华师大版八年级下册193正方形与对称综合题专训有答案.docx

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华师大版八年级下册193正方形与对称综合题专训有答案

华师大版八年级下册19.3正方形与对称综合题专训

一、关于对角线对称

试题１、如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：

①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+

．其中正确的个数为（　Ｃ　）

A．1B．2C．3D．4

试题２、如图，在正方形ABCD中∠DAE=25°，AE交对角线BD于E点，那么∠BEC等于（　Ｃ　）

A．45°B．60°C．70°D．75°

试题３、如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．则CG的最小值为　

﹣1　．

试题４、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，∠ADE=∠CDF．

（1）求证：

AE=CF；

（2）连结DB交CF于点O，延长OB至点G，使OG=OD，连结EG、FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．

试题５、如图1，图2，正方形ABCD的边长为1，P是对角线BD上一动点，连接AP、CP，过P作PN⊥AP交射线CD与点N．

（1）求证：

AP=CP．

（2）①若点N在边CD上，如图1，判断△APN的形状，并说明理由；

②若点N在边CD的延长线上，如图2，①中的结论还成立吗？

（不需要证明）．

（3）若N为边CD的中点，求BP的长．

解：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，

在△ADP和△CDP中，

，

∴△ADP≌△CDP（SAS），

∴AP=CP；

（2）①△APN是等腰直角三角形．

理由如下：

在正方形ABCD中，∠ADC=90°，

∵PN⊥AP，

∴∠APN=90°，

∴∠DAP+∠DNP=180°，

∵∠PNC+∠DNP=180°，

∴∠PNC=∠DAP，

∵△ADP≌△CDP，

∴∠DCP=∠DAP，

∴∠PNC=∠DCP，

∴PN=PC，

又∵AP=PC，

∵AP=PN，

∴△APN是等腰直角三角形；

②①中得结论仍然成立．

理由如下：

同理可得AP=CP，∠DAP=∠DCP，

∵AP⊥PN，AD⊥DN，

∴∠DAP=∠N，

∴∠N=∠DCP，

∴PN=PC，

又∵AP=PC，

∵AP=PN，

∴△APN是等腰直角三角形；

（3）过P作EF∥BC分别交AB、CD于E、F，

可得四边形EBCF是矩形，EF⊥AB，EF⊥CD，

∴BE=CF，

∵PN=PC，PF⊥CD，

∴CF=NF=

CN，

∵N是CD的中点，

∴CN=

CD=

，

∴BE=CF=

CN=

×

=

，

在正方形ABCD中，∠ABD=45°，

∴△BEP是等腰直角三角形，

∴PE=BE=

，

∴BP=

=

=

．

试题６、如图，点P是正方形ABCD（在小学，同学们学习过：

正方形四边相等，四个角都是直角）对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连结PD，O为AC中点．

（1）如图①，当点P在线段AO上时，猜想PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）如图②，当点P在线段OC上时，

（1）中的猜想还成立吗？

请说明理由．

解：

（1）当点P在线段AO上时；

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAP=∠DAP=45°，

在△ABP和△ADP中，

，

∴△ABP≌△ADP（SAS），

∴BP=DP，

∵PB=PE，

∴PE=PD，

过点P作PM⊥CD于点M，作PN⊥BC于点N，

∵PB=PE，PN⊥BE，

∴BN=NE，

∵BN=DM，

∴DM=NE，

在Rt△PNE与Rt△PMD中，

，

∴Rt△PNE≌Rt△PMD（HL），

∴∠DPM=∠EPN，

∵∠MPN=90°，

∴∠DPE=90°，

∴PE⊥PD，

故PE与PD的数量关系和位置关系分别为：

PE=PD，PE⊥PD；

（2）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，

∵PA=PA，

∴△BAP≌△DAP（SAS），

∴PB=PD，

又∵PB=PE，

∴PE=PD．

①当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．

②当点E在BC的延长线上时，如图所示．

∵△ADP≌△ABP，

∴∠ABP=∠ADP，

∴∠CDP=∠CBP，

∵BP=PE，

∴∠CBP=∠PEC，

∴∠PEC=∠PDC，

∵∠1=∠2，

∴∠DPE=∠DCE=90°，

∴PE⊥PD．

综上所述：

PE⊥PD．

二、关于边对称

试题１、如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD．

（1）求证：

点F是CD边的中点；

（2）求证：

∠MBC=2∠ABE．

（1）证明：

∵正方形ABCD，

∴AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，

∵AF⊥BE，

∴∠AOE=90°，

∴∠EAF+∠AEB=90°，∠EAF+∠BAF=90°，

∴∠AEB=∠BAF，

∵AB∥CD，

∴∠BAF=∠AFD，

∴∠AEB=∠AFD，

∵∠BAD=∠D，AB=AD，

∴△BAE≌△ADF，

∴AE=DF，

∵E为AD边上的中点，

∴点F是CD边的中点；

（2）证明：

延长AD到G．使MG=MB．连接FG，FB，

∵BM=DM+CD，

∴DG=DC=BC，

∵∠GDF=∠C=90°，DF=CF，

∴△FDG≌△FCB（SAS），

∴∠DFG=∠CFB，

∴B，F，G共线，

∵E为AD边上的中点，点F是CD边的中点，AD=CD

∴AE=CF，

∵AB=BC，∠C=∠BAD=90°，AE=CF，

∴△ABE≌△CBF，

∴∠ABE=∠CBF，

∵AG∥BC，

∴∠AGB=∠CBF=∠ABE，

∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE，

∴∠MBC=2∠ABE．

三、关于过顶点的直线对称

试题１、在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：

①AB′=AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠ADB′=75°；④∠CB′D=135°．其中正确的是（Ｂ　　）

A．①②B．①②④C．③④D．①②③④

试题２、如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE对折，A点恰好落在对角线BD上的点F处．延长AF，与CD边交于点G，延长FE，与BA的延长线交于点H，则下列说法：

①△BFH为等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA；③∠DFG=60°；④DE=

；⑤S△AEF=S△DFG．其中正确的说法有（　Ｄ　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

试题３、）在小学，我们已经初步了解到，正方形的每个角都是90°，每条边都相等．如图，在正方形ABCD外侧作直线AQ，且∠QAD=30°，点D关于直线AQ的对称点为E，连接DE、BE，DE交AQ于点G，BE交AQ于点F．

（1）求∠ABE的度数；

（2）若AB=6，求FG的长．

解：

（1）连接AE，如图1所示：

∵点D关于直线AQ的对称点为E，

∴AE=AD，AQ垂直平分DE，

∴∠EAQ=∠QAD=30°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，AB=AD，

∴AE=AB，

∴∠BAE=30°+30°+90°=150°，

∴∠ABE=

（180°﹣150°）=15°；

（2）由

（1）得：

AE=AD，∠EAD=60°，

∴△AED是等边三角形，ED=6，

∵AQ垂直平分DE，

∴EG=3，∠FGE=90°，

∵∠EAD=30°，∠AEB=15°，

∴∠EFG=∠FEG=45°，

∴EG=FG=3．

试题４、如图1，点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．

（1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并说明理由；

（2）如图2，设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：

BH=BC；

（3）将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图3，求cos∠DEM．

证明：

（1）CN=DM，CN⊥DM，

∵点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，

∴AM=DN

在△AMD和△DNC中，

，

∴△AMD≌△DNC（SAS），

∴CN=DM．∠CND=∠AMD，

∴∠CND+∠NDM=∠AMD+∠NDM=90°，

∴CN⊥DM，

∴CN=DM，CN⊥DM；

（2）如图，

延长DM、CB交于点P．

∵AD∥BC，

∴∠MPC=∠MDA，∠A=∠MBP，

在△AMD和△BMP中

∴△AMD≌△BMP（AAS），

∴BP=AD=BC．

∵∠CHP=90°，

∴BH=BC，

（3）如图，

∵AB∥DC，

∴∠EDM=∠AMD=∠DME，

∴EM=ED．

设AD=A′D=4k，则A′M=AM=2k，

∴DE=ME=EA′+2k．

在Rt△DA′E中，A′D2+A′E2=DE2，

∴（4k）2+A′E2=（EA′+2k）2，

解得A′E=3k，

∴在直角△A′DE中，cos∠DEM=

．

试题５、四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H

（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？

并证明；

（2）如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；

小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？

（1）答：

AB=AH，

证明：

延长CB至E使BE=DN，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠D=90°，

∴∠ABE=180°﹣∠ABC=90°

又∵AB=AD，

∵在△ABE和△ADN中，

，

∴△ABE≌△ADN（SAS），

∴∠1=∠2，AE=AN，

∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，

∴∠2+∠3=90°﹣∠MAN=45°，

∴∠1+∠3=45°，

即∠EAM=45°，

∵在△EAM和△NAM中，

，

∴△EAM≌△NAM（SAS），

又∵EM和NM是对应边，

∴AB=AH（全等三角形对应边上的高相等）；

（2）作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADB=∠ADC=90°

∴∠E=∠F=90°，

又∵∠BAC=45°

∴∠EAF=90°

延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，

又∵AE=AD=AF

∴四边形AEGF是正方形，

由

（1）、

（2）知：

EB=DB=2，FC=DC=3，

设AD=x，则EG=AE=AD=FG=x，

∴BG=x﹣2；CG=x﹣3；BC=2+3=5，

在Rt△BGC中，（x﹣2）2+（x﹣3）2=52

解得x1=6，x2=﹣1，

故AD的长为6．

四、其它对称

试题１、如图为等边三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D，E两点分别在AB，BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则点F到AC的距离为（　Ｂ　）

A．6

﹣6B．6

﹣6C．2

D．3

试题２、如图，正方形ABCD中，点P为CD上一点，线段AP的垂直平分线MN交BD于点N，点M为垂足，交两边于点E、F，连接PN，则下列结论，其中正确的有（　Ｄ　）

①∠DNP=∠DAP；

②PC=

BN；

③

为常数；

④MN=MF+NE．

A．1个B．2个C．3个D．4个

试题３、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上有两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为3，则线段DH长度的最小值是　

﹣1　．

试题４、如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，AE的垂直平分线分别交AE、BC于H、G，若CG=7，则正方形ABCD的面积等于　64　．

试题５、如图，在正方形ABCD中，点P为AD边上一点，PC的垂直平分线交PC于E交CB的延长线于F，连接PF交AB于G，连接CG．

（1）如图1，求证：

GC平分∠PGB；

（2）如图2连接AN，试判断线段PC与AN的数量关系，并给予证明．

（1）证明：

如图1，过点C作CH⊥FP于点H，

∴∠CHP=∠CHG=90°，

∵FE⊥平分PC，

∴FC=FP，

∴∠FPC=∠FCP，

∵正方形ABCD，

∴CD=CB，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，AD∥BC，

∴∠DPC=∠FCP，

∴∠FPC=∠DPC，

在△CPH和△CPD中，

，

∴△CPH≌△CPD（AAS），

∴CH=CD，

∵BC=CD，

∴CH=BC，

又∵AB⊥BC，CH⊥CP，

∴GC平分∠PGB；

（2）解：

如图2，连接PN，由

（1）知△CPH≌△CPD，Rt△CGH≌Rt△CGB，

∴∠BCG=∠HCG，∠DCP=∠HCP，

∴∠GCP=

∠DCB=45°，

∵FE⊥平分PC，

∴NC=NP，

∴△NCP是等腰直角三角形，

∴PC=

CN，PN=CN，

连接DN，作NK⊥DN交DC的延长线于点K，

则∠PND+∠CND=∠CNK+∠CND=90°，

∴∠PND=∠CNK，

∵∠NPD=45°+（90°﹣∠PCD）=135°﹣∠PCD，

∠NCK=180°﹣45°﹣∠PCD=135°﹣∠PCD，

∴∠NPD=∠NCK，

在△NPD和△NCK中，

，

∴△NPD≌△NCK（ASA），

∴NK=ND，

∴∠NDK=∠NKD=∠NDA=45°，

在△NAD和△NCD中，

，

∴△NAD≌△NCD（SAS），

∴NC=NA，

∴PC=

AN．