最新二次函数铅垂高演练答案解析总结.docx

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最新二次函数铅垂高演练答案解析总结

二次函数铅垂高

如图12-1,过厶ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直

线之间的距离叫厶ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度

1

叫厶ABC的“铅垂高（h）”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：

Sabcah，

即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半

解答下列问题:

如图12-2，抛物线顶点坐标为点C（1,4）,交x轴于点A（3,0），交y轴于点B.

（1）求抛物线和直线AB的解析式;

⑵点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点

C时，求△CAB的铅垂高CD及Scab；

例1解：

（1）设抛物线的解析式为：

y!

=a（x—1）2+4•分

把A（3,0）代入解析式求得a=-1

所以y^i=-（x-1）24=-x22x33分

设直线AB的解析式为：

y2二kx•b

由y1二-x22x3求得b点的坐标为（0,3）4分

把A（3,0）,B（0,3）代入y2=kxb中

解得：

k=T,b=3

所以y2=_x■36分

⑵因为C点坐标为（1,4）所以当x=1时，y1=4,y2=2

所以CD=4-2=2•分

10分

Scab=132=3（平方单位）

⑶假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为'△PAB的铅垂高为h,

则h=y1_y2=（_x22x3）_（_x3）=_x23x12分

由&PAB=SaCAB

8

19

得：

3（-x23x）3

28

化简得：

4x2_12x•9=0

3

解得，x=3

2

32

将x代入％--x2x3中，

315

解得P点坐标为（3，）14分

总结：

求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。

铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学

会用坐标表示线段。

例2（2010广东省中考拟）如图10,在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2•bx•c（a-0）

的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B

1

点的坐标为（3，0），OB=OC，tan/ACO=—.

3

（1）求这个二次函数的表达式.

（2）经过CD两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使

以点A、CE、F为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，请求出点F的坐标；若不存

在，请说明理由.

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于MN两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度.

（4）如图11,若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动

点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？

求出此时P点的坐标和△APG的最

1）方法一：

由已知得：

C（0,—3）,A（-1,0）

a-bc=0

«9a+3b+c=0

将A、B、C三点的坐标代入得卜=一3

a=1

«b=—2

解得：

尸一3

2所以这个二次函数的表达式为：

y=x-2x-3

方法二：

由已知得：

C（0，—3），A（—1，0）

设该表达式为：

y=a（x1）（^3）

将C点的坐标代入得：

a=1

所以这个二次函数的表达式为：

y=x?

-2x-3

（注：

表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）方法一：

存在，F点的坐标为（2,—3）

理由：

易得D（1,—4）,所以直线CD的解析式为：

y

•••E点的坐标为（一3,0）

由AC、E、F四点的坐标得：

AE=CF=2,AE//CF

•••以ACE、F为顶点的四边形为平行四边形

y=_x_3

•存在点F,坐标为（2,—3）

方法二：

易得D（1,—4）,所以直线CD的解析式为：

•E点的坐标为（一3,0）

•••以ACE、F为顶点的四边形为平行四边形

•F点的坐标为（2,—3）或（一2,—3）或（一4,3

代入抛物线的表达式检验，只有（2,—3）符合

存在点F,坐标为（2,-3）

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为

代入抛物线的表达式，解得2

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0）,

则N（r+1，-r），

代入抛物线的表达式，解得

一1..17

1.17

•••圆的半径为2或2

（4）

过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,

易得

G（2,-3）,直线AG为y=—X-1

2

（X,X—2x-3），则Q（X,-X—1）,PQ=—X

SAPG

二SapqSgpq」（—x2x2）3

--2

1

X=

当2时，△APG的面积最大

结‘-晋is心pg的最大值为27

此时p点的坐标为24,8

随堂练习1.（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD勺顶点A、B的坐标分别为（-4,0）和

（2,0）,BC=23.设直线AC与直线x=4交于点E

（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物

线一定过点E;

（2）设

（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N,M是该抛物线上位于CN之间的一动点，求△CMN面积的最大值.

2

•设抛物线的函数关系式为y=a（x-4）m,

y=_d（X_4）2+还

•所求抛物线的函数关系式为63

则4am=2、.3，解得

a二一

•••直线AC的函数关系式为

3，•点E的坐标为

16am=0

设直线AC的函数关系式为y=kx.b,则2k•b=2.3，解得

y一£（43+辺二症

33，•此抛物线过E点.

把x=4代入①式，得6

（2）

（1）中抛物线与x轴的另一个交点为

N（8，0），设M（x，y），过M作MGLx轴于

G,贝USACMN=S\MNG+梯形MGB—SA

丄（8—x）Ly+^（y+2药&一2）—1x（8一2）

CBN=222

x）、3x-8.?

=x25•3x-8、3

32

1329••3

（x-5）

22

•••当x=5时，SACMN有最大值2

课下练习1.（本题满分12分）已知：

如图一次函数y=1x+1的图象与x轴交于点A，与y

轴交于点B;二次函数y=1x2+bx+c的图象与一次函数y=*x+1的图象交于B、C两

点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1,0）

（1）求二次函数的解析式；

⑵求四边形BDEC的面积S；

（3）

在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？

若存在，求出所有的点P,若不存在，请说明理由.

（2）在x轴上方的抛物线上有一点

D,且以AC、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯

（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC的形状;

形，请直接写出D点的坐标;

（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形?

【答案】解：

根据题意，将

一

A（2,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中,

11

-一-一ab=0,

42

得-42ab=0.

解这个方程，得

^2,

b=1.

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3

所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+i.

当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0,1）。

22逅

所以在△AOC中,AC=OAOC=2在厶BOC中，BC=JOB2+OC2=薦.

AB=OA+OB=

所以△ABC是直角二角形。

勺］

（2）点D的坐标是2

（3）存在。

由

（1）知，AC丄BC,

若以BC为底边，则BC//AP,如图

（1）所示，可求得直线BC的解析式为

直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设

直线AP的解析式为

_1_1

将A（2,0）代入直线AP的解析式求得b=4,所

11

y=一一x一一以直线AP的解析式为24.

311

x-一因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+2x+仁24.

综上所述，满足题目的点

5

P的坐标为（2,

2）或（-2,-9）

51

论=—x2=—―

解得22（不合题意，舍去）

Xi=_：

X2=2

解得2（不合题意，舍去）

5

当x=-2时，y=-9.

5

所以点P的坐标为（-2,-9）.

--x2+?

x+4

2（本题10分）如图，已知二次函数y=42的图象与y轴交于点A，与x轴

交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC.

（1）点A的坐标为，点C的坐标为;

（2）线段AC上是否存在点E,使得△EDC为等腰三角形？

若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接则S取何值时，相应的点P有且只有2个？

.解：

（1）A

（2）易得

（0,

D

4），C（8，0）.

（3，0）,CD=5.设直线AC对应的函数关系式为

y=kxb，

则b=4,

8kb

=0.

1

解得kr

b=4.

分

①当

DE=DC时,

•/OA=4,OD=3.

•••DA=5,•••巳（0,4）.

②当

ED=EC时,

可得E2（11

③当

CD=CE时,

如图，过点

5）.••……

24

E作EG丄CD,

则厶CEGCAO,「.12

OA

CG_CE~O^AC

Fj

A

BO

5分

即EG=厉，CG=2.5，•

Es（8-2.5，5）•

综上，符合条件的点E有三个：

巳（0,4）,e2

（115

\?

—

24

）,

Es（8-2.5，5）.

（3）

如图，过P作PH丄OC,垂足为H,

（m,_^m2十Em+4）,贝VQ（m,

42

①当

0：

：

:

m:

:

8时,

PQ=

/12丄3丄,）（1丄,12丄小

mm4丿一（——m4）=m2m，4224

1122

Sapc=ScpqSapqV8（T2m）f—4）16，

••0：

：

S_16；

②当-2:

:

m:

:

:

0时,

PQ=（4m4丿1m4）=r^2m，

1122

S[Apc=Scpq-Sapq=㊁'8m--2m）=（m-4）••16，

•-0:

:

：

S:

:

:

20-

故S=16时，相应的点P有且只有两个.