山东大学离散数学题库及答案计本.docx

1、山东大学离散数学题库及答案计本一、选择或填空(数理逻辑部分)1、 下列哪些公式为永真蕴含式? ( ）(1)Q=(P （2） Q=P Q P=P Q (4) P (P Q）= - P答：(1），（4）2、 下列公式中哪些是永真式？ ( ）(1）( P Q）（Q 一 R） (2）P （QQ)(P Q）P (4）P (P Q)答：（2)， ( 3）， ( 4)3、 设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式 ?( )（1)P=P Q P Q=P P Q=P QP (P Q）=Q （5） （P Q）=P (6) P （P Q)= 一 P答：（2）, （ 3), （ 4）, (5), (6）4、 公式-X(（

2、A(X) rB（y, x)） Z C(y , z)）.D(x)中，自由变元是（)，约束变元是(）答：,y, ，z) ,而命题“所有的人都是要死的”的否定是 ()5、 判断下列语句是不是命题。若是，给岀命题的真值. （ ）(1）北京是中华人民共和国的首都。 （2)陕西师大是一座工厂。你喜欢唱歌吗？(4）若 7+8 18，则三角形有4条边。（5）前进！(6）给我一杯水吧!答：（1） 是，T(2)是,F ( 3)不是（4） 是，T(5)不是 (6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是(答：所有人都不是大学生,有些人不会死7、设P:我生病,Q：我去学校，则下列命题可符号化为 ()（1） 只有在生

3、病时，我才不去学校 （2）若我生病，则我不去学校（3） 当且仅当我生病时，我才不去学校 （4）若我不生病，则我一定去学校答： （1） -Q-； P （2) P Q (3） P -Q （4） 一P； Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是 (）。(1） -X y(x+y=0） （2) y x(x+y=0)答：（1）对任一整数X存在整数y满足x+y=0 (2）存在整数y对任一整数X满足x+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：（1） -X y （xy=y) （）（2) X -y（+y=y)( )(3) X y(x+y=x） (）(4) X y（y=2x）（ )答：(1） F （

4、2) F （3)F(4） T10、设谓词P（X） : X是奇数，Q（X）：X是偶数，谓词公式X（P(X) Q(X）在哪个个体域中为真？（）(1）自然数 (2)实数复数 （4） (1）-(3）均成立答：(1）11、 命题“ 2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）答：2不是偶数且3不是负数。12、 永真式的否定是（ ）(1)永真式 (2）永假式 (3）可满足式 (4) （1）-(3） 均有可能答： （2)13、 公式(一PQ） P入一IQ)化简为( ),公式QT（PM（PaQ)可化简为( ).答：一P , Q P14、 谓词公式-X(P(X) yR(y） r Q（X)中量词X的辖域是( )。答: P

5、（X） yR(y)15、 令R（x）:X是实数，Q（x）:X是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（ ）答：一-X（R（X） Q（X)）（集合论部分)16、 设A=a，a，下列命题错误的是( ）。(1） a P(A） (2) a - P(A) (3) a P(A) （4) a P(A)答： （2)17、 在0( ) ：:之间写上正确的符号。（1) = （2） (3） （4） 答： (4)18、 若集合S的基数S=5 ,则S的幂集的基数IP(S)I=(）答：3219、 设 P=x（x+1） 2 4 且 XW R,Q=x|5 2+16 且 R,则下列命题哪个正确( )（1） Q

6、:一 P (2） P (3） P Q （4) P=Q答：(3)20、 下列各集合中，哪几个分别相等 ( ） .（1) A1=a，b （2) A2=b,a （3） A3=a,b,a (4) A4=a,b，c(5） A5=x(x-a)(x-b)（xc）=0 (6) A6=x|x 2-(a+b）x+ab=0答: A1=A2=A3=A6 A4=A521、 若A-B= ，则下列哪个结论不可能正确？ ()(1） A= （2) B= (3） A B (4) B 二 A答： (4)22、 判断下列命题哪个为真 ？（)(1） AB=BA = A=B (2） 空集是任何集合的真子集（3)空集只是非空集合的子集 （

7、4） 若A的一个元素属于B,则A=B答： （1）23、 判断下列命题哪几个为正确？ （ ）(1） , ， (3） (5) a,b a,b，a,b答：(2), (4)24、判断下列命题哪几个正确？（）（1）所有空集都不相等（2) = (4）若A为非空集，则A二A成立.答：(2)25、设 A B=A C， A B=A C,则 B()C o答：=(等于）26、判断下列命题哪几个正确？（）(1) 若 A B=A C，则 B= C (2） a,b=b，a(3)P（A B）= P(A） P(B） （ P（S)表示 S 的幂集）(4)若A为非空集，则 A = A A成立。答: (2）27、A,E,C是三个集

8、合,则下列哪几个推理正确：（1) A =B, B二 C= A 二 C A =B, B 二 C= A B A B, B C= A C答： （1）(二元关系部分）28、设 A= 1，2，3，4，5,6 , B=1,2，3,从A到 B 的关系 R= x，yx=y 2,求(1)R （2) R答: （1) R=1,1， （2） R J =1，1,2,429、 举岀集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。 ( ）答: A上的恒等关系30、 集合A上的等价关系的三个性质是什么？ （）答:自反性、对称性和传递性31、 集合A上的偏序关系的三个性质是什么? （ ）答：自反性、反对称性和传递性1,2 , 2

9、,1 , 2,3 ,3,4 32、设 S= 1 ， 2 , 3 ， 4 ，A上的关系R = 求(1)R R (2) R 1。答： R R = 1,1， 1，3，2，2， 2,4 R1 = ， 1，2, 3，2， 4，3 33、 设A= 1 , 2， 3， 4， 5， 6， R是 A 上的整除关系，求 R= （ )。答： R=，2,2，,4,4,5，5，,1,5,，2，4，2，6,3,61j=,(3634、 设A= 1,2,3,4，5,6 , B=1，2,3,从A到 B 的关系R=x，y x=2y ，求（1）R (2) R答： （1） R=1，1,4,2,6，3 (2） R36、集合 A=1,2

10、, ，10上的关系 R=x,yx+y=10,x,y :=A,则R的性质为（ )。(1）自反的 （2）对称的 (3）传递的,对称的（4）传递的答： (2）（代数结构部分)37、 设A=2,4,6 ， A上的二元运算*定义为:ab=maxa,b,则在独异点A，中，单位元是（），零元是（）答: 2，638、 设A=3，6,9 ，A上的二元运算*定义为：a*b=mina，b,则在独异点A,中，单位元是(），零元是（）答： 9，339、设G，*是一个群,则(1)若 a，b，x G， a x=b ,则 x=()(2)若 a，b,x G， a x=a b，则 x=（）答:（1) a“ b （2) b40、设

11、a是12阶群的生成元,则a2是（）阶元素,a3是()阶元素答：6，441、 代数系统G，是一个群，则G的等幂元是（ ）。答：单位元42、 设a是10阶群的生成元, 则a4是（） 阶元素，a3是（） 阶元素。答：5, 1043、 群G,*的等幂兀是（ ）,有（ ）个。答：单位元,144、 素数阶群一定是（ ) 群，它的生成元是( ） 。答：循环群，任一非单位元45、 设是一个群，a,b,c GJU（1） 若 C - a=b ,贝U c=（ ) ； （2） 若 C a=b a ,贝U c=（） 。答: (1） b a b46、 vH，, 是G,， 的子群的充分必要条件是（ ) .答：vH, * 是

12、群 或 V a , b G, a H， a1 E H 或/a,b E G, a b H47、 群V A,* 的等幂元有（ ）个，是( ），零元有（ ）个。答：1，单位元，048在一个群G，*中，若G中的元素a的阶是k,则-1a的阶是（答：k49、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）（1） ab=ab（2） a*b=maxa，b(3） ab=a+2b（4) ab=ab答：(2）50、任意一个具有2个或以上元的半群，它 ( ）（1）不可能是群（2）不一定是群一定是群（4）是交换群答：（1)51、6阶有限群的任何子群一定不是(）)（1) 2 阶（2） 3 阶(3） 4阶6 阶答: (3）（格

13、与布尔代数部分)52、下列哪个偏序集构成有界格（ ）(1）（N, ）(乙 _）（2,3，4，6,12,| （整除关系）（P(A）,)答:（4)53、有限布尔代数的元素的个数一定等于(）。(1）偶数（2） 奇数（3） 4 的倍数(4) 2的正整数次幂答：（4）（图论部分)54、 设G是一个哈密尔顿图，则 G 定是()。(1)欧拉图(2) 树 (3）平面图（4） 连通图答： （4)55、 下面给出的集合中，哪一个是前缀码? ( ）(1）0 ，10，110，101111 （2） 01 ，001，000,1b ,C，aa，ab,aba （4） 1 ,11，101,001，0011答:56、 一个图的哈

14、密尔顿路是一条通过图中 （） 的路.答：所有结点一次且恰好一次57、 在有向图中，结点 V的出度deg+（v)表示（)，入度deg（v）表示（答:以V为起点的边的条数， 以V为终点的边的条数58、 设G是一棵树，则G的生成树有（) 棵.（1） 0 (2) 1 (3) 2 （4)不能确定答：159、 n阶无向完全图Kn的边数是(） ，每个结点的度数是（）。66、设G是一棵树,n，m分别表示顶点数和边数，则 (1） n=m m=n+1 n=m +1 (4) 不能确定。答: （3)67、 设T=，V=a，b，c，d， e， E=，va，c,vb，c，vc，d，vd，e，答：有向图74、 任一有向图中

15、，度数为奇数的结点有 ( )个。答：偶数75、 具有6个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由 （ ）条边围成?(1） 2 (2） 4 （3） 3 （4） 5答：（3）76、 在有n个顶点的连通图中,其边数（ ）。（1）最多有n1条 （2）至少有n1条（3）最多有n条 （4)至少有n条答:（2）77、 一棵树有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为（1) 5 （2） 7 （3） 8 (4） 9答:（4）78、 若一棵完全二元（叉）树有 2n1个顶点，则它（ ）片树叶。（1） n （2) 2n (3） n1 （4） 2答:（ 1）79、 下列哪一种图不一定是树（ ）。（

16、1）无简单回路的连通图 （2)有n个顶点n1条边的连通图（3）每对顶点间都有通路的图 （4)连通但删去一条边便不连通的图答：（3）80、连通图 G是一棵树当且仅当 G中（ ）。（1）有些边是割边 （2）每条边都是割边(3）所有边都不是割边 （4)图中存在一条欧拉路径答:(2）(数理逻辑部分）二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式：1、（P Q） R解：（P Q） R= ( 一 P Q ） R二（一 P R) （Q R）（析取范式）=（一 P(Q - Q) R) （ - P P） QR)=(P Q R) ( P w Q R) （ P Q R) （P Q R）U （ P Q R) （ P -QR

17、) （P Q R)(主析取范式)(（P Q） R)= （ P Q -R) (P Q -R） （P _ Q R)（P Q R) （ P - Q R)(原公式否定的主析取范式)（PQ) R= （P Q R） （ 1 Q R） ( P Q 1 R)（一 P -Q R) （一 P Q R）(主合取范式)2、 (P R) （Q R) P解：(P R） (Q R) 一 P (析取范式）=(P （Q 一 Q) R) (（P P) QR） P （Q Q） (R - R）U(P Q R) (P QR） （P Q R） （ 一 P Q R)（P Q R） （ -P Q R） (一P Q R) (一P Q - R）

18、(P Q R) (P QR) （ 一 P Q R） ( 一 P Q R) ( 一 P -QR) ( 一 P - Q R）（主析取范式）_ (P R） （Q R) - P)=（P -Q -R） （P Q R)（原公式否定的主析取范式)(P R） (Q R) 一 P 二（一 P Q R） （一 P -Q R）(主合取范式)3、 （一 P Q） （R P)解：（一 P Q） (R P)U （P Q) （R P)（合取范式)U (P Q (R R)） (P （Q -Q)） R）U （P Q R） (P Q _ R) （P Q R） (P _ Q R)U (P Q R） （P Q 一 R） (P 一 Q

19、 R）（主合取范式）一(一 PQ) (R P）)=（P -Q R） （ 一 P Q R) ( 一 P QR） ( P Q _ R）( P Q R)(原公式否定的主合取范式)（一 P Q) (R P）：=(一 P Q R） (P Q _ R) (P Q _ R） （P Q R) （P Q R）（主析取范式)4、 Q （P R）解:Q (P R）U Q P 一 R （主合取范式)(Q (P R）：=(P _ Q _ R） （ P Q R） （ P Q _ R） （ P Q R)（P QR)(P QR）（PQ R）（原公式否定的主合取范式)Q (P R）=(P Q R） （P Q -R) (P Q

20、R) (P _ Q _ R) ( 一 P Q _ R)( P -Q R) （ P _ Q _ R）（主析取范式）5、 P (P （Q P)解:P (P (QP）二P(P Q P）)=-P P：=T (主合取范式）二（一p -Q) (P Q) (P Q) (P Q）(主析取范式）6、 一 （P Q） (R P）解：一（P Q) (R P）U -（一 P Q) （R P）=(P Q） （R P)(析取范式）:=（P , Q （R - R） (P ( Q Q） R）=（P -QR) (P Q R） （P -QR） (P Q R)U（P -QR) (P -Q R) (P Q R)（主析取范式)一(一(

21、P Q) （R P)=(P Q R） （一 P Q R) (一 P - Q R)(-P Q _ R） （一P Q _ R)(原公式否定的主析取范式)-(PQ） (R P）= （ 一 P -Q R) (P 一 Q _ R) （P Q _ R）(P Q R） （P Q R)(主合取范式）7、 P （P Q)解：P （PQ)= P （一P Q)= (P -P) Q=T（主合取范式)=(P Q) （ 一 P Q) （P Q） （P Q）(主析取范式）8、 (R Q） P解：(R Q) P= ( R Q ） PU （ 一 R P) （Q P)(析取范式)U （ 一 R (Q Q） P) （( 一 R R

22、） Q P)=(一 R Q P） ( 一 R Q P) （ 一 R Q P) （R Q P）=(P Q -R） (P 一 Q R) (P Q R)(主析取范式)_ （R Q) P)：=(P _ Q _ R） （ P Q _ R） （P _ Q R) （ P Q R) (一 P _ Q R）（原公式否定的主析取范式)（RQ) P=(P Q R） （P -QR） (_P Q _ R）（P 一 Q -R) (P Q _ R)（主合取范式)9、 P Q解：PQU P Q (主合取范式)二（一 P （Q -Q)） (（ 一 P P） Q）：=（一 P Q) (一 P Q) （一 P Q） (P Q)：=

23、（一 P Q） （一 P Q） (P Q)（主析取范式）10、 P Q解：P -Q (主合取范式）=(P （ 一 Q Q)） （ 一 P P） _ Q）（P _ Q） （P Q) ( P _ Q) (P _ Q）=（P -Q） （P Q） （ 一 P Q）（主析取范式）11、 P Q解：P Q (主析取范式)：=（P (Q -Q)） （P P） Q)二（P -Q） （P Q） (P Q) （ 一 P Q）（P -Q) （P Q） ( 一 P Q)(主合取范式）12、 （P R) - Q解：(P R） 一； QU (P R) Q二(一P -R) Q:=(一 P Q) （一 R Q）（合取范式)二

24、(一 PQ（R R) ( 一 P P） Q - R):=(一 P Q R） ( 一 P Q R) （ 一 P Q R） （P Q _ R）：=(一 P Q R) ( 一 P Q - R) （ 一 P Q R) （P Q _ R）：=(一 PQ R） （一 P Q - R） (P Q R）（主合取范式)（原公式否定的主析取范式）一 (P R) -; Q：=（一 P Q R） (一 P Q R） (P Q R） （P Q R） (P - Q - R）(P R） r Q:=（P Q R) (P Q R) (一 P 一 Q 一 R） (一 PQ _ R）（一 P Q R）(主析取范式）13、 ( P

25、Q） R解：（P-； Q ； R=一(一 P Q) R=(P -Q) R(析取范式)：=(P -Q （R -R)） (（P P） (Q _ Q） R）:=(P -QR） (P -Q R) （P QR) (P Q R） P Q R)( P _ Q R）二（P QR） (P Q -R) （P Q R) P Q R）（ P -Q R）(主析取范式)(P Q） RU 一( P Q） R：=（P Q） R(析取范式）=（P R） （ Q R)（合取范式）二(P （Q Q) R) （(P -P) Q R）=（P Q R） (P -Q R） （P -QR） （ P -Q R）：=（P Q R) (P -Q

26、R） (一 P 一 Q R）(主合取范式)14、 （P 。 (Q R) （ p_。 ( - Q R)解：（P (Q R）) （ P（Q R）：=(一 P （Q R） （P ( Q R）：=（一 P Q） ( 一 P R) （P _ Q) （P _ R）（合取范式）：=（P Q (R _ R)） （ P （Q Q） R） ( IQ (R _ R)）（P (Q Q) 一 R）=（P Q R）厂P Q - R) ( P Q R) （ P - Q R）（P Q R) (P Q R) （P Q _ R) （P _ Q _ R)二（一 P Q R） ( P Q _ R） （ 一 P _ Q R) (P _ Q R）（P Q R） （P -Q _ R)（主合取范式)一（Pr(Q R) ( 一 P（一 Q _ R）)=(一 P _ Q _