抽象函数奇偶性的判定doc.docx

1、抽象函数奇偶性的判定doc专题一抽象函数奇偶性的判定及应用探究一：抽象函数的单调性和奇偶性问题抽象函数的具体模型/(x+ y) = + f(y) /(切=fM + /(y)f(x +y) = /(%)/(y) = /(x)/(y)类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题xg /?, /(兀)满足f(x+y) = /(%) + /(刃，如何证明/(兀)为奇函数? xeRf /(兀)满足/(xy) = /(x) + /(y),如何证明/O)为偶函数？类型二：抽象函数证明函数的单调性问题若xwR,且/仏+刃= /(Q + /(y)、f(xy) = f(x) + f(y)证明其单调性若 x g /?, f

2、(x+y) = f(x)f(y) f(xy) = f(x)f(y)证明其单调性探究二：函数性质(单调性、奇偶性)定义经典试题一、判断单调性和奇偶性1.判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数, 问题迅速获解。例1.如果奇函数/(兀)在区间3, 7上是增函数且有最小值为5,那么/(力在区间7, -3上是A.增函数且最小值为一5 B.增函数且最大值为一5C.减函数且最小值为一5 D.减函数且最大值为一5分析：画出满足题意的示意图，易知选B。例2.偶函数/（兀）在（0, +00）上是减函数，问/（兀）在（-00, 0）上是增函数还是减函数，并证 明你的结论。分析：如图

3、所示，易知/（兀）在（-8, 0）上是增函数，证明如下：任取X x2 -x -x2 0 个yJ因为/（X）在（0，+00）上是减函数，所以/（-%!）O X又/（X）是偶函数，所以/（州）=/（坷），/（勺）=/（花），从而/（xI）/（x2）,故/（兀）在（-00, 0）上是增函数。2.判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求/（兀）与/（-x）的关系。例3.若函数y = /（x）（/（x） 0）与y = -/（x）的图象关于原点对称,判断：函数y = /（x）是什么函数。解：设y = fW图象上任意一点为P（兀（），旳）/y = f（x）与y = /（x）的图象关于原点对称，/.

4、P（x0, A。）关于原点的对称点（一兀0，-歹0）在=-f（x）的图象上，-刃）=_/（_xo）凡=/（_兀。）又y0 =于（兀） 于（-兀）= /（兀。）即对于函数定义域上的任意X都有/（-X）= /（X）,所以y = /（X）是偶函数。二、证明单调性和奇偶性1. 证明单调性例4已知/(切对一切x, y,满足/(0)工0, /(x + y) = /(x)/(y),且当兀 1,求证：(1)无0时，0/(兀)0,则一兀 1,而 /(0) = /(x) - f (-x) = 1心)=爲 1/. 0 f(x) 1,设兀,丘尺且码Vx2,则 0 v f(x2 -xj 1,/(2)= /(兀2 一兀)

5、+ 西=f 匕2 一 X J /(E)/(兀2)，2.证明奇偶性即/(-V)为减函数。例5.已知于的定义域为R,且对任意实数X, y满足f(xy) = f(x) + f(y),求证：/(兀)是 偶函数。分析：在 /(与) = /(“) +/(y)中令 x = y=fW/(l) = /(l) + /(l)=/(l) = 0令x=y = -,得/(I) = /(-I) + /(-I) =/(-I) = 0于是 /(一兀)=/(-I Q = /(一1) + /U) = /(x) 故/(x)是偶函数。三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉

6、符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例6.已知/(兀)是定义在(一1, 1 )上的偶函数，且在(0, 1)上为增函数，满足 f(a-2)-/(4-6/2)0,试确定。的取值范围。解：/*&)是偶函数，且在(0, 1) 是增函数， /. /(x)在(1, 0)上是减函数，1 V。 2vl I /由 ?得V3V5 oj4-/ vi(1) 当a = 2吋， /一2) = /(4-/)= /(0),不等式不成立。2)当 y3a2 时，/(g-2)v/(4-/)- a-2 0=f(a2 -4) o a2 -4解之得，V3 6r2(3)当2ayf5 时， /(a 2) /(4 亍)

7、0a-2=f(a2 -4) 0a2 -4 1a-2a2 -4解之得，2a0时，/(兀) 2,/(3) = 5,求不等式f(a2-2a-2)0 f(x2 -X) 2 ,即 f(x2 -x,)-20,f(x2) = f(x2 +=/(兀2 - 山)+ /( ) - 2 /(x()/(兀2)/(兀1)故/(兀)为增函数，又 /(3) = f(2 + 1) = /(2) + /(1)-2 = 3/(1)-4 = 5 / (1) = 3 fQci? 2c 2) v 3 =艮卩 2d 2 v 1.*. 1 ci 3因此不等式f(a2-2a-2)3的解集为a-l ao. (1)判断/(兀)在_1上是增函数还

8、是减函数，并证明你的结论； a + b(2) 解不等式/(5x-l)/(6x2)五、比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内， 然后利用其单调性使问题获解。例9,已知函数/（x）是定义域为R的偶函数，兀0时，/（无）是增函数，若X, 0,且kj|x2| ,则/（-Xj ） , f-X2 ）的大小关系是 。分析：VX）0且 1兀111 兀2， /.0-XI -X2 Xj /（一兀2）1对于定义在R上的函数/（X）,给出三个命题：（1）若f（-2） = f（2）,则/（兀）是偶函数;（2）若/（2）工/,则/（兀）不是偶函数；（3）若/（-2） = /（2）,则

9、/（兀）一定不是奇函数.其中正确命题的序号为 2. 下列命题中，说法正确的是 （1） 若定义在R上的函数/（兀）满足/（2） /，则函数/（兀）是R上的单调增函数；（2） 若定义在上的函数于（力满足/（2） /（I）,则函数/（x）不是/?上的单调减函数；（3） 若定义在/?上的函数/（兀）在区间（-oo,0上是单调增函数，在区间0,+oo）上也是单调增函数，则函数/（兀）是/?上的单调增函数；（4） 若定义在/?上的函数/（兀）在区间（-8,0上是单调增幣数，在区间（0,+oo）上也是单调增函数，则函数/（X）是R上的单调增函数；变式：若定义在R上的函数对任意的xpx2 g/?都有/（x1+

10、x2） = /（x1） + /（x2）4-2成立，且 当兀0时，f（x）-2. （1）求证：f（x） + 2是奇函数；（2）求证：/（兀）是7?上的增函数;函数 y = f (x),满足 Vxrx2 e R 都有 f (xi+x2)= f (xi)+ f (x2)-3, (1)判断函数 f (x)-3 的奇偶性并予以证明 若f(x)最大值为M,最小值为ni,求M+m分析;恰当赋值，用定义可证奇偶性，应用奇偶性可求M+m解析；令=x2 =0,则 f(0+0)= f(0)+ f(0)-3 得 /(0)= 3 ,令x. =x,x2 = 一兀则 f(x-x)= f(x)+ f(-x)-3 得 f(x)

11、+ f(-x)=6,令 g(x) = /(x)- 3 则 g(- x) = /(-兀)一 3 = 3 - /(x) = 一&(兀)所以 f(x)-3 为奇 函数。g (x)niax = A/ - 3 , &)価=加一 3, v g(x)为奇函数图像关于原点对称vA/-3 = (x0),加一3 = &(兀)所以M + 加=6点评：奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法，恰当赋值找出f(x)+f(x)=6是关键2, 函数 y = f(x),满足 a.beR, f(ab) = af(b) + bf(a), (1)求 /(0),/(1)的值，判断并证 明f(x)的奇偶性解析；令a = b = 0y

12、则/(0)= 0,令a = h = I 则 /(l) = 0(2)/(l) = /(-l)x(-l)= (-l)x /(-1) + (- l)x /(-1) = -2/(-1) 得 /(-1) = 0 再 令a = -l,b = x /(-x) = (-1)x /(%)4-x /(-1) = -/(x),所以 f(x)为奇函数点评:要判断f(x)的奇偶性必先求出/(-1),而把1写成(-l)x(-l)是关键3, 定义在R上的函数)y f(x)满足/(2-兀)=/(2 +劝，且在0,7上只有/(I) = /(3) = 0 ,判断f(x)的奇偶性并说明理由解析； f(x)在 0,7 上只有 /(I

13、) = /(3) = 0 令 x = 3 则 /(-1) = /(2-3)= /(2 + 3)= /工 0 所以 /(- I)工 /(1), /( 1)丰-/(1)所以 f(x)既不是奇 函数也不是偶函数。点评:判定一个命题不成立，只需举出反例即可。4, 已知定义在R上的函数y =f(x)满足条件/(% +号) = /(兀)，且函数y = /(x-|)是奇函数，判断y = f(x)的奇偶性并说明理由解析；因为 尸 弓)是奇函数，所以/(-x-|)= 用兀替代得/(-xi)= /(兀)又 f(x+号)=一/(x) /(-兀咅)=f(x+号)=/(兀)=/(兀)所以 f(x) 为偶函数5, 定义在R上的函数)，=f(x)满足:/(1) = +，4/(x)/(,y) = f(x + y) + f(x-yx,ywR) 判断y = f(x)的奇偶性并说明理由解析；令兀