中考数学专题汇编全集 几何探究与证明.docx

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中考数学专题汇编全集几何探究与证明

几何探究与证明

类型一　三条线段之间的数量关系

★1.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE.

（1）如图①，当点D在边BC上时，求证：

①BD＝CE，②AC＝CE＋CD；

第1题图

（2）如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE＋CD是否成立？

若不成立请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系并说明理由；

（3）如图③，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．

（1）证明：

①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，

∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；

②∵BC＝BD＋CD，AC＝BC，BD＝CE，

∴AC＝CE＋CD；

（2）解：

AC＝CE＋CD不成立，

AC、CE、CD之间存在的数量关系是AC＝CE－CD.

理由：

∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，

∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，

即∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，

∵BC＝BD－CD，

∴BC＝CE－CD，

∵AC＝BC，

∴AC＝CE－CD；

（3）解：

AC、CE、CD之间存在的数量关系是AC＝CD－CE.

【解法提示】∵△ABC和△ADE是等边三角形，

∴AD＝AE，AB＝AC，∵∠DAE＝∠BAC＝60°，

∴∠DAB＝∠EAC，∴在△ADB和△AEC中，

，∴△ADB≌△AEC，∵BD＝CE，∵CD＝BD＋BC，∴BC＝CD－CE，∴AC＝CD－CE.

★2.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作∠DAF＝60°，在射线AF上截取点F，使AF＝AD，过点D作DE∥AF，过点F作EF∥AD，DE、EF交于点E，连接CF，

（1）如图①，当点D在边BC上时，求证：

①BD＝CF；②AC＝CF＋CD；

（2）如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CF＋CD是否成立？

若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

第2题图

（1）证明：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠DAF＝60°，

∴∠BAC－∠DAC＝∠DAF－∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴CF＝BD，

∴CF＋CD＝BD＋CD＝BC＝AC，

即①BD＝CF，②AC＝CF＋CD；

（2）解：

AC＝CF＋CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC＝CF－CD，

理由是：

由

（1）知：

AB＝AC＝BC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝60°，

∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAF＋∠DAC，

即∠BAD＝∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD＝CF，

∴CF－CD＝BD－CD＝BC＝AC，

即AC＝CF－CD；

（3）解：

AC＝CD－CF.

【解法提示】理由是：

∵∠BAC＝∠DAF＝60°，

∴∠DAB＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，

，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴CF＝BD，∴CD－CF＝CD－BD＝BC＝AC，即AC＝CD－CF.

★3.已知在正方形ABCD中，点E在直线AB上，点F在直线BC上，连接DE、DF，∠EDF＝45°.

（1）如图①，点E，点F分别在线段AB，BC上时，直接写出AE，CF，EF的数量关系；

（2）如图②，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，求AE，CF，EF的数量关系；

（3）如图③，在

（2）的条件下，若AE＝2AB＝8，求EF的长．

第3题图

解：

（1）EF＝AE＋CF.

【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，如解图①：

延长BA，使AM＝CF，且AD＝CD，∠C＝∠MAD，∴△AMD≌△CFD（SAS），∴∠ADM＝∠CDF，DM＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠ADE＋∠FDC＝45°，∴∠ADM＋∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠FDE，且DM＝DF，DE＝DE，∴△EDF≌△EDM（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝AM＋AE＝AE＋CF，∴EF＝AE＋CF；

第3题解图①第3题解图②

（2）如解图②：

在AB上截取AM＝CF，

∵AD＝CD，AM＝CF，∠A＝∠DCF＝90°，

∴△ADM≌△CDF（SAS），

∴DM＝DF，∠ADM＝∠CDF，

∵∠ADM＋∠MDC＝90°，

∴∠CDF＋∠MDC＝90°，即∠MDF＝90°，

∵∠EDF＝45°，

∴∠EDF＝∠MDE＝45°，且DM＝DF，DE＝DE，

∴△MDE≌△FDE（SAS），

∴EF＝EM，

∵AE＝AM＋ME，

∴AE＝CF＋EF；

（3）∵AE＝2AB＝8，

∴AB＝BC＝BE＝4，

∵AE＝CF＋EF，

∴CF＝8－EF，

在Rt△BEF中，EF2＝BE2＋BF2，

∴EF2＝16＋（4＋8－EF）2，

∴EF＝

.

★4.在菱形ABCD中，P为直线AD上的点，Q为直线CD上的点，分别连接PC，PQ，且PC＝PQ.

（1）若∠B＝60°，点P在线段DA上，点Q在线段CD的延长线上，如图①，证明：

DQ＋PD＝AB；

（2）若∠B＝60°，点P在线段DA的延长线上，点Q在线段CD上，如图②，猜想线段DQ，PD和AB之间有怎样的数量关系，并给予证明；

（3）若∠B＝120°，点P在线段DA上，点Q在线段CD的延长线上，如图③，猜想线段DQ，PD和AB之间有怎样的数量关系？

并给予证明．

第4题图

（1）证明：

如解图①，在CD上取CH＝DQ，连接PH，

∵PC＝PQ，∴∠PCQ＝∠PQC，

∵CH＝DQ，

∴△PCH≌△PQD（SAS），

∴PH＝PD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD＝AB，∠PDC＝∠B＝60°，

∴△PHD是等边三角形，

∴PD＝HD，

∴PD＋DQ＝DH＋CH＝CD＝AB；

（2）解：

猜想PD－DQ＝AB.

证明：

如解图②，延长CA到点M，使得AM＝AP，连接PM.

∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∴∠CAD＝∠PAM＝60°，

∴△PAM是等边三角形，

∴AM＝PM，∠M＝∠ACD＝60°，

∴PM∥CD，

∴∠PCD＋∠CPM＝180°，

∵PC＝PQ，

∴∠PCQ＝∠PQC，

∵∠PQC＋∠PQD＝180°，

∴∠CPM＝∠PQD，

∴△PCM≌△QPD（AAS），

∴CM＝PD，PM＝DQ＝AM，

∵CM＝AC＋AM＝AB＋DQ，

∴PD－DQ＝AB；

（3）解：

猜想：

DQ－PD＝AB.

证明：

如解图③，在DQ上截取DM＝DP，连接PM.

∵∠B＝∠ADC＝120°，

∴∠PDM＝60°，

∴△PDM是等边三角形，

∴PD＝PM，∠PMC＝∠PDQ＝60°，

∵PC＝PQ，

∴∠PCM＝∠Q，

∴△PCM≌△PQD（AAS），

∴CM＝DQ，

∴CD＋DM＝DQ，

∴AB＋PD＝DQ，

即DQ－PD＝AB.

第4题解图

★5.在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，且

＝k，过点E作EF∥AB交AC的延长线于点F.

（1）如图①，当k＝1时，求证：

AF＋EF＝AB；

（2）如图②，当k＝2时，直接写出线段AF、EF、AB之间满足的数量关系：

________；

（3）如图③，当

＝k时，请猜想线段AF、EF、AB之间满足的数量关系（含k），并证明你的结论．

第5题图

（1）证明：

如解图①，延长AD、EF交于点G，

当k＝1时，DE＝BD，

∵EF∥AB，

∴∠BAD＝∠EGD，

在△ABD与△GED中，

，

∴△ABD≌GED（AAS），

∴AB＝GE，

又∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC，

∴∠FGD＝∠DAC，

∴AF＝GF，

∵GF＋EF＝GE，

∴AF＋EF＝AB;

（2）解：

AF＋EF＝2AB.

【解法提示】如解图②，延长AD、EF交于点G，当k＝2时，∵EF∥AB，∴∠BAD＝∠EGD，又∵∠BDA＝∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴

＝

＝2，即GE＝2AB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠FGD＝∠DAC，∴AF＝GF，∵GF＋EF＝GE，∴AF＋EF＝2AB；

（3）解：

猜想：

AF＋EF＝kAB.

证明：

如解图③，延长AD、EF交于点G，当

＝k时，

∵EF∥AB，

∴∠BAD＝∠EGD，

又∵∠BDA＝∠EDG，

∴△ABD∽△GED，

∴

＝

＝k，即GE＝kAB，

又∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC，

∴∠FGD＝∠DAC，

∴AF＝GF，

∵GF＋EF＝GE，

∴AF＋EF＝kAB.

第5题解图

类型二　两条线段之间的数量

关系与位置关系证明

★6.如图，已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，DF.

（1）如图①，点D在AC上，延长DF，交BC于点G，请判断线段CF，DF有怎样的数量关系和位置关系？

并说明理由；

（2）将图①中的△ADE绕点A旋转到图②位置，延长DF至G使GF＝DF，DG与AB交于点O，连接BG，CG，DC，请判断

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

第6题图

解：

（1）DF＝CF，DF⊥CF；

理由：

∵∠ADE＝∠ACB＝90°，

∴DE∥BC，

∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF.

∵F为BE中点，

∴EF＝BF，

∴△DEF≌△GBF（AAS），

∴DE＝GB，DF＝GF.

∵AD＝DE，

∴AD＝GB，

∵AC＝BC，

∴AC－AD＝BC－GB，

∴DC＝GC.

∵∠ACB＝90°，

∴△DCG是等腰直角三角形，

∵DF＝GF，

∴DF＝CF，DF⊥CF；

（2）

（1）中的结论仍然成立，理由是：

在△FDE和△FGB中，

，

∴△FDE≌△FGB（SAS），

∴∠DEF＝∠GBF，DE＝GB，

∴BG∥DE，

如解图，延长DE交BC于点M，

∵DE∥BG，

∴∠CBG＝∠DMB，

∵∠ADE＝∠ACB＝90°，

∴∠DAC＋∠DMC＝180°，

∴∠DMB＝∠DAC＝∠CBG，

在△CAD和△CBG中，

∵

，

∴△CAD≌△CBG（SAS），

∴CD＝CG，∠DCA＝∠GCB，

∴∠DCG＝∠BCG＋∠BCD＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACB＝90°，

∵DF＝GF，

∴DF＝CF，DF⊥CF.

第6题解图

★7.在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点CD不重合），连接AE，平移△ADE使点D移动到点C得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG.

第7题图