高考文科：点面距离、线线角、线面角练习(含解析).docx

高考文科：点面距离、线线角、线面角练习(含解析).docx

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高考文科：

点面距离、线线角、线面角练习

1．在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，．

（1）证明：

；

（2）求到平面的距离．

2．如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面，，，为的中点．

（1）证明：

．

（2）若为线段上的一点，且，求点到平面的距离．

3．如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点，是上的点．

（1）若平面，证明：

为的中点．

（2）求点到平面的距离．

4．如图，四边形为平行四边形，点在上，，且．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．

（Ⅰ）求证：

平面平面；

（Ⅱ）若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离．

5．如图．在长方体中，，，是与的交点．求证：

（1）平面；

（2）求与的所成角的正弦值．

6．如图，在正三棱柱中，，侧棱，且，分别是，的中点．

（1）求证：

平面；

（2）求异面直线与所成角的大小．

7．如图，在直棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且平面．

（1）证明：

；

（2）若为中点，求直线与直线所成角的余弦值．

8．如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，，分别为棱，的中点．

（1）求证：

、、、四点共面；

（2）求异面直线与所成的角．

9．如图，在多面体中，底面是正方形，梯形底面，且．

（Ⅰ）证明：

平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．

10．如图，四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，点，分别是，的中点．

（1）求证：

平面；

（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．

11．如图，四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，，，，分别是，的中点．

（1）①求证：

平面；

②求线段的长度；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

12．如图，三棱锥中，，，，，．

（1）求证：

；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

高考文科：

点面距离、线线角、线面角练习

参考答案与试题解析

1．在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，．

（1）证明：

；

（2）求到平面的距离．

【解答】解：

（1）证明：

在中，由正弦定理可得：

．

，

，．

平面，．

平面，．

（2），，．

，，

，．

设到平面的距离为，则，

即：

，

，故到平面的距离为．

2．如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面，，，为的中点．

（1）证明：

．

（2）若为线段上的一点，且，求点到平面的距离．

【解答】解：

（1）平面，在平面内，

，

又四边形为矩形，

，

又，且都在平面内，

平面，

又在平面内，

，

，且为中点，

，

又，且都在平面内，

平面，

又在平面内，

；

（2）由

（1）可知，，即为直角三角形，

又，，

，

又，，

，

设点到平面的距离为，则由可知，，则，

点到平面的距离为．

3．如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点，是上的点．

（1）若平面，证明：

为的中点．

（2）求点到平面的距离．

【解答】

（1）证明：

因为，平面，平面，

所以平面．

因为平面，平面，所以可设平面平面，

又因为平面，所以．

因为平面，平面，

所以，

从而得．

因为为的中点，所以为的中点．

（2）解：

因为底面，

所以，，

所以．

设点到平面的距离为，

由，得，

即，

解得．

4．如图，四边形为平行四边形，点在上，，且．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．

（Ⅰ）求证：

平面平面；

（Ⅱ）若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离．

【解答】解：

（Ⅰ）证明：

，，，

，平面，

平面，，

，，，

，，

，，

，平面，

平面，平面平面．

（Ⅱ）解：

以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

设，则，，，，0，，，0，，，，，

直线与平面所成角的正切值为，

直线与平面所成角的正弦值为，

平面的法向量，0，，

直线与平面所成角的正切值为，

，解得，

，2，，，2，，，2，，，，，，0，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，

点到平面的距离．

5．如图．在长方体中，，，是与的交点．求证：

（1）平面；

（2）求与的所成角的正弦值．

【解答】解：

（1）证明：

连结交于点，连结，

由，，

所以平行四边形，

所以，，

所以，又不在平面，平面，

故平面；

（2）由

（1）可知与的所成角为，

由，，故平面，

在中，

，

故与的所成角的正弦值为．

6．如图，在正三棱柱中，，侧棱，且，分别是，的中点．

（1）求证：

平面；

（2）求异面直线与所成角的大小．

【解答】解：

（1）证明：

在正三棱柱中，，分别是，的中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）解：

取的中点，连接，，

在正三棱柱中，有，

所以为异面直线与所成角，

又因为，平面平面，

所以平面，，

又因为，

所以在△中，，即，

故异面直线与所成角的大小为．

7．如图，在直棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且平面．

（1）证明：

；

（2）若为中点，求直线与直线所成角的余弦值．

【解答】

（1）证明：

平面．平面平面．

，又，

．

（2）解：

建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设．

则，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，0，，

，，，，0，，

，，，

，．

直线与直线所成角的余弦值为．

8．如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，，分别为棱，的中点．

（1）求证：

、、、四点共面；

（2）求异面直线与所成的角．

【解答】解：

（1）在中，由、为，中点得，为中位线，即，又底面为矩形，，，

由平行线确定唯一平面得、、、在同一平面上．

（2）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

依题意得：

，0，，，0，，，0，，，，，

，0，，，，，

，

异面直线与夹角为：

．

9．如图，在多面体中，底面是正方形，梯形底面，且．

（Ⅰ）证明：

平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．

【解答】（Ⅰ）证明：

梯形底面，且梯形底面，

又，，

在梯形中，过作，垂足为，

设，可得，则，，

，则，即，

又，平面，而平面，

平面平面；

（Ⅱ）解：

以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，2，，，2，，，，，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

由，取，得．

设直线与平面所成角的大小为，则，

，即直线与平面所成角的大小为．

10．如图，四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，点，分别是，的中点．

（1）求证：

平面；

（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】

（1）证明：

取的中点，连接，．

是的中点，，又，

，四边形是平行四边形．

，又平面，平面，

平面．

（2）解：

，，，，，，

同理可得：

，又，平面．

连接，，设，则，建立空间直角坐标系．

，0，，，0，，，，，，，，，，，，，，，，，，0，．

设平面的法向量为，，，

则，则，，取，，．

，．

直线与平面所成角的正弦值为．

11．如图，四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，，，，分别是，的中点．

（1）①求证：

平面；

②求线段的长度；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】解：

（1）①证明：

取中点，则，，

，，

平面平面，

平面；

②由①可知，，

由余弦定理有，；

（2），

，

又，，

平面，

平面平面，

延长到，使得，则平面，，

，，

，

设到平面的距离设为，则，

，

直线与平面所成角的正弦值为．

12．如图，三棱锥中，，，，，．

（1）求证：

；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】解：

（1）证明：

取中点，连结，，

，，，，

，平面，

平面，．

（2）解：

设，则，，，

，，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，0，，，0，，

，，，，，，，0，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，，，

设直线与平面所成角为，

则直线与平面所成角的正弦值为：

．

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