抽象函数奇偶性的判定doc.docx

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抽象函数奇偶性的判定doc

专题一抽象函数奇偶性的判定及应用

探究一：

抽象函数的单调性和奇偶性问题

抽象函数的具体模型

/（x+y）=+f（y）/（切=fM+/（y）

f（x+y）=/（%）/（y）=/（x）/（y）

类型一：

抽象函数证明函数的奇偶性问题

①xg/?

/（兀）满足f（x+y）=/（%）+/（刃，如何证明/（兀）为奇函数?

®xeRf/（兀）满足/（xy）=/（x）+/（y）,如何证明/O）为偶函数？

类型二：

抽象函数证明函数的单调性问题

①若xwR,且/仏+刃=/（Q+/（y）、f（xy）=f（x）+f（y）证明其单调性

②若xg/?

f（x+y）=f（x）f（y）>f（xy）=f（x）f（y）证明其单调性

探究二：

函数性质（单调性、奇偶性）定义经典试题

一、判断单调性和奇偶性

1.判断单调性

根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数,问题迅速获解。

例1.如果奇函数/（兀）在区间［3,7］上是增函数且有最小值为5,那么

/（力在区间［—7,-3］上是

A.增函数且最小值为一5B.增函数且最大值为一5

C.减函数且最小值为一5D.减函数且最大值为一5

分析：

画出满足题意的示意图，易知选B。

例2.偶函数/（兀）在（0,+00）上是减函数，问/（兀）在（-00,0）上是增函数还是减函数，并证明你的结论。

分析：

如图所示，易知/（兀）在（-8,0）上是增函数，证明如下：

任取X]-x{>-x2>0个y

J

因为/（X）在（0，+00）上是减函数，所以/（-%!

）

OX

又/（X）是偶函数，所以/（—州）=/（坷），/（—勺）=/（花），

从而/（xI）

2.判断奇偶性

根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求/（兀）与/（-x）的关系。

例3.若函数y=/（x）（/（x）0）与y=-/（x）的图象关于原点对称,判断：

函数

y=/（x）是什么函数。

解：

设y=fW图象上任意一点为P（兀（），旳）•/y=f（x）与y=—/（x）的图象关于原点对

称，/.P（x0,A。

）关于原点的对称点（一兀0，-歹0）在『=-f（x）的图象上，

-刃）=_/（_xo）

•••凡=/（_兀。

）

又y0=于（兀°）•••于（-兀°）=/（兀。

）

即对于函数定义域上的任意X都有/（-X）=/（X）,所以y=/（X）是偶函数。

二、证明单调性和奇偶性

1.证明单调性

例4・已知/（切对一切x,y,满足/（0）工0,/（x+y）=/（x）・/（y）,且当兀<0吋,

/（x）>1,求证：

（1）无>0时，0

（2）/（兀）在R上为减函数。

证明：

•・•对一切x,ywR有f（x+y）=f（x）•f（y）。

且/（0）工0,令x=y=0f得/（0）=1,

现设兀>0,则一兀<0,f（-x）>1,而/（0）=/（x）-f（-x）=1

•••心）=爲>1

/.0

设兀］,丘尺且码V

x2,则0vf（x2-xj<1,

/（^2）=/［（兀2一兀］）+西］=f匕2一XJ•/（E）

・•・/（兀J>/（兀2），

2.证明奇偶性

即/（-V）为减函数。

例5.已知于⑴的定义域为R,且对任意实数X,y满足f（xy）=f（x）+f（y）,求证：

/（兀）是偶函数。

分析：

在/（与）=/（“）+/（y）中’令x=y=\f

W/（l）=/（l）+/（l）=>/（l）=0

令x=y=-\,得/（I）=/（-I）+/（-I）=>/（-I）=0

于是/（一兀）=/（-I•Q=/（一1）+/U）=/（x）故/（x）是偶函数。

三、求参数范围

这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增

减性，去掉符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

例6.已知/（兀）是定义在（一1,1）上的偶函数，且在（0,1）上为增函数，满足f（a-2）-/（4-6/2）<0,试确定。

的取值范围。

解：

•・•/*&）是偶函数，且在（0,1）±是增函数，/./（x）在（―1,0）上是减函数，

1V。

—2vlI—/—

由｛?

得V3<«

[j<4-/vi

（1）当a=2吋，/@一2）=/（4-/）=/（0）,不等式不成立。

2）当y[3

/（g-2）v/（4-/）

-\

=f（a2-4）o<_[v/_4v0

a-2>a2-4

解之得，V3<6r<2

（3）当2

0

=f（a2-4）<=><0

a-2

■

解之得，2

综上所述，所求d的取值范围是（JL2）U（2,V5）o

四、不等式

1.解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去

掉函数符号“/”，转化为代数不等式求解。

例7•已知函数/（兀）对任意兀,ywR有f（x）+f（y）=24-f（x4-y）,当兀>0时，/（兀）>2,

/（3）=5,求不等式f（a2-2a-2）<3的解集。

解：

设x2g/?

且兀］ex?

则兀2—兀］>0f（x2-X））>2,

即f（x2-x,）-2>0,

f（x2）=f［（x2+

=/（兀2-山）+/（"）-2>/（x（）

・•・/（兀2）>/（兀1）

故/（兀）为增函数，

又/（3）=f（2+1）=/

（2）+/

（1）-2=3/

（1）-4=5

・•・/

（1）=3

・•・fQci?

—2c—2）v3=

艮卩—2d—2v1

.*.—1ci3

因此不等式f（a2-2a-2）<3的解集为{a\-l

2.讨论不等式的解

求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。

例8,.已知/（Q是定义在［-1,1］上的奇函数，若«,/7g［-1,1］,且a+h^0时，恒有、/（。

）十./0）>o.

（1）判断/（兀）在［_1」］上是增函数还是减函数，并证明你的结论；a+b

（2）解不等式/（5x-l）

五、比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。

例9,已知函数/（x）是定义域为R的偶函数，兀<0时，/（无）是增函数，若X,<0,x2>0,

且kj<|x2|,则/（-Xj）,f{-X2）的大小关系是。

分析：

VX）<0,兀2>0且1兀11<1兀2，/.0<-XI-X2

又xvO吋，于（劝是增函数，

••・/（—兀2）V/（K）•・•/（X）是偶函数.-./（-X1）=/（x1）

故/（一禹）>/（一兀2）1・对于定义在R上的函数/（X）,给出三个命题：

（1）若f（-2）=f

（2）,则/（兀）是偶函数;

（2）若/（・2）工/⑵,则/（兀）不是偶函数；

（3）若/（-2）=/

（2）,则/（兀）一定不是奇函数.其中正确命题的序号为

2.下列命题中，说法正确的是

（1）若定义在R上的函数/（兀）满足/

（2）>/⑴，则函数/（兀）是R上的单调增函数；

（2）若定义在上的函数于（力满足/

（2）>/（I）,则函数/（x）不是/?

上的单调减函数；

（3）若定义在/?

上的函数/（兀）在区间（-oo,0］上是单调增函数，在区间［0,+oo）上也是单

调增函数，则函数/（兀）是/?

上的单调增函数；

（4）若定义在/?

上的函数/（兀）在区间（-8,0］上是单调增幣数，在区间（0,+oo）上也是单

调增函数，则函数/（X）是R上的单调增函数；

变式：

若定义在R上的函数对任意的xpx2g/?

都有/（x1+x2）=/（x1）+/（x2）4-2成立，且当兀>0时，f（x）>-2.

（1）求证：

f（x）+2是奇函数；

（2）求证：

/（兀）是7?

上的增函数;

函数y=f（x）,满足Vxrx2eR都有f（xi+x2）=f（xi）+f（x2）-3,

（1）判断函数f（x）-3的奇偶

性并予以证明⑵若f（x）最大值为M,最小值为ni,求M+m

分析;恰当赋值，用定义可证奇偶性，应用奇偶性可求M+m

解析；令=x2=0,则f（0+0）=f（0）+f（0）-3得/（0）=3,令x.=x,x2=一兀则f（x-x）=f（x）+f（-x）-3得f（x）+f（-x）=6,令g（x）=/（x）-3则g（-x）=/（-兀）一3=3-/（x）=一&（兀）所以f（x）-3为奇函数。

⑵g（x）niax=A/-3,£&）価=加一3,vg（x）为奇函数图像关于原点对称

vA/-3=^（x0）,加一3=&（—兀）所以M+加=6

点评：

奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法，恰当赋值找出f（x）+f（・x）=6是关键

2,函数y=f（x）,满足a.beR,f（ab）=af（b）+bf（a）,

（1）求/（0）,/

（1）的值，⑵判断并证明f（x）的奇偶性

解析；令a=b=0y则/（0）=0,令a=h=I则/（l）=0

（2）/（l）=/[（-l）x（-l）]

=（-l）x/（-1）+（-l）x/（-1）=-2/（-1）得/（-1）=0再令

a=-l,b=x^/（-x）=（-1）x/（%）4-x•/（-1）=-/（x）,所以f（x）为奇函数

点评:

要判断f（x）的奇偶性必先求出/（-1）,而把1写成（-l）x（-l）是关键

3,定义在R上的函数）yf（x）满足/（2-兀）=/（2+劝，且在[0,7]上只有

/（I）=/（3）=0,判断f（x）的奇偶性并说明理由

解析；・・•f（x）在[0,7]上只有/（I）=/（3）=0令x=3则/（-1）=/（2-3）=/（2+3）=/⑸工0所以/（-I）工/

（1）,/（—1）丰-/

（1）所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数。

点评:

判定一个命题不成立，只需举出反例即可。

4,已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件/（%+号）=—/（兀），且函数y=/（x-|）是奇

函数，判断y=f（x）的奇偶性并说明理由

解析；因为尸—弓）是奇函数，所以/（-x-|）=用兀替代得

/（-x~i）=~/（兀）又f（x+号）=一/（x）/（-兀—咅）=f（x+号）=/（—兀）=/（兀）所以f（x）为偶函数

5,定义在R上的函数），=f（x）满足:

/

（1）=+，4/（x）/（,y）=f（x+y）+f（x-y\x,ywR）判断y=f（x）的奇偶性并说明理由

解析；令兀