九年级数学中考复习分类专题平行四边形的判定与性质四.docx

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九年级数学中考复习分类专题平行四边形的判定与性质四

2021年九年级数学中考复习分类专题：

平行四边形的判定与性质（四）

一．选择题

1．平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得到四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）

A．BE＝DFB．AF∥CEC．AE＝CFD．∠BAE＝∠DCF

2．如图，E是▱ABCD的边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F，添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（　　）

A．∠AEB＝∠BCDB．EF＝BFC．∠ABD＝∠DCED．∠AEC＝∠CBD

3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中．①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝5．正确的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上．若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中；①AE∥CF；②AE＝CF；③BE＝DF；④∠BAE＝∠DCF．那么不能使四边形AECF是平行四边形的条件相应序号是（　　）

A．①B．②C．③D．④

5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：

①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

6．在平行四边形ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不能是（　　）

A．AF＝CEB．AE＝CFC．∠BEA＝∠ECFD．∠BAE＝∠FCD

7．如图，▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则图中有（　　）个平行四边形．

A．7个B．8个C．9个D．10个

8．如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论：

①S△ADE＝S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③△DEF是轴对称图形；④∠ADE＝∠EDO；⑤四边形ABCD面积为EF×BD．其中正确的结论有（　　）

A．5个B．4个C．3个D．2个

9．下列说法中：

①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等；③对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；其中正确的个数为（　　）个．

A．1B．2C．3D．4

10．如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE＝∠ABE+∠CBD，AC＝1，则BD必定满足（　　）

A．BD＜2B．BD＝2

C．BD＞2D．以上情况均有可能

二．填空题

11．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有　　次．

12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，作AE∥DC交BC于E．△ABE的周长是25cm，四边形ABCD的周长是37cm，那么AD＝　　cm．

13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：

①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠BCF；④∠ABE＝∠CDF；其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是　　．（只填序号）

14．有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为　　．

15．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为　　．

16．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，E为BC上的一点，BE＝

，CD∥AE，且DE＝CE，连接AD，∠EDA＝2∠ACB，则AD＝　　．

三．解答题

17．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF．

求证：

（1）△ABE≌△CDF；

（2）四边形EBFD是平行四边形．

18．如图，已知AC垂直平分BD，∠ABC＝∠DAF，DF⊥BD

（1）证明：

四边形ACDF是平行四边形；

（2）若AF＝DF＝5，AD＝6，试求CD和BD的长．

19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若AC＝2，CE＝4；

（1）求证：

四边形ACED是平行四边形．

（2）求BC的长．

20．已知，如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，延长CD到点F，使得BE＝DF，连接EF，分别交BC，AD于点M，N，连接AM，CN．

（1）求证：

△BEM≌△DFN；

（2）求证：

四边形AMCN是平行四边形．

21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AD的中点，延长CE交BA的延长线上于点F，CE＝EF．

（1）如图1，求证：

四边形ABCD是平行四边形；

（2）如图2，若CE⊥AD，连接AC、DF，请直接写出图中和线段CD相等的所有线段．

22．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．

（1）求证：

△AOF≌△COE；

（2）连接AE、CF，则四边形AECF　　（填“是”或“不是”）平行四边形．

23．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点．

（1）试说明四边形AECF是平行四边形．

（2）若AC＝8，AB＝6．若AC⊥AB，求线段BD的长．

24．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，CE．

（1）求证：

四边形AFCE是平行四边形；

（2）若∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，AC＝6．求出平行四边形ABCD的边BC上的高h的值．

25．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC＝2CD．

（1）求证：

四边形MNCD是平行四边；

（2）求证：

BD＝

CD．

参考答案

一．选择题

1．解：

如图，连接AC与BD相交于O，

在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，

要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；

A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；

B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；

C、若AE＝CF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；

D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意；

故选：

C．

2．解：

A、∵AE∥BC，

∴∠AEB＝∠CBF，

∵∠AEB＝∠BCD，

∴∠CBF＝∠BCD，

∴CF＝BF，

同理，EF＝DF，

∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故A错误；

∵DE∥BC，

∴∠DEF＝∠CBF，

在△DEF与△CBF中，

，

∴△DEF≌△CBF（ASA），

∴DF＝CF，

∵EF＝BF，

∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，

∵∠ABD＝∠DCE，

∴∠DCE＝∠CDB，

∴BD∥CE，

∴四边形BCED为平行四边形，故C正确；

∵AE∥BC，

∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，

∵∠AEC＝∠CBD，

∴∠BDE＝∠BCE，

∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，

故选：

A．

3．解：

∵32+42＝52，

∴AB2+AC2＝BC2，

∴∠BAC＝90°，

∴AB⊥AC，故①正确；

∵△ABD，△ACE都是等边三角形，

∴∠DAB＝∠EAC＝60°，

∴∠DAE＝150°，

∵△ABD和△FBC都是等边三角形，

∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，

∴∠DBF＝∠ABC，

在△ABC与△DBF中，

，

∴△ABC≌△DBF（SAS），

∴AC＝DF＝AE＝4，

同理可证：

△ABC≌△EFC（SAS），

∴AB＝EF＝AD＝3，

∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；

∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；

∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，

∴S▱AEFD＝AD•（DF•sin30°）＝3×（4×

）＝6，故④不正确；

∴正确的个数是3个，

故选：

C．

4．解：

①∵AF∥EC，AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形；

②∵AE＝CF不能得出四边形AECF是平行四边形，

∴条件②符合题意；

③∵四边形ABCD平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

又∵BE＝DF，

∴AF＝EC．

又∵AF∥EC，

∴四边形AECF是平行四边形．

④∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D，

∵∠BAE＝∠DCF，

∴∠AEB＝∠CFD．

∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠EAD．

∴∠CFD＝∠EAD．

∴AE∥CF．

∵AF∥CE，

∴四边形AECF是平行四边形．

综上所述，不能使四边形AECF是平行四边形的条件有1个．

故选：

B．

5．解：

③可以判断四边形DEBF是平行四边形．

理由：

将△EFB沿AC法则得到△EFT，

∵∠EDF＝∠EBF＝ETF，

∴D，E，F，T四点共圆，

由题意点D，点T到AC的距离线段，

∴DT∥AC，

∴∠TDF＝∠DFE，

∴

＝

，

∴

＝

，

∴DE＝TF，DF＝TE，

∵BE＝DT，BF＝TF，

∴DF＝BE，DE＝BF，

∴四边形DEBF是平行四边形．

④可以判断四边形DEBF是平行四边形．

理由：

在OA上取一点E′，使得OE′＝OF，连接DE′，BE′．

∵OD＝OB，OF＝OE′，

∴四边形DE′BF是平行四边形，

∴∠DFB＝∠DE′B，

∵∠DEB＝∠DFB，

∴∠DEB＝∠DE′B，

∴点E与点E′重合，

∴四边形DEBF是平行四边形．

⑤可以判断四边形DEBF是平行四边形．

理由：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD＝OB，OA＝OC，

∵AE＝CF，

∴OE＝OF，

∴四边形DEBF是平行四边形，

故选：

B．

6．解：

A、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AF∥EC，

∵AF＝EC，

∴四边形AECF是平行四边形．

故选项A不符合题意．

B、根据AE＝CF，所以四边形AECF可能是平行四边形，有可能是等腰梯形，故选项B符合题意．

C、错误．∵∠BEA＝∠FCE，

∴AE∥CF，

∵AF∥EC，

∴四边形AECF是平行四边形．

故选项C不符合题意．

D、由∠BAE＝∠FCD，∠B＝∠D，AB＝CD可以推出△ABE≌△CDF，

∴BE＝DF，

∵AD＝BC，

∴AF＝EC，

∵AF∥EC，

∴四边形AECF是平行四边形．

故选项D不符合题意．

故选：

B．

7．解：

E，F分别是AD，BC的中点，则有AE＝FC＝ED＝BF＝

AD＝

BC

∴四边形AECF，EDFB，是平行四边形，有∠FBE＝∠EDF＝∠AEB

∵AE∥BF

∴EAF＝∠AFB

∴根据ASA得出△MAE≌△MFB，∴AM＝MF，即点M是AF的中点．

同理，点N是FD的中点，∴MN是△EBC和△AFD的中位线，∴MN＝AE＝FC＝ED＝BF＝

AD＝

BC

∴四边形AENM，DEMN，BMNF，FCNM是平行四边形

∵EN∥MF，ME∥FN

∴四边形ENFM是平行四边形，而四边形ABCD也是平行四边形，共8个平行四边形．

故选：

B．

8．解：

①正确

∵E、F分别是OA、OC的中点．

∴AE＝OE．

∵S△ADE＝

×AE×OD＝

×OE×OD＝S△EOD

∴S△ADE＝S△EOD．

②正确

∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．

∴EF⊥OD，OE＝OF．

∵OD＝OD．

∴DE＝DF．

同理：

BE＝BF

∴四边形BFDE是菱形．

③正确

∵菱形ABCD的面积＝

AC×BD．

∵E、F分别是OA、OC的中点．

∴EF＝

AC．

∴菱形ABCD的面积＝EF×BD．

④不正确

由已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO．

⑤正确

∵EF⊥OD，OE＝OF，OD＝OD．

∴△DEO≌△DFO

．

∴△DEF是轴对称图形．

∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选：

B．

9．解：

①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；正确；

②平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等；正确；

③对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半；正确；

④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；不正确；

故选：

C．

10．证明：

∵AE＝AB，

∴∠ABE＝∠AEB，同理∠CBD＝∠CDB

∵∠ABC＝2∠DBE，

∴∠ABE+∠CBD＝∠DBE，

∵∠ABE＝∠AEB，∠CBD＝∠CDB，

∴∠AEB+∠CDB＝∠DBE，

∴∠AED+∠CDE＝180°，

∴AE∥CD，

∵AE＝CD，

∴四边形AEDC为平行四边形．

∴DE＝AC＝AB＝BC．

∴△ABC是等边三角形，

∴BC＝CD＝1，

在△BCD中，∵BD＜BC+CD，

∴BD＜2．

故选：

A．

二．填空题（共6小题）

11．解：

设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，

∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，

∴DP＝BQ，

分为以下情况：

①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，

此时方程t＝0，此时不符合题意；

②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，

解得：

t＝4.8；

③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，

解得：

t＝8；

④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，

解得：

t＝9.6；

⑤点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣48）＝12﹣t，

解得：

t＝16，

此时P点走的路程为16＞AD，此时不符合题意．

∴共3次．

故答案为：

3．

12．解：

∵AD∥BC，AE∥DC，

∴四边形AECD是平行四边形，

∴AE＝CD，AD＝EC，

又∵△ABE的周长＝AB+BE+AE＝13cm，

梯形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝37cm，

∴AD＝

（梯形ABCD的周长﹣△ABE的周长）＝6cm，

故答案为：

6．

13．解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，OA＝OC，

①OE＝OF，

则四边形DEBF是平行四边形；

故①能判定四边形DEBF是平行四边形；

②DE＝BF时，不能证明OE＝OF，

故②不能判定四边形DEBF是平行四边形；

③∠ADE＝∠BCF时，不能证明OE＝OF，

故③不能判定四边形DEBF是平行四边形；

④∵AB∥CD，

∴∠BAE＝∠DCF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE＝CF，

∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，

又∵OB＝OD，

∴四边形DEBF是平行四边形；

故④能判定四边形DEBF是平行四边形；

故答案为：

②③．

14．解：

过A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F，

∵甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，

∴AE＝2AF，

∴

AB×AF＝

BC×AE＝

BC×2AF＝BC×AF，

∴AB＝2BC，

故答案为：

AB＝2BC

15．解：

∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，

∴BC2＝AB2+AC2，

∴∠BAC＝90°，

∵△ABD，△ACE都是等边三角形，

∴∠DAB＝∠EAC＝60°，

∴∠DAE＝150°，

∵△ABD和△FBC都是等边三角形，

∴∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，

∴∠DBF＝∠ABC，

在△ABC与△DBF中，

∴△ABC≌△DBF（SAS），

∴AC＝DF＝AE＝3，

同理可证△ABC≌△EFC，

∴AB＝EF＝AD＝4，

∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

∴∠FDA＝180°﹣∠DAE＝30°，

过F作FM⊥AD于M，

∵DF＝3，∠FDA＝30°，

∴FM＝

DF＝1.5，

∴S▱AEFD＝AD•FM＝4×1.5＝6．

即四边形AEFD的面积是6．

故答案为：

6．

16．解：

过点A作AF∥BC交CD于点F，连接EF交AC于点G，连接BG，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE∥CD，AG＝CG，EF＝2EG，

∵∠ABC＝90°，

∴BG＝CG，

∴∠CBG＝∠ACB，

∵平行四边形AECF，

∴AE＝CF，

∵CE＝DE，

∴∠ECF＝∠EDC，

∵AE∥CD，

∴∠AED＝∠EDC＝∠ECF，

∴△ADE≌△FEC（SAS），

∴∠CEF＝∠ADE＝2∠ACB＝2∠EBG，

∵∠CEF＝∠EBG+∠EGB，

∴∠EBG+∠EGB＝2∠EBG，

∴∠EBG＝∠EGB，

∴EG＝BE＝

，

∴AD＝EF＝2EG＝

，

故答案为：

．

三．解答题（共9小题）

17．证明：

（1）∵四边形ABD是平行四边形，

∴AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，

∴∠BAE＝∠DCF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（ASA）；

（2）∵△ABE≌△CDF，

∴AE＝CF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴AD+AE＝BC+CF，

即DE＝BF，

∴四边形EBFD是平行四边形．

18．

（1）证明：

∵AC垂直平分BD，

∴AB＝AD，BC＝DC，

又∵AC＝AC，

在△ABC与△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠ABC＝∠ADC，

∵∠ABC＝∠DAF，

∴∠ADC＝∠DAF，

∴AF∥CD，

∵AC⊥BD，DF⊥BD，

∴DF∥AC，

∴四边形ACDF是平行四边形；

（2）解：

∵四边形ACDF是平行四边形，AF＝DF＝5，

∴▱ACDF是菱形，

∴CD＝AC＝5，

∵AD＝6，设CE＝x，则AE＝5﹣x，

∴CD2﹣CE2＝AD2﹣AE2

即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2

解得：

x＝

，即CE＝

，

∴DE＝

，

∴BD＝2DE＝

．

19．解：

（1）证明：

∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，

∴AC∥DE

又∵CE∥AD

∴四边形ACED是平行四边形．

（2）∵四边形ACED是平行四边形．

∴DE＝AC＝2．

在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝

＝

＝2

．

∵D是BC的中点，

∴BC＝2CD＝4

．

20．证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD＝∠BCD，AB∥CD，

∴∠BAD＝∠ADF，∠EBC＝∠BCD，∠E＝∠F，

∴∠ADF＝∠EBC，

在△DFN和△BEM中

∴△DFN≌△BEM（ASA）；

（2）四边形ANCM是平行四边形，

理由是：

∵由

（1）知△DFN≌△BEM，

∴DN＝BM，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，且AD∥BC，

∴AD﹣DN＝BC﹣BM，

∴AN＝CM，AN∥CM，

∴四边形ANCM是平行四边形．

21．

（1）证明：

∵E是AD的中点，

∴DE＝AE，

在△DEC和△AEF中，

，

∴△DEC≌△AEF（SAS），

∴∠D＝∠EAF，

∴CD∥AB，

又∵AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）解：

图中和线段CD相等的所有线段为AC、AF、DF、AB，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD，

∴AB＝CD，四边形ABCD是菱形，

∴AC＝AF＝DF＝CD，

∴AC＝AF＝DF＝CD＝AB．

22．

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠OAF＝∠OCE，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（ASA）

（2）解：

四边形AECF是平行四边形，理由如下：

由

（1）得：

△AOF≌△COE，

∴FO＝EO，

又∵AO＝CO，

∴四边形AECF是平行四边形；

故答案为：

是．

23．

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵E，F为OB，OD的中点，

∴OE＝OF，

∴AC与EF互相平分，

∴四边形AECF为平行四边形；

（2）解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO，BO＝DO，

∵AC＝8，

∴AO＝4，

∵AB＝6，AC⊥AB，

∴BO＝

＝

＝2

，

∴BD＝2BO＝4

．

24．证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC，AO＝CO

∴∠AEF＝∠CFE，∠EAC＝∠FCA，且AO＝CO

∴△AOE≌△COF（AAS）

∴OF＝OE，且AO＝CO

∴四边形AFCE是平行四边形；

（2）∵∠DAC＝60°

∴sin∠DAC＝

，

∴h＝

×AC＝3

．

25．证明：

（1）∵ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵M、N分别是AD、BC的中点，

∴MD＝NC，MD∥NC，

∴MNCD是平行四边形；

（2）如图：

连接ND，

∵MNCD是平行四边形，

∴MN＝DC．

∵N是BC的中点，

∴BN＝CN，

∵BC＝2CD，∠C＝60°，

∴△NCD是等边三角形．

∴ND＝NC，∠DNC＝60°．

∵∠DNC是△BND的外角，

∴∠NBD+∠NDB＝∠DNC，

∵DN＝NC＝NB，

∴∠DBN＝∠BDN＝

∠DNC＝30°，

∴∠BDC＝90°．

∵tan

，

∴DB＝

DC．