北京市西城区35中学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案.docx

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北京市西城区35中学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案

北京市第三十五中学2016-2017年度第一学期期中试卷

高一数学

I卷

一、选择题（共12个小题，每题4分，共48分•每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）

1设集合U止1,2,3,4M・1,2,3二N=「2,3,4?

，则eJM^N）二（）.

A•乩2?

B•[2,3?

C.「2,4?

D.3,4]

【答案】D

【解析】•••MnN=「2,3?

•••eu（MPIN）」1,4?

，选择d.

2.下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）.

【答案】C

【解析】•••函数中同一个向变量只能对应一个函数值,

•选择C.

3.

）•

203

B.（0.3）2：

：

log20.3：

：

2

D.20.3：

：

log20.3：

：

（0.3）2

三个数（0.3）2,20'3，log20.3的大小顺序是（

A.（0.3）2<20'3dog20.3

203

C.log20.3:

：

（0.3）：

：

2.

【答案】C

【解析】•••0<（0.3）2<1,20320=1,log20.3：

：

0,

•显然有log20.3：

：

：

（0.3）2：

：

：

20.3，选择C.

1

4.函数f（x）二-X的图象（）.

b.关于直线y=x对称

x

A.关于原点对称

c.关于x轴对称d•关于y轴对称

【答案】A

【解析】Tf（x）的定义域为（-：

：

0）U（0，•：

：

），关于原点对称，

r1

且f（-x）=xf（x）,

x

•••f（x）为奇函数，关于原点对称，选择A•

1

5.36_iog262的值是（）•

49g2

C.-1

A.

•••原式

1

-iog2（2巧

【答案】

【解析】

二6‘

7

=1.

•选择B.

6•下列函数中值域是（0,；）的是（）.

xL2

A.y=2x1（x0）B.y=3C.y=xD.y=-

x

【答案】B

【解析】•••A的值域为（1,；）,C的值域为R,D的值域为（-匚：

，0）U（0,■：

，选择B.

7.如图给出了某种豆类生长枝数

y（枝）与时间t（月）的散点图，那么此种豆类生长枝

数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是（）.

0123456789101112131415161718

C.y=t3

d.厂2七

2

A.y=2tb.y

【答案】B

【解析】•••由图像知模型越来越平滑，

•••只有B符合条件,

•••选择B•

8已知函数f（x）=（x—a）（x—b）（其中a:

:

:

b），若f（x）的图象如图所示，贝U函数g（x）=ax的图像是（）•

A•

【答案】A

【解析】t由图像易知：

b：

：

：

-1,0:

:

:

a：

：

：

1;

•g（x）=axb为减函数，

9•函数f（x）-x32x1一定存在零点的区间是（

）•

1-1

2,1

A•

a

0,4

『11

B•4,2C

【答案】

B

【解析】

•••f（x）

-x32x-1在（0,；）上单调递增，

又•••x=0时，g（x）=1b<0，与y轴加点在x轴下方;•选择A•

以上集合均属于（0,=），根据零点存在定理,

•••f（a）f（b）<0,

易知B选项符合条件，

•选择B•

D•（1,2）

A.

【答案】

31

a-

12

B

C._1：

：

：

a：

：

：

1

D.0：

：

：

a：

：

：

2

10.

）.

在R上运算：

x：

y=x（1—y），若不等式（x—a）：

（x•a）：

：

：

1对任意实数x成立，则（

【解析】不等式（x—a）：

（x•a）：

：

:

1化简为:

（x-a）（1-x-a）：

：

：

1,

即：

x2-xa-a21.0对任意x成立，

2

•••1-（a-a1）4<0,

解得—1:

：

:

a:

:

:

-，选择B.

22

x

11.函数f（x）,（a・R），若函数f（x）在（1,；）上为减函数，则实数a的取值范围是

x-a

（）.

A.（」：

1]B.（一匚1）C.（0,1]D.（0,1）

【答案】C

x

【解析】•••f（x）二，若f（x）在（1,；）上为减函数，

x—a

a0

二,

x_a0

•••0:

:

:

a<1，选择C.

12.如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）>log2（x1）的解集是（）.

C.lx|-1：

：

：

xw1/

A.lx|-1：

：

x<0fb.1x|-1wxw1/

D.lx|—1：

：

xw2;

【答案】B

【解析】作出函数y=log2（x1）的图像：

•••易知f（x）与y=log2（x1）相交于P（1,1）,

•••由图可知解集为〔-1,11,选择B.

二、填空题（共6个小题，每题4分，共24分•请将正确答案填在答题纸相应的题号处）

13•映射f:

x「匸，2的象为，2的原象为•

【答案】,2,4

【解析】2的象为,2,2的原象为22=4•

14.已知关于x的不等式-x2亠ax亠b0,（a,b二R）的解集为A=|一1：

：

：

x：

：

：

3,x•-Rj•则

a+b=•

【答案】5

【解析】易知人=-1和x2=3是x2-ax-b=0的两个根，

x<^x2=a

•••根据韦达定理可知-,

XtX2_-b

a--13=2,b--x^T3=3,

二ab=5•

ig（-x）,（xc0）

15.函数f（x）二1的零点为，单调减区间为

x+_,（x>0）Lx

【答案】,（-：

：

0）和（0,1）

【解析I：

lg（冈=0时，x=-1，合题,

当x0时,

••零点为x=1•

1f1t

Tf（X）二X时，f（x）=12,x=1时f（x）=0,

xx

•••当0

：

：

0,f（x）为单调减函数,

又Tf（x0=lg（-x）在（-：

：

0）上为单调减函数，

综上所述：

f（x）在（-二,0）和（0,1）上为单调减函数.

16•函数f（x）=log2X在区间12,2a］上的最大值与最小值之差为-，则a=

2

【答案】..2

【解析】•••f（x）=log2X在区间2,2aI上为单调增函数,

由题可得：

1

Iog2（2a）_log22二§,

/•lOg2

1

17.函数f（x）=的定义域为全体实数，则实数a的取值范围为

ax+2ax+3

【答案】[0,3）

1

【解析】①a=0时，f（x）=-，符合条件；

3

2•••a0时，等价于ax22ax30恒成立，•—：

：

0,

二有4a2-12a：

：

：

0,解得0：

：

：

a：

：

：

3;

3•••a<0时，等价于ax22ax3：

：

：

0恒成立,：

：

0,

••有4a2-12a：

：

：

0,无解，故不符合条件.

综上所述a的取值范围为[0,3）.

18.对于函数f（X），若f（X。

）=x），则称x0为f（x）的不动点”若f〔f（X0）]=X°，则称X。

为f（x）的稳定点”函数f（x）的不动点”和稳定点”的集合分别记为A和B，即

A={x|f（x）=x},B={x|f[f（x）]=x}.

（1）设函数f（x）=3x+4，则集合A=,B=.

（2）AB•（用=二，二填空）

【答案】

（1）1②,；、-2?

；

（2）

【解析】

（1）3x二x，解得x—2,

3（3x4）^x，解得x=-2,

•••B-—2?

.

（2）若A」，显然AB成立；若A-仓，设tA,

则f（t）二t,ff（t）I-f（t）=t,

•tB,

•••A-B.

三、解答题（共3个小题，共28分•请将正确答案填在答题纸相应的题号处）

19.（8分）已知集合A='x|x2-4x•3：

：

：

0』，集合BJ.x|x2'.

（1）化简集合A并求AP1B,aUb.

（2）若全集U=R，求bPIga）.

【答案】见解析

【解析】

（1）：

A=：

x|x2-4x3：

：

0』,

A=：

x卩：

：

：

x:

：

:

3},

•/B=「x|x.2?

•••AflBJx|2：

：

：

x：

：

：

3?

AUb・]x|x1,.

（2）TeuA={x|xw1或x>3},

BD（euA）=\x|x>3}.

1

20.（0分）已知函数f（x）=1—r.

x

（I）证明函数f（x）为偶函数.

（n）用函数的单调性定义证明f（x）在（0,；）上为增函数.

【答案】见解析

【解析】（I）：

f（x）定义域为（-：

：

0）U（0,；），关于原点对称,

11

又•••f（_x）=12=12二f（x）,

（—x）x

•f（x）为偶函数.

（n）证明：

取人,冷•（0,；），且人x?

11

f（为）-f（X2）巳--2

X2X1

（为X2）（X1「X2）c

2―2••严0.

X1X2•••f（x）在（0,：

：

）上为增函数.

2

21.（0分）函数f（x）=x-2x.

（I）若x•0,3],求函数f（x）的最小值和最大值.

（n）讨论方程f（x）二m,（mR）的根的情况（只需写出结果）（川）当t,t3],「R时，求函数f（x）的最小值.

【答案】见解析

2

【解析】（I）Tf（x）=x-2x，关于X=1对称，开口向上，

•fma!

=f⑶=9一6=3,fnSnf

（1）=1-2=「1.

（n）作出|f（x）|的图像如图：

易得当m：

：

：

0时，方程无根；当m=0时，方程有两个根；当0:

:

m：

:

:

1时，方程有四个根；当m=1时，方程有三个根；当m1时，方程有两个根.

（川）当t

（1）=—1，此时-2

当t>1时，fmS=f（t）二『-2t；

当t+3<1时，即t<-2时，梯讣=f（t+3）=t2+4t+3.

n卷

一、填空题（共5个小题，每题4分，共20分，请将正确答案填写在答题纸相应题号处）

©xX<1

22.已知函数f（x）=§'若f（a）=2，则a=.

严xa1,

【答案】lOg32

【解析】•••3a=2时，a=log32：

：

：

1，符合题意；

又•••£=2时，a--2：

：

：

1，不合题，舍去；

a=log32.

23.已知函数f（x）=3x2—mx+1在（-^,-2］上递减，在［-2,畑）上递增，则m=

【答案】-12

【解析】已知f（x）等于x』对称，

6

m=—12.

24.若函数符合条件f（x）f（y^f（xy），贝卩f（x）二（写出一个即可）.

【答案】2x

【解析】易知2x2y=2xy,

•-f（x）=2x符合条件.

25.设f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）在（0,；）上是减函数，且2是函数f（x）的一个

零点，则满足xf（x）>0的x的取值范围是.

【答案】（-2,0）U（0,2）

【解析】tx0时，f（x）0时xf（x）0成立，

又•••f（x）在（0,；）上是减函数，f

（2）=0,

0：

：

x：

：

2,

又•••x<0时，f（-2）=-f

（2）=0,f（x）在（-：

：

0）上单调减，

•--2：

：

x：

：

0.

综上所述X.（_2,0儿（0,2）•

26.已知集合U“1,2,川,n],n・N*，设集合A同时满足下列三个条件：

1AU；

2若x三A，则2xA；

3若x•euA，贝y2x-euA.

（1）当n=4时，一个满足条件的集合A是.（写出一个即可）

（2）当n=7时，满足条件的集合A的个数为.

【答案】

（1）；2:

或认，或「2,3?

或「1,3,4：

；

（2）16

【解析】

（1）易知n=4时，U二1,2,3,4匕

由条件易知：

当1-A，则2，A,

•••2€euA，贝y4更euA,

即4A，元素3与集合的关系无法确定.

故A=：

1,4』，或A=!

1,3,4I,

当2A，则4A,VA，但元素3与集合关系无法确定，

故A」2?

，或A」.2,3?

.

（2）n=7时，U-\1,2,3,4,5,6,7/,

由条件易知1,4必需属于A，此时2属于A的补集；

或1,4必须同时属于euA，此时2属于A;

3属于A时，euA；

3属于euA时，6A;

而元素5,7没有限制，故满足条件的集合A共有24=16个.

二、解答题（共3个小题，共30分•请将正确答案填在答题纸相应的题号处）

27.（满分10分）设函数f（x）=aX十—2（a》0，且aH1），若y=f（x）的图象过点（1,7）.

（1）求a的值及y=f（X）的零点.

5

（2）求不等式f（x）>—的解集.

【答案】见解析

【解析】

（1）vf（x）经过点（1,7）,即f

（1）=a2-2=7,

又•••a0,

•a=3,

•f（x）=3x1-2=0时，

（2）•••f（x）>-5即3x^-2>-5,

33

--3>3_,

•••x1>-1,

•••x>-2,

•不等式解集为［-2,；）.

28.（满分10分）

已知函数f（x）二X（x・a）（a・R）的奇函数.

（I）求a的值.

（H）设b0，若函数f（x）在区间〔』,b上最大值与最小值的差为b，求b的值.

【答案】见解析

【解析】（I）：

f（x）为奇函数，

•f（—x）=|-x|（a—x）=-f（x）=-|x|（xa）,

…a=0.

Ix2,x>0

（n）：

f（x）二2门，

—X,X£0

•f（x）在R上为单调增函数，又：

b0,

•f（b）-f（-b）=b,

•-2f（b）=b，即2b2=b,

1

--b=—.

2

29.（1分）设f（x）是定义在〔-1,11上的奇函数，且f

（1）=1，若a,b：

=「1,1],a5=0有丄亠0恒成立.

ab

（I）求证：

函数f（x）在1-1,11上是增函数.

（n）解不等式f（2x2-3x）：

：

0.

（川）若f（x）

【答案】见解析

【解析】（I）证明：

任取为,X2打1,11,且X1：

：

X,

：

f（x）是奇函数，

则有f（X1）-f（X2）=f（xjf（-X2）

f（X1）f（-X2）

X1（-X2）

（x—X2）,

f（a）f（b）

ab

•0,即

f（xjf（-X2）

X1（-X2）

x1-^x2:

:

0,

f（X,）-f（X2）：

：

0.

则f（x）在1-1,1］上是增函数.

（□）•••f（x）定义域关于原点对称的奇函数，

•••f（0）=0.

又•/f（x）在1-1,1上单调增,

1-1<2x-3xw1

•••有2,

2x_3x：

：

：

0

13

解得0:

:

xw或1wX.

22

不等式的解集为0,2u1,|.

（川）•••f（x）是I-1,11上的增函数，

•fmax二f⑴i,

二m2—2amT》1对于所有x・丨-1,11,aI-1,1恒成立，

即m2-2am》0恒成立，

-~F<*■

1当m=0时，0>0成立，垃.$d\：

~V_

2m=0时，令g（a）--2ma，m2,g（a）是关于aI-1,11的一次函数,

!

g

（1）=_2m+m2>0

仅需2,

、g（_1）=2m+m>0

解得mw-2或m>2或m=0,

综上所述m=0,或mw-2或m\2.

选做.（满分10分，但总分不超过150分）

般地，我们把函数h（x）=anxn•缶丄xn」Jl|*低工（N）称为多项式函数，其中系数a。

a1,,a「R.

设f（x）,g（x）为两个多项式函数，且对所有的实数x等式flg（x^=glf（x）1恒成立.

（I）若f（x）=x23,g（x）二kxb（k=0）.

1求g（x）的表达式.

2解不等式f（x）「g（x）•5.

（H）若方程f（x）二g（x）无实数解，证明方程f[f（x）.l-g〔g（x）]也无实数解.

【答案】见解析

【解析】（I）①•••fLg（x^-glf（x）],

即有（kxb）23=k2x22kbxb23=k（x23）b,

即有k2x22kbxb23二kx23kb,

k=k2

2kb=0

2

b3=3kb

k

b=0

g（x）=x.

②f（x）-g（x）5，即x^x35,解得x2或x：

：

：

_1.

（n）反证法：

设F（x）二f（x）「g（x）,则F[f（x）]=f[f（x）]-gIf（x）],Flg（x^-f[g（x）]_glg（x）],若结论成立，则F[f（x）l：

：

；F[g（x）]-0,即FIf（x）]-_Flg（x）]，

说明存在一点a介于f（x）与g（x）之间，

满足F（a）=0.

•/f（x）=g（x）无实数解，则F（x）=0永远不成立,•••假设不成立，

.原命题成立.