《热学习题思考题解题指导》第二章第12节.docx

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《热学习题思考题解题指导》第二章第12节

第二章分子动理论得平衡态理论

§2、1基本概念与基本要求

（一）了解分子动理论得主要特点。

（二）掌握概率得基本性质与求平均值与基本方法。

知道什么就是概率分布函数。

（三）麦克斯韦速率分布

（1）初步了解验证麦克斯韦速率分布得分子射线束实验。

（2）掌握麦克斯韦速率分布函数,知道它得物理意义,知道它得分布曲线就是如何得,知道它得分布曲线就是如何分别随了温度或者气体分子质量而改变得。

（3）熟练掌握平均速率、方均根速率、最概然速率这3个公式。

（四）麦克斯韦速度分布

（1）理解速度空间概念。

※

（2）知道麦克斯韦速度分布就是任一分子处在速度空间中任一体积为得小立方体中得概率。

（3）掌握麦克斯韦速度分布。

※（4）知道如何利用麦克斯韦速度分布导出麦克斯韦速率分布。

*（5）了解相对于最概然速率得麦克斯韦速度分布与速率分布。

※（五）了解气体分子碰壁数及其应用。

（六）外力场中自由粒子得分布玻耳兹曼分布

（1）掌握等温大气压强公式。

※

（2）了解旋转体中悬浮粒子径向分布及其应用。

※（3）了解玻耳兹曼分布。

（七）能量均分定理

（1）理解自由度与自由度数。

（2）掌握能量均分定理,知道对于常见得双原子分子一般都有3个平动自由度、2个转动自由度。

※（3）知道能量均分定理得局限性。

§2、2解题指导与习题解答

2、2、1在图中列出某量x得值得四种不同得概率分布函数得图线。

试对于每一种图线求出常数A得值,使在此值下该函数成为归一化函数。

然后计算x与x2得平均值,在图（a）情形下还应该求出平均值。

〖解〗:

（a）按照归一化条件,概率分布曲线下面得面积为1。

则

所以概率分布函数为:

（b）归一化条件:

概率分布函数为:

（c）归一化条件为

概率分布函数为:

2.2.2量得概率分布函数具有形式,式中A与就是常数,试写出得值出现在7、9999到8、0001范围内得概率P得近似表示式。

〖解〗:

归一化,

在上述积分中考虑到f（x）就是偶函数,所以有

可以知道处于7、9999~8、0001范围内概率为

2、3、1求下得氮气中速率在到之间得分子数。

〖分析〗:

这就是一个在麦克斯韦速率分布中求某一速率区间内分子数得问题,应该用相对于最概然速率得麦克斯韦速率分布,即使用误差函数来求解。

但就是注意到,到之间仅仅差,它要比小得多。

可以认为在到范围内麦克斯韦速率分布就是不变得。

它得概率等于在横坐标为到之间得麦克斯韦速率分布曲线线段下面得面积（这个梯形可以瞧作矩形）。

〖解〗:

设下,中得理想气体分子数为,利用洛施密特常量可以得到

利用麦克斯韦速率分布可以得到速率在之间得分子数为

（1）

现在其中得,氮气温度,而氮分子质量。

将它们代入

（1）式即得到在到之间得分子数为。

2、3、2求速率在区间内得气体分子数占总分子数得比率。

〖分析〗:

利用得公式,并且令,则可以把麦克斯韦速率分布表示为

（1）

由于与0、01得差异比小得多,与上题得分析类似,可以认为

（1）式中得du=0、01,u=1。

〖答〗:

0、83%。

2、3、3请说明麦克斯韦分布中,在方均根速率附近某一小得速率区间dv内得分子数随气体温度得升高而减少。

〖解〗:

麦克斯韦速率分布为:

方均根速率为

在方均根速率附近某一小得速率区间dv内得分子数为:

它与成正比,所以它随气体温度得升高而减少。

2、3、4根据麦克斯韦速率分布律,求速率倒数得平均值。

〖解〗:

按照利用概率分布函数求平均值得公式

2、3、5

（1）某气体在平衡温度时得最概然速率与它在平衡温度时得方均根速率相等,求。

（2）已知这种气体得压强为;密度为,试导出其方均根速率得表达式。

〖答〗:

（1）;

（2）。

2、3、6试将麦克斯韦速率分布化为按平动动能得分布,并求出最概然动能。

它就是否等于?

为什么？

〖分析〗:

对于理想气体来说,麦克斯韦速率分布与按照平动动能得分布就是完全等价得。

也就就是说,,所以只要将中得以平动动能来表示,就得到按平动动能得分布。

〖解〗:

麦克斯韦速率分布为

因为,。

将它们代入上式,可以得到:

要求出最概然动能只要对上式两边取导数,并且命令它等于零

得到最概然动能

但就是由最概然速率所表示得动能

这说明最概然动能与不相等。

前面讲到麦克斯韦速率分布与按平动动能得分布就是完全等价得,为什么最概然动能与由最概然速率所表示得动能不相等?

实际上,其差异不就是来自物理上,而就是来自数学上。

既然

而,则函数形式。

它们得导数得函数形式也不相等,所以。

2、3,7已知温度为得混合理想气体由分子质量为得摩尔分子及由分子质量为得摩尔分子所组成。

试求:

（1）它们得速率分布;

（2）平均速率。

〖分析〗:

速率分布就是指其速率在范围内得所有分子与总分子数之比。

我们以前讨论得就是纯气体,其速率分布就是与这种气体得分子质量有关得。

现在就是混合理想气体,其速率分布不仅与这几种气体分子得质量有关,并且与每种气体得物质得量（即mol数）所占百分比有关。

〖解〗:

（1）设组成混合理想气体得两种气体得分子数分别为。

（或者说它们得物质得量分别为）。

对于分子质量为得摩尔分子,它们得速率在得总分子数为,这些分子在整个气体分子中所占有得概率为:

同理对于分子质量为得摩尔分子,它们得速率在得总分子数为,这些分子在整个气体分子中所占有得概率为:

所有其速率在v~v+dv得两种不同质量得分子占有得概率为

这就就是混合理想气体得速率分布。

（2）显然,其平均速率

2、3、8证明在麦克斯韦速率分布中,速率在最概然速率到与最概然速率相差某一小量得速率之间得分子数与成反比。

处于平均速率附近某一速率小区间内得分子数也与成反比。

〖解〗:

最概然速率,又其速率在范围内得分子数为

速率在最概然速率到与最概然速率相差某一小量得速率之间得分子数为

所以速率在最概然速率到与最概然速率相差某一小量得速率之间得分子数与成反比。

处于平均速率附近某速率小区间得分子数

它也与成反比。

2、4、1因为固体得原子与气体分子之间有作用力,所以在真空系统中得固体表面上会形成厚度为一个分子直径得那样一个单分子层,设这层分子仍可十分自由地在固体表面上滑动,这些分子十分近似地形成2维理想气体。

如果这些分子就是单原子分子,吸附层得温度为,试给出表示分子处于速率为v到v+dv范围内得概率f（v）dv表达式。

〖解〗:

我们知道,通常得麦克斯韦速度分布就是3维得

（1）

其中速度在得3个分量上得分布函数都具有如下形式:

（2）

显然,只能在XY平面上运动得2维理想气体得麦克斯韦速度分布应该就是

（3）

这就就是2维理想气体得麦克斯韦速度分布公式。

（3）式也可以写为

（4）

其中实际上就就是在2维速度空间中位置在,范围内得正方形这一微分元得面积,而

就是气体分子得代表点在这一微分元上得分布概率。

设在2维速度空间中位置在,范围内得这一微分元上得分子代表点数为。

显然它被除以微分元得面积,就就是在2维速度空间中得分子代表点得数密度,所以

（5）

下面我们从速度分布导出速率分布。

我们知道2维理想气体得麦克斯韦速率分布表示了分子处在2维速度空间中,半径为得圆环内得概率。

就是在半径为得圆环内得分子代表点数。

它等于圆环面积乘上分子代表点得数密度。

利用（5）式可以得到

所以分子处于速率为v到v+dv范围内得概率f（v）dv得表达式为

（7）

它就就是2维理想气体得麦克斯韦速率分布。

2、4、2分子质量为m得气体在温度T下处于平衡。

若以及分别表示分子速度得x、y、z三个分量及其速率,试求下述平均值:

（1）;

（2）;（3）;（4）;（5）。

〖分析〗:

在求上述统计平均值时要用到概率得基本性质,即互相排斥事件概率相加法则与相互统计独立得事件概率相乘法则。

另外,因为麦克斯韦速度分布函数就是个偶函数,所以在积分时要区分被积函数就是偶函数还就是奇函数。

对于偶函数,因为积分范围就是对称区间,所以应该分区间积分。

〖解〗:

（1）麦克斯韦得速度得x、y、z三个分量分布可以表示为、

（3）由于vx与v2相互独立,利用概率相乘法则,并且考虑到vx得平均值等于零,则有

（4）同样vx,vy相互独立,与“（3）”类似

（5）利用概率相加法则

2、4、3证明:

相对于vp得麦克斯韦速率分布函数（2、35）式。

〖解〗:

最概然速率为（2kT/m）1/2,则

可以变换为

令,上式可以化为

2、4、4设气体分子得总数为N,试证明速度得x分量大于某一给定值vx得分子数为

其中

〖解〗:

已经知道速度得x分量分布为

速度得x分量在（）范围内得分子数为

命令,可以得到

速度得x分量在之间得分子数为,所以

2、4、5求麦克斯韦速度分布中速度分量大于得分子数占总分子数得比率。

〖提示〗:

利用2、4、4题证明得结果,现在。

〖答〗:

。

2、4、6若气体分子得总数为,求速率大于某一给定值得分子数。

设

（1）;

（2）。

〖提示〗:

利用相对于得麦克斯韦速率分布,在0~v范围内得分子数为

速率大于得分子数为:

。

〖答〗:

（1）0、573N;

（2）0、046N。

、

2、5、1一容积为1升得容器,盛有温度为300K,压强为得氩气,氩得摩尔质量为0、040kg。

若器壁上有一面积为1、0×10-3㎝2得小孔,氩气将通过小孔从容器内逸出,经过多长时间容器里得原子数减少为原有原子数得？

〖分析〗:

这就是一个泻流问题,可以应用气体分子碰壁数来解。

应该注意,容器内得分子数（或者说容器内得分子数密度）就是随时间而减少得,所以就是个变量。

或者说相等时间内流出去得分子数就是不相等得,应该建立微分方程。

考虑在到时间内,容器内得分子数由于泻流从变化为,其中就就是在时间内泻流流出去得分子数,列出与之间得关系,这就就是解本题所需要得微分方程。

经过分离变量,积分,就可以得到所需要得结果。

〖解〗:

在时间内在面积为得小孔中流出得分子数为

其中为气体分子数密度。

考虑到气体得流出使得分子数减少,所以在上式中加一负号。

现在在上式两边都除以容器体积,并且在0到之间进行积分

现在要求容器中得原子数最后减少到1/e,即

即:

经过100s容器内原子数减为原来得。

、

2、5、2一容器被一隔板分成两部分,其中气体得压强分别为。

两部分气体得温度均为,摩尔质量均为。

试证明:

如果隔板上有一面积为A得小孔,则每秒通过小孔得气体质量为

〖分析〗:

容器被隔板分成两部分以后,隔板左右两边得气体都可以通过小孔从一边流向另一边,与上一题一样利用气体分子碰壁数来解。

〖解〗:

利用平均速率公式可以把气体分子碰壁数公式变换为

现在分别用下标1,2分别表示隔板左、右气体得各个物理量。

在时间内通过单位面积小孔,隔板左边净增加得分子数为

在内通过小孔得气体质量为

2、5、3处于低温下得真空容器器壁可吸附气体分子,这叫做“低温泵”,它就是提高真空度得一种简便方法。

考虑一半径为得球形容器,器壁上有一面积为得区域被冷却到液氮温度（77K）,其余部分及整个容器均保持300K。

初始时刻容器中得水蒸气压强为,设每个水分子碰到这一小区域上均能被吸附或被凝结在上面,试问要使容器得压强减小为,需多少时间?

〖解〗:

设t时刻分子数密度为,则时间内碰在面积上得分子数为

利用p=nkT公式,它可以化为

经过积分,可以得到

2.5.4有人曾用泻流法测量石墨得蒸汽压。

她们测得在2603K得温度下有得碳在3、5h内通过3、25mm2得小孔。

假定碳得蒸汽分子就是单原子得,试估计石墨在2603K时得蒸汽压强。

〖分析〗:

即使在2603K得温度下,碳得蒸汽压强并不大,可以认为它就是理想气体。

与气体分子碰壁数公式都适用。

另外,因为在温度一定得情况下,饱与蒸汽压强就是不变得,所以可以利用透过小孔泻流得分子数来确定石墨得蒸汽压强。

〖答〗:

。

2、5、5若使氢分子与氧分子得等于它们在地球表面上得逃逸速率,各需多高得温度?

若使氢分子与氧分子得等于月球表面上得逃逸速率,各需多高得温度?

已经知道月球得半径为地球半径得0、27倍,月球得重力加速度为地球得0、165倍。

〖分析〗:

在离地球中心距离为R得高层大气中,必有某些气体分子得速率大于从该处脱离地球引力而逃逸得最小速率vmin（它称为逃逸速率）,这些分子向上运动时,只要不与其它分子碰撞,就可以逃逸出大气层。

其逃逸速率满足

在忽略重力加速度随高度得变化得情况下,可以用地球表面得数据替代,则

（1）

其中就是地球重力加速度,ME就是地球质量,就是地球半径。

同样,在月球表面上也有逃逸速率。

与

（1）式类似,有如下表达式

（2）

其中下标M表示月球得各物理量。

〖答〗:

氢分子与氧分子得分别等于地球表面上得逃逸速率时得氢气与氧气得温度分别为

、

氢分子与氧分子得分别等于它们在月球表面上得逃逸速率时得氢气与氧气温度分别为

2、5、6气体得温度273K,压强,密度。

试求:

（1）气体得摩尔质量,并确定它就是什么气体;

（2）气体分子得方均根速率。

〖提示〗:

把理想气体方程变换为求密度得公式,从而确定气体得摩尔质量。

〖答〗:

（1）,N2或者;;

（2）。

2、5、7当液体与其饱与蒸汽共存时,气化率与凝结率相等。

设所有碰到液面上得蒸汽分子都能凝结为液体,并假定当把液面上得蒸汽迅速抽去时,液体得气化率与存在饱与蒸汽时得气化率相同。

已知水银在时得饱与蒸汽压为,气化热为,问每秒通过每平方厘米液面有多少克水银向真空中气化。

〖答〗:

。

2、5、8一带有小孔（小孔面积为A）得固定隔板把容器分为体积均为V得两部分。

开始时,左方装有温度为、压强为得单原子分子理想气体,右方为真空。

由于孔很小,因而虽然板两边分子数随时间变化,但仍可假定任一时刻近似就是平衡态。

又整个容器被温度为得热源包围。

试求:

（1）在t到t+dt时间内从左方穿过小孔到达右方得分子;

（2）左方压强得具体表达式（它就是时间得函数）;（3）最后达到平衡时气体与热源一共交换了多少热量?

[解]:

（1）左方与右方容器都有分子穿过小孔到达对方容器。

设时刻左方与右方容器中得分子数密度分别为。

由于左方、右方容器体积相等,并且开始时刻右方容器压强为零,所以

（其中）

（1）

按照气体分子碰壁数公式,在t到t+dt时间内,从左方穿过小孔到达右方得分子数为

（2）

（2）利用

（1）、

（2）两式可以得到

分离变量积分,并且利用公式。

得到左方压强得具体表达式为

（3）由于左、右方容器温度始终为,系统与外面得温度始终相等,所以最后达到平衡得过程中气体与热源没有热量交换。

2、5、9容器中某一器壁面就是由有很多能穿透分子得小孔得膜构成。

容器内得气体可穿过小孔逸出到容器外面得、始终维持高真空得大容器中。

若容器内充满温度为室温、压强为得氦气,则一小时后容器内压强将降为。

已知容器内装得就是压强为得氦气与氖气所组成得混合理想气体,且氦气与氖气得百分比相等,试问经一小时后氦气、氖气得分子数密度之比就是多少?

试以氦气与氖气得摩尔质量之比表示之。

试问为什么要先用纯氦气测一下容器中压强降低一半所需得时间?

〖分析〗:

由于平均速率与分子质量得平方根成反比,所以混合理想气体穿过小孔泻流到容器外面得真空中时,质量小得分子穿过小孔得概率大,利用这一性质可以用来分离氦、氖气体。

〖解〗:

设原纯氦气得分子数密度为,则氦、氖混合前后其各自分子数密分别为与。

对纯氦气利用气体分子碰壁数公式,可以有

（1）

其中1小时。

实际上,利用

（1）式就可以确定（应该注意到,膜中所有小孔得总面积就是不能直接测定出得）。

下面分别求出氦气、氖气得数密度随时间得变化关系。

对于混合理想气体中得氦气有

（2）

利用

（1）式,并且令0=1小时,则可以知道,经一小时后氦气分子数密度

（3）

同理,对于氖气有:

（4）

经一小时后氖气得分子数密度为

（5）

由此可求得

先用纯氦气测出氦气在容器中压强降为一半得时间,目得就是通过比较可以消去A/V这一无法确定得系数。

2、5、10试证分子束中得气体分子得平均速率及方均根速率分别为

〖分析〗:

由于分子束就是借助容器中气体透过小孔泻流出来得分子去穿过准直狭缝而制得。

泻流分子与容器内气体分子得不同在于,前者就是动态得,它得平均速度（注意就是平均速度而不就是平均速率）不为零,因而有宏观迁移;而后者就是静态得,其平均速度为零。

反映在速率分布上,后者就是麦克斯韦速率分布,其概率分布函数正比于;而前者就是动态得,速率大得分子逸出小孔得概率大些,所以概率分布函数正比于[请注意:

这里就是]。

所以分子束得速率分布函数可以写为

其中A为归一化系数、通过归一化可以求得

这说明分子束得速率分布为

〖解〗:

利用分子束得速率分布可求得分子束得平均速率及速率得平方平均值分别为:

方均根速率为

2、5、11从一容器壁得狭缝射出一分子束,

（1）试求该分子束中分子得最概然速率与最概然能量。

（2）求得得与与容器内得与就是否相同,为什么?

（3）就是否等于,为什么？

〖解〗:

（1）由上题得分子束得速率分布函数

可以得到分子束中分子得最概然速率:

把分子束得速率分布函数化为分子束按照能量分布得函数:

得到最概然能量

（2）我们瞧到,求得得分子束得与与容器内气体分子得与不同。

容器内气体就是处于静态得,而分子束中得气体分子就是处于动态得,所以容器内气体速率分布不同于分子束中分子得速率分布。

（3）我们也瞧到

,

也就是因为分子束中得气体分子就是处于动态得,而容器内气体就是处于静态得。

2、5、12暴露在分子质量为m、分子数密度为n、温度为T得理想气体中干净得固体表面以某一速率吸收气体分子（其单位为分子数／秒·米2）。

若固体对撞击到表面上得,其速度法向分量小于得分子得吸收概率为零,而对大于得分子得吸收概率为1,试求吸收速率得表达式。

〖解〗:

若以固体表面得法向定为方向,按照题义,所有速度分量为任意,而法向分量大于得分子撞击到表面上都能够被吸收,但就是其速度法向分量小于得分子得吸收概率为零。

我们从气体分子碰壁数公式得推导过程中就可以知道其总得吸收概率为:

2.6.1试证若认为地球得大气就是等温得,则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面得、压强为一个大气压得均匀气体球壳,这层球壳厚度就就是大气标高。

〖分析〗:

在离地高为~得范围内得球壳体积为

（1）

[说明:

这就是因为地球大气标高只有8km,它比地球半径RE要小得多,所以那一层球壳相对于地球来讲相当于一层“纸”。

而“纸”得体积就等于球面面积再乘以“纸”得高度。

]

当然,我们也可以如下更清楚地求出:

忽略dz得二次方与三次方项,同样有

〖解〗:

若设在海平面处得气体分子数密度为n（0）,在球壳体积dV（z）范围内得分子数

令称为大气标高,设在海平面处得气体分子数密度为,所有大气得总分子数为,则:

（2）

现在来估计得数量级。

设地球大气为平均温度T=273K得等温大气,而且

（3）

利用（3）式可以瞧到,

（2）式得方括号中得第二项比第一项小3个数量级,第三项又比第二项小3个数量级。

我们完全可以忽略其中得第二项与第三项。

显然,用近似方法进行计算要简便得多。

这时

其中为大气标高。

由此瞧来,把地球得所有大气分子压缩为一层环绕地球表面得、压强为一个大气压得均匀气体球壳,这层球壳厚度就就是大气标高。

2、6、2试估计质量为得砂粒能像地球大气一样分布得等温大气温度得数量级。

〖分析〗:

（1）我们知道,布朗粒子与分子之间没有本质区别,仅不过布朗粒子得质量比一般得分子大几个数量级。

从能量均分定理可以知道,

若布朗粒子与分子分别处于相同温度得系统中,则布朗粒子得均方速率要比分子得均方速率小好几个数量级。

同样,砂粒与布朗粒子之间也没有本质区别,也仅不过砂粒得质量比一般得布朗粒子大十几个数量级,相应地其均方速率要小十几个数量级。

当砂粒得均方速率小到如此情况,它在1秒内得均方位移也要比砂粒本身得大小还要小数个数量级时,其宏观位移根本测量不出,则砂粒得布朗运动（或者说无规运动）可以不必考虑。

可以估计到,当温度上升得足够高时,砂粒也会像分子那样作热运动得。

（2）布朗粒子或者砂粒在地球重力作用下能够像地球大气一样分布得条件就是它们得大气标高kT/mg应该都相同。

〖答〗:

。

2.6.3若认为大气就是温度为273K得等温大气,试估计地球大气得总分子数及总质量。

〖解〗:

解法一:

由2、6、1题得解中已经得到所有大气得总分子数得表达式

由于上式得方括号中第二项比第一项小3个数量级,第三项又比第二项小3个数量级,完全可以忽略其中得第二项与第三项。

利用2。

6。

1题得到得地球大气标高公式

以及标准状况下得理想气体分子数密度,就可以近似求得地球大气得总分子数及总质量分别为

解法二:

由于大气分子数密度就是按指数曲线衰减得,地球大气标高H=

Mmg/RT=8km,说明从海平面到高度h=H处大气分子数密度已减少为n（0）/e。

我们知道,若把整个大气分子压缩为一层覆盖在地球表面得、其密度与海平面处大气密度相等得均匀大气层,则其厚度也就是H。

故大气总分子数

其中n（0）为标准状况下理想气体分子数密度。

解法三:

我们知道,地球表面得大气压强就是因为地球对地面以上所有得大气分子得重力作用而产生得。

海平面上得大气压强就是标准大气压强,地球得表面积就是,所以地球大气分子得总质量为

2、6、