山东大学离散数学题库及答案计本.docx
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山东大学离散数学题库及答案计本
一、选择或填空
（数理逻辑部分）
1、下列哪些公式为永真蕴含式?
（）
（1）—Q=>（→P
（2）—Q=〉P→Q⑶P=>P→Q（4）—P（PQ）=>-P
答：
（1），（4）
2、下列公式中哪些是永真式？
（）
（1）（∏PQ）→（Q→一R）
（2）P→（Q→Q）⑶（PQ）→P（4）P→（PQ）
答：
（2），（3），（4）
3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?
（）
（1）P=>PQ⑵PQ=>P⑶PQ=>PQ
⑷P（P→Q）=〉Q（5）—（P→Q）=〉P（6）—P（PQ）=>一P
答：
（2）,（3）,（4）,（5）,（6）
4、公式-X（（A（X）rB（y,x））ZC（y,z））「.D（x）中，自由变元是（），约束变元是（）
答：
χ,y,χ，z
）,而命题“所有的人都是要死的”的否定是（）
5、判断下列语句是不是命题。
若是，给岀命题的真值.（）
（1）
北京是中华人民共和国的首都。
（2）
陕西师大是一座工厂。
⑶
你喜欢唱歌吗？
（4）
若7+8〉18，
则三角形有4条边。
（5）
前进！
（6）
给我一杯水吧!
答：
（1）是，
T
（2）
是,F（3）
不是
（4）是，
T
（5）
不是（6）
不是
6、命题“存在一些人是大学生”的否定是
（
答：
所有人都不是大学生,有些人不会死
7、设P:
我生病,Q：
我去学校，则下列命题可符号化为（）
（1）只有在生病时，我才不去学校
（2）若我生病，则我不去学校
（3）当且仅当我生病时，我才不去学校（4）若我不生病，则我一定去学校
答：
（1）-Q-；P
（2）P■—Q（3）P∙-Q（4）一P—；Q
8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是（）。
（1）-Xy（x+y=0）
（2）y—x（x+y=0）
答：
（1）对任一整数X存在整数y满足x+y=0
（2）存在整数y对任一整数X满足x+y=0
9、
设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：
（1）-Xy（xy=y）（
）
（2）X-y（χ+y=y）
（）
（3）X—y（x+y=x）（
）
（4）—Xy（y=2x）
（）
答：
（1）F
（2）F（3）
F
（4）T
10、
设谓词P（X）:
X是奇数，
Q（X）
：
X是偶数，谓词公式
X（P（X）Q（X））在哪个个体域中为真？
（）
（1）
自然数
（2）实数
⑶
复数（4）
（1）-—（3）
均成立
答：
（1）
11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）
答：
2不是偶数且—3不是负数。
12、永真式的否定是（）
（1）永真式
（2）永假式（3）可满足式（4）
（1）--（3）均有可能
答：
（2）
13、公式（一〉P∕∖Q）「P入一IQ）化简为（）,公式QT（PM（PaQ））可化简为（）.
答：
一P,Q〉P
14、谓词公式-X（P（X）yR（y））rQ（X）中量词—X的辖域是（）。
答:
P（X）yR（y）
15、令R（x）:
X是实数，Q（x）:
X是有理数。
则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）
答：
一-X（R（X）Q（X））
（集合论部分）
16、设A={a，｛a｝}，下列命题错误的是（）。
（1）｛a｝P（A）
（2）｛a}■-P（A）（3）{{a}}■P（A）（4）｛{a}｝■—P（A）
答：
（2）
17、在0（）：
•:
■■之间写上正确的符号。
（1）=
（2）（3）■（4）■■■
答：
（4）
18、若集合S的基数∣S∣=5,则S的幂集的基数IP（S）I=（）
答：
32
19、设P=｛x｜（x+1）2〈4且XWR｝,Q=｛x|52+16且R｝,则下列命题哪个正确（）
（1）Q:
一P
（2）^—P（3）PQ（4）P=Q
答：
（3）
20、下列各集合中，哪几个分别相等（）.
（1）A1={a，b}
（2）A2=｛b,a｝（3）A3={a,b,a｝（4）A4={a,b，c}
（5）A5=｛x｜（x-a）（x-b）（x—c）=0｝（6）A6={x|x2-（a+b）x+ab=0}
答:
A1=A2=A3=A6A4=A5
21、若A-B=Φ，则下列哪个结论不可能正确？
（）
（1）A=Φ
（2）B=Φ（3）A—B（4）B二A
答：
（4）
22、判断下列命题哪个为真？
（）
（1）A—B=B—A=〉A=B
（2）空集是任何集合的真子集
（3）空集只是非空集合的子集（4）若A的一个元素属于B,则A=B
答：
（1）
23、判断下列命题哪几个为正确？
（）
（1）{Φ｝∈｛Φ,{{Φ}｝｝⑵｛Φ}—{Φ，{｛Φ}｝｝（3）Φ∈｛{Φ｝}
⑷
Φ{Φ}（5）{a,b}
∈{a,b，｛a},｛b}}
答：
（2）,（4）
24、
判断下列命题哪几个正确？
（
）
（1）
所有空集都不相等
（2）{
Φ｝=Φ（4）
若A为非空集，则A二A成立.
答：
（2）
25、
设A∩B=A∩C，A∩B=A∩C,则B（
）Co
答：
=（等于）
26、
判断下列命题哪几个正确？
（
）
（1）若A∪B=A∪C，则B=C
（2）{a,b｝={b，a}
（3）P（A∩B）=P（A）∩P（B）（P（S）表示S的幂集）
（4）若A为非空集，则A=A∪A成立。
答:
（2）
27、A,E,C是三个集合,则下列哪几个推理正确：
（1）A=B,B二C=〉A二C⑵A=B,B二C=>A∈B⑶A∈B,B∈C=>A∈C
答：
（1）
（二元关系部分）
28、设A=｛1，2，3，4，5,6},B=｛1,2，3｝,从A到B的关系R={〈x，y〉∣x=y2｝,求
（1）R
（2）R
答:
（1）R=｛〈1,1〉，<4，2>}
（2）RJ={〈1，1〉,〈2,4〉}
29、举岀集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。
（）
答:
A上的恒等关系
30、集合A上的等价关系的三个性质是什么？
（）
答:
自反性、对称性和传递性
31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么?
（）
答：
自反性、反对称性和传递性
〈1,2>,〈2,1>,〈2,3>,〈3,4>}
32、设S={1，2,3，4｝，A上的关系R=求
（1）RR
（2）R—1。
答：
RR=｛〈1,1〉，<1，3〉，<2，2〉，<2,4＞}
R1={<2,1>，〈1，2>,〈3，2〉，〈4，3〉}
33、设A=｛1,2，3，4，5，6}，R是A上的整除关系，求R={（）｝。
答：
R={<1，1>，〈2,2>，<3,3>,〈4,4〉,<5，5〉，<6,6〉,〈1,2〉,〈1，3〉,〈1，4>,
〈1,5>,<1，6>，〈2，4〉，〈2，6〉,〈3,6〉}
1
j={<1,1>,<2,4>,（36>}
34、设A={1,2,3,4，5,6｝,B={1，2,3},从A到B的关系R=｛〈x，y>∣x=2y}，求
（1）R
（2）R
答：
（1）R=｛〈1，1〉,〈4,2>,〈6，3〉｝
（2）R
36、集合A=｛1,2,••
，10｝上的关系R=｛〈x,y〉∣x+y=10,x,y:
=
A｝,则R的性质为（）。
（1）自反的
（2）
对称的（3）传递的,对称的（4）
传递的
答：
（2）
（代数结构部分）
37、设A=｛2,4,6}，A上的二元运算*定义为:
a＊b=max{a,b｝,则在独异点＜A，＊＞中，单位元是（），零元是（）
答:
2，6
38、设A={3，6,9｝，A上的二元运算*定义为：
a*b=min｛a，b｝,则在独异点＜A,＊＞中，单位元是（），零元是（）
答：
9，3
39、设〈G，*>是一个群,则
（1）若a，b，x∈G，ax=b,则x=（）
（2）若a，b,x∈G，ax=ab，则x=（）
答:
（1）a」“b
（2）b
40、设a是12阶群的生成元,
则a2是（）阶元素,a3是（）
阶元素
答：
6，4
41、代数系统＜G，＊＞是一个群，则G的等幂元是（）。
答：
单位元
42、设a是10阶群的生成元,则a4是（）阶元素，a3是（）阶元素。
答：
5,10
43、群＜G,*＞的等幂兀是（）,有（）个。
答：
单位元,1
44、素数阶群一定是（）群，它的生成元是（）。
答：
循环群，任一非单位元
45、设是一个群，a,b,c∈GJU
（1）若C-a=b,贝Uc=（）；
（2）若Ca=b"a,贝Uc=（）。
答:
（1）b■■a⑵b
46、vH，,—＞是＜G,，—＞的子群的充分必要条件是（）.
答：
vH,,*＞是群或Va,b∈G,a＊H，a1EH或∖/a,bEG,a^b—^H
47、群VA,*＞的等幂元有（）个，是（），零元有（）个。
答：
1，单位元，
0
48
在一个群〈
G，*〉中，若G中的元素
a的阶是k,则
-1
a的阶是（
答：
k
49、
在自然数集
N上，下列哪种运算是可结合的？
（
）
（1）a＊b=a—b
（2）a*b=max{a，b｝
（3）a＊b=a+2b
（4）a＊b=∣a—b∣
答：
（2）
50、
任意一个具有2个或以上元的半群，
它（）
（1）
不可能是群
（2）不一定是群
一定是群
（4）是交换群
答：
（1）
51、
6阶有限群的任何子群一定不是（
））
（1）2阶
（2）3阶（3）4
阶
⑷6阶
答:
（3）
（格与布尔代数部分）
52、
下列哪个偏序集构成有界格（）
（1）
（N,<）⑵（乙_）
（{2,3，4，6,12},|（整除关系））
⑷（P（A）,
）
答:
（4）
53、
有限布尔代数的元素的个数一定等于（
）。
（1）
偶数
（2）奇数（3）4的倍数
（4）2
的正整数次幂
答：
（4）
（图论部分）
54、设G是一个哈密尔顿图，则G—定是（）。
（1）欧拉图
（2）树（3）平面图（4）连通图
答：
（4）
55、下面给出的集合中，哪一个是前缀码?
（）
（1）｛0，10，110，101111}
（2）｛01，001，000,1｝
⑶{b,C，aa，ab,aba｝（4）｛1,11，101,001，0011｝
答:
⑵
56、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中（）的路.
答：
所有结点一次且恰好一次
57、在有向图中，结点V的出度deg+（v）表示（），入度deg—（v）表示（
答:
以V为起点的边的条数，以V为终点的边的条数
58、设G是一棵树，则G的生成树有（）棵.
（1）0
（2）1（3）2（4）不能确定
答：
1
59、n阶无向完全图Kn的边数是（），每个结点的度数是（）。
66、设G是一棵树,n，m分别表示顶点数和边数，则
（1）n=m⑵m=n+1⑶n=m+1（4）不能确定。
答:
（3）
67、设T=答：
2
，G的生成树只有一棵。
68、任何连通无向图G至少有（）棵生成树，当且仅当G是（）
答：
1，树
69、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于：
⑴m-n+2⑵n-m-2⑶n+m-2⑷m+n+2
答：
（1）
70、设T是一棵树，则T是一个连通且（）图
答:
无简单回路
71、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是
2，则图G有（）个顶点
⑴10
（2）4（3）8（4）16
答：
（4）
72、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3,则图G有（）个顶点
（1）10
（2）4（3）8（4）12
答:
（4）
则G是有向图还是无向图?
73、设图G=VVE>，V=｛a，b，c，d，e｝，E={，va，c>,vb，c〉，vc，d〉，vd，e〉｝，
答：
有向图
74、任一有向图中，度数为奇数的结点有（）个。
答：
偶数
75、具有6个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由（）条边围成?
（1）2
（2）4（3）3（4）5
答：
（3）
76、在有n个顶点的连通图中,其边数（）。
（1）最多有n—1条
（2）至少有n—1条
（3）最多有n条（4）至少有n条
答:
（2）
77、一棵树有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为（
（1）5
（2）7（3）8（4）9
答:
（4）
78、若一棵完全二元（叉）树有2n—1个顶点，则它（）片树叶。
（1）n
（2）2n（3）n—1（4）2
答:
（1）
79、下列哪一种图不一定是树（）。
（1）无简单回路的连通图
（2）有n个顶点n—1条边的连通图
（3）每对顶点间都有通路的图（4）连通但删去一条边便不连通的图
答：
（3）
80、连通图G是一棵树当且仅当G中（）。
（1）有些边是割边
（2）每条边都是割边
（3）所有边都不是割边（4）图中存在一条欧拉路径
答:
（2）
（数理逻辑部分）
二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式：
1、（P→Q）R
解：
（P→Q）R=（一PQ）R
二（一PR）（QR）（析取范式）
=（一P（Q-Q）R）（（-PP）QR）
=（—PQR）（—PwιQR）（—PQR）（PQR）
U（—PQR）（—P-QR）（PQR）（主析取范式）
—（（P→Q）R）=（—P—Q-R）（—PQ-R）（P_QR）
（PQ—R）（P-Q—R）（原公式否定的主析取范式）
（P→Q）R=（PQR）（^√’1QR）（~PQ^'1R）
（一P-QR）（一PQR）（主合取范式）
2、（PR）（QR）—P
解：
（PR）（QR）一P（析取范式）
=（P（Q一Q）R）（（P—P）QR）^P（Q—Q）（R-R））
U（PQR）（P—QR）（PQR）（一PQR）
（—PQR）（-PQ^R）（一P—QR）（一P—Q-R）
（PQR）（P—QR）（一PQR）（一PQ—R）（一P-QR）（一P-Q—R）（主
析取范式）
_（（PR）（QR）-P）
=（P-Q-R）（PQ—R）（原公式否定的主析取范式）
（PR）（QR）一P二（一PQR）（一P-QR）（主合取范式）
3、（一P→Q）（RP）
解：
（一P→Q）（RP）
U（PQ）（RP）（合取范式）
U（PQ（R—R））（P（Q-Q））R）
U（PQR）（PQ_R）（PQR）（P_QR）
U（PQR）（PQ一R）（P一QR）（主合取范式）
一（（一P→Q）（RP））
=（P-Q—R）（一PQR）（一P—QR）（～PQ_R）
（～P—Q—R）（原公式否定的主合取范式）
（一P→Q）（RP）
：
=（一PQR）（P—Q_R）（PQ_R）（P—QR）（PQR）
（主析取范式）
4、Q→（P—R）
解:
Q→（P—R）
U—QP一R（主合取范式）
—（Q→（P—R））
：
=（—P_Q_R）（～P—QR）（~PQ_R）（~PQR）
（P—QR）（PQ—R）（PQR）（原公式否定的主合取范式）
Q→（P—R）
=（PQR）（PQ-R）（P—QR）（P_Q_R）（一PQ_R）
（~P-QR）（~P_Q_R）（主析取范式）
5、P→（P（Q→P））
解:
P→（P（Q→P））
二—P（P^QP））
=-PP
：
=T（主合取范式）
二（一p-Q）（—PQ）（P—Q）（PQ）（主析取范式）
6、一（P→Q）（RP）
解：
一（P→Q）（RP）U-（一PQ）（RP）
=（P—Q）（RP）（析取范式）
:
=（P»,Q（R-R））（P（—QQ）R）
=（P-QR）（P—Q—R）（P-QR）（PQR）
U（P-QR）（P-Q—R）（PQR）（主析取范式）
一（一（P→Q）（RP））=（PQ—R）（一PQR）（一P-QR）
（-P—Q_R）（一PQ_R）（原公式否定的主析取范式）
-（P→Q）（RP）=（一P-QR）（P一Q_R）（PQ_R）
（PQR）（P—QR）（主合取范式）
7、P（P→Q）
解：
P（P→Q）=P（一PQ）=（P-P）Q
=T（主合取范式）
=（—P—Q）（一PQ）（P—Q）（PQ）（主析取范式）
8、（R→Q）P
解：
（R→Q）P=（—RQ）P
U（一RP）（QP）（析取范式）
U（一R（Q—Q）P）（（一RR）QP）
=（一RQP）（一R—QP）（一RQP）（RQP）
=（PQ-R）（P一Q—R）（PQR）（主析取范式）
_（（R→Q）P）：
=（—P_Q_R）（―PQ_R）（P_QR）（~PQR）（一P_QR）（原公式否定
的主析取范式）
（R→Q）P=（PQR）（P-QR）（_PQ_R）
（P一Q-R）（PQ_R）（主合取范式）
9、P→Q
解：
P→QU—PQ（主合取范式）
二（一P（Q-Q））（（一PP）Q）
：
=（一PQ）（一P—Q）（一PQ）（PQ）
：
=（一PQ）（一P—Q）（PQ）（主析取范式）
10、P—Q
解：
P-Q（主合取范式）
=（P（一QQ））（（一PP）_Q）
（P_Q）（PQ）（—P_Q）（P_Q）
=（P-Q）（PQ）（一P—Q）（主析取范式）
11、PQ
解：
PQ（主析取范式）：
=（P（Q-Q））（（P^P）Q）
二（P-Q）（PQ）（PQ）（一PQ）
―（P-Q）（PQ）（一PQ）（主合取范式）
12、（PR）-Q
解：
（PR）一；Q
U—（PR）Q
二（一P-R）Q
:
=（一PQ）（一RQ）（合取范式）
二（一PQ（R—R））（（一PP）Q-R）
:
=（一PQR）（一PQ—R）（一PQ—R）（PQ_R）
：
=（一PQR）（一PQ-R）（一PQ—R）（PQ_R）
：
=（一PQR）（一PQ-R）（PQ—R）（主合取范式）
（原公式否定的主析取范式）
一（PR）-;Q
：
=（一P—QR）（一P—Q—R）（PQR）（P—QR）（P-Q-R）
（PR）rQ
:
=（PQ—R）（PQR）（一P一Q一R）（一PQ_R）
（一PQR）（主析取范式）
13、（P〉Q）〉R
解：
（P-；Q―；R
=一（一PQ）R
=（P-Q）R（析取范式）
：
=（P-Q（R-R））（（P—P）（Q_Q）R）
:
=（P-QR）（P-Q—R）（PQR）（P—QR）^PQR）
（～P_QR）
二（P—QR）（P—Q-R）（PQR）^PQR）
（～P-QR）（主析取范式）
（P>Q）〉R
U一（—PQ）R
：
=（P—Q）R（析取范式）
=（PR）（~QR）（合取范式）
二（P（Q—Q）R）（（P-P）—QR）
=（PQR）（P-QR）（P-QR）（～P-QR）
：
=（PQR）（P-QR）（一P一QR）（主合取范式）
14、（P—。
（QR））（—p_。
（-Q—R））
解：
（P〉（QR））（—P》（—Q—R））
：
=（一P（QR））（P（~Q—R））
：
=（一PQ）（一PR）（P_Q）（P_R）（合取范式）
：
=（—PQ（R_R））（—P（Q—Q）R）（^—IQ（R_R））
（P（Q^Q）一R）
=（—PQR）厂PQ-R）（～PQR）（～P-QR）
（P—QR）（P—Q—R）（PQ_R）（P_Q_R）
二（一PQR）（—PQ_R）（一P_QR）（P_QR）
（PQ—R）（P-Q_R）（主合取范式）
一（Pr（QR））（一P》（一Q_R））
=（一P_Q_
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