一本书”，所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本，都可以完成这件事情．

故用分类计数原理，共有5＋4＋3＝12（种）不同的借法．

（2）需完成的事情是“每科各借一本书”，意味着要借给乙三本书，只有从数学、物理、化学三科中各借一本，才能完成这件事情．

故用分步计数原理，共有5×4×3＝60（种）不同的借法．

（3）需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”，要分三种情况：

①借一本数学书和一本物理书，只有两本书都借，事情才能完成，由分步计数原理知，有5×4＝20（种）借法；②借一本数学书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有5×3＝15（种）借法；③借一本物理书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有4×3＝12（种）借法．而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情，由分类计数原理知，共有20＋15＋12＝47（种）不同的借法．

【点拨】仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键．两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关．如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成n个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理．

　电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的50位观众的来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封．现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱剩下来信中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？

解：

①幸运之星在甲箱中抽取，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众，根据分步计数原理有30×29×20＝17400种结果．②幸运之星在乙箱中抽取，有20×19×30＝11400种结果．

根据分类计数原理共有不同结果17400＋11400＝28800（种）．

类型二　排列数与组合数公式

（1）解方程3A

＝4A

；

（2）解方程C

＝C

＋C

＋C

.

解：

（1）利用3A

＝3

，4A

＝4

，

得到

＝

.

利用（10－x）！

＝（10－x）（9－x）（8－x）！

，将上式化简后得到（10－x）（9－x）＝4×3.

再化简得到x2－19x＋78＝0.

解方程得x1＝6，x2＝13.由于A

和A

有意义，所以x满足x≤8和x－1≤9.于是将x2＝13舍去，原方程的解是x＝6.

（2）由组合数的性质可得

C

＋C

＋C

＝C

＋C

＋C

＝C

＋C

，

又C

＝C

，且C

＝C

＋C

，

即C

＋C

＝C

＋C

.所以C

＝C

，

所以5＝x＋2，x＝3.经检验知x＝3符合题意且使得各式有意义，故原方程的解为x＝3.

【点拨】

（1）应用排列、组合数公式解此类方程时，应注意验证所得结果能使各式有意义．

（2）应用组合数性质C

＝C

＋C

时，应注意其结构特征：

右边下标相同，上标相差1；左边（相对于右边）下标加1，上标取大．使用该公式，像拉手风琴，既可从左拉到右，越拉越长，又可以从右推到左，越推越短．

（1）解方程：

3A

＝2A

＋6A

；

（2）已知

－

＝

，则C

＝____________．

解：

（1）由3A

＝2A

＋6A

得

3x（x－1）（x－2）＝2（x＋1）x＋6x（x－1），

由x≠0整理得3x2－17x＋10＝0.

解得x＝5或

（舍去）．

即原方程的解为x＝5.

（2）由已知得m的取值范围为{m|0≤m≤5，m≤Z}，

－

＝

，整理可得m2－23m＋42＝0，解得m＝21（舍去）或m＝2.故C

＝C

＝28.故填28.

类型三　排列的基本问题

　5名男生、2名女生站成一排照相：

（1）两名女生要在两端，有多少种不同的站法？

（2）两名女生都不站在两端，有多少种不同的站法？

（3）两名女生要相邻，有多少种不同的站法？

（4）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？

（5）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？

（6）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？

解：

（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排：

A

A

＝240（种）；

（2）中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生：

A

A

＝2400（种）；

（3）把两名女生当作一个元素，于是对六个元素任意排，然后解决两个女生的任意排列：

A

A

＝1440（种）；

（4）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生：

A

A

＝3600（种）；

（5）七个位置中任选五个排男生