学年高中数学 331几何概型教学案 必修3doc.docx

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2019-2020学年高中数学3.3.1几何概型教学案必修3

教材分析：

和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率．它也是一种等可能概型．教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整．这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．

教学目标：

1.通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．

2.通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．

3.通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平．

教学重点与难点：

是随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等．教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动．

教学过程：

一、问题情境

如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜．

问题：

在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．

二、建立模型

1.提出问题

首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？

学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：

字母B所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：

变换图中B与N的顺序，结果是否发生变化？

（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）．

题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型．

注意：

（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的．

（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）．

2.引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

3.再次提出问题，并组织学生讨论

（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？

（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．

（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率．

通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法．

三、典型例题

1.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：

30～7：

30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：

00～8：

00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．

分析：

我们有两种方法计算事件的概率．

（1）利用几何概型的公式．

（2）利用随机模拟的方法．

解法1：

如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以

解法2：

设X，Y是0～1之间的均匀随机数．X＋6.5表示送报人送到报纸的时间，Y＋7表示父亲离开家去工作的时间．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．用计算机做多次试验，即可得到P（A）．

教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据．教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验．强调：

这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率．

2.如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．

解：

随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即

假设正方形的边长为2，则

由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以

这样就得到了π的近似值．

另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：

（1）产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；

（2）经平移和伸缩变换，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2；

（3）数出落在圆内a2＋b2＜1的豆子数N1，计算

（N代表落在正方形中的豆子数）．

可以发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高．

本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积．

［练　习］

1.如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域．

2.利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（y＝1和y＝x2围成的部分）的面积．

3.画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积．

作业：

课本

3.3.1几何概型

课前预习学案

一、预习目标

1.了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．

2.通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．

二、预习内容

1.，简称为几何概型．

2.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

3.讨论：

（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？

（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标：

了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．

学习重点与难点：

几何概型的计算方法．

二、学习过程：

例1.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：

30～7：

30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：

00～8：

00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．

分析：

我们有两种方法计算事件的概率．

（1）利用几何概型的公式．

（2）利用随机模拟的方法．

解法1：

解法2：

例2.如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．

解：

用计算器或计算机模拟，步骤如下：

（1）

（2）

（3）

三、反思总结

1、数学知识：

2、数学思想方法：

四、当堂检测

一、选择题

1.取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长

都不小于1m的概率是.

A.

B.

C.

D.不确定

2.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min.则乘客到达站台立即乘上

车的概率是

A.

B.

C.

D.

3.在1万km2的海域中有40km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意

一点钻探，钻到油层面的概率是.

A.

B.

C.

D.

二、填空题

1.如下图，在一个边长为3cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形，

向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________.

2.如下图，在一个边长为a、b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为

a与

a，高为b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________.

三解答题

1在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.

答案一、选择题

1.B2.A3.C

二、填空题

1.

2.

三、解答题解：

在AB上截取AC′=AC，于是P（AM＜AC）=P（AM＜

）

=

答：

AM的长小于AC的长的概率为

.

课后练习与提高

1．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是________.

2.如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在∠xOT内的概率是________.

3.如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为

的正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________.

4.在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少？

答案1.

2.

3.

4解：

取出10mL麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A，

则P（A）=

.

答：

含有麦锈病种子的概率为