中考数学专题汇编全集 几何探究与证明.docx

1、中考数学专题汇编全集 几何探究与证明几何探究与证明类型一三条线段之间的数量关系1. 已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与点B、C重合)，以AD为边作等边ADE(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE.(1)如图，当点D在边BC上时，求证：BDCE，ACCECD；第1题图 (2)如图，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论ACCECD是否成立？若不成立请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系并说明理由；(3)如图，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系(1)证明：ABC和ADE都是等边三角形，ABACBC，ADA

2、E，BACDAE60，BACCADDAECAD，即BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE(SAS)，BDCE；BCBDCD，ACBC，BDCE，ACCECD；(2)解：ACCECD不成立，AC、CE、CD之间存在的数量关系是ACCECD.理由：ABC和ADE都是等边三角形，ABACBC，ADAE，BACDAE60，BACCADDAECAD，即BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE(SAS)，BDCE，BCBDCD，BCCECD，ACBC，ACCECD；(3)解：AC、CE、CD之间存在的数量关系是ACCDCE.【解法提示】ABC和ADE是等边三角形，ADAE，ABAC，DAEB

3、AC60，DABEAC，在ADB和AEC中，ADBAEC，BDCE，CDBDBC，BCCDCE，ACCDCE.2. 已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作DAF60，在射线AF上截取点F，使AFAD，过点D作DEAF，过点F作EFAD，DE、EF交于点E，连接CF，(1)如图，当点D在边BC上时，求证：BDCF；ACCFCD；(2)如图，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论ACCFCD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，并直接写出AC、CF、CD之

4、间存在的数量关系第2题图(1)证明：ABC是等边三角形，ABACBC，BACDAF60，BACDACDAFDAC，BADCAF，在BAD和CAF中，BADCAF(SAS)，CFBD，CFCDBDCDBCAC，即BDCF，ACCFCD；(2)解：ACCFCD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是ACCFCD，理由是：由(1)知：ABACBC，ADAF，BACDAF60，BACDACDAFDAC，即BADCAF，在BAD和CAF中，BADCAF(SAS)，BDCF，CFCDBDCDBCAC，即ACCFCD；(3)解：ACCDCF.【解法提示】理由是：BACDAF60，DABCAF，在BAD和

5、CAF中，BADCAF(SAS)，CFBD，CDCFCDBDBCAC，即ACCDCF.3.已知在正方形ABCD中，点E在直线AB上，点F在直线BC上，连接DE、DF，EDF45.(1)如图，点E，点F分别在线段AB，BC上时，直接写出AE，CF，EF的数量关系 ；(2)如图，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，求AE，CF，EF的数量关系；(3)如图，在(2)的条件下，若AE2AB8，求EF的长第3题图解：(1)EFAECF.【解法提示】四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD，BCADCDAB90，如解图：延长BA，使AMCF，且ADCD，CMAD，AMDCFD(SAS)，ADMCD

6、F，DMDF，EDF45，ADEFDC45，ADMADE45MDE，MDEFDE，且DMDF，DEDE，EDFEDM(SAS)，EFEM，EMAMAEAECF，EFAECF； 第3题解图 第3题解图(2)如解图：在AB上截取AMCF，ADCD，AMCF，ADCF90，ADMCDF(SAS)，DMDF，ADMCDF，ADMMDC90，CDFMDC90，即MDF90，EDF45，EDFMDE45，且DMDF，DEDE，MDEFDE(SAS)，EFEM，AEAMME，AECFEF；(3)AE2AB8，ABBCBE4，AECFEF，CF8EF，在RtBEF中，EF2BE2BF2，EF216(48EF)

7、2，EF.4. 在菱形ABCD中，P为直线AD上的点，Q为直线CD上的点，分别连接PC，PQ，且PCPQ.(1)若B60，点P在线段DA上，点Q在线段CD的延长线上，如图，证明：DQPDAB；(2)若B60，点P在线段DA的延长线上，点Q在线段CD上，如图，猜想线段DQ，PD和AB之间有怎样的数量关系，并给予证明；(3)若B120，点P在线段DA上，点Q在线段CD的延长线上，如图，猜想线段DQ，PD和AB之间有怎样的数量关系？并给予证明第4题图(1)证明：如解图，在CD上取CHDQ，连接PH，PCPQ，PCQPQC，CHDQ，PCHPQD(SAS)，PHPD，四边形ABCD是菱形，CDAB，P

8、DCB60，PHD是等边三角形，PDHD，PDDQDHCHCDAB；(2)解：猜想PDDQAB.证明：如解图，延长CA到点M，使得AMAP，连接PM.四边形ABCD是菱形，B60，ABC，ACD都是等边三角形，CADPAM60，PAM是等边三角形，AMPM，MACD60，PMCD，PCDCPM180，PCPQ，PCQPQC，PQCPQD180，CPMPQD，PCMQPD(AAS)，CMPD，PMDQAM，CMACAMABDQ，PDDQAB；(3)解：猜想：DQPDAB.证明：如解图，在DQ上截取DMDP，连接PM.BADC120，PDM60，PDM是等边三角形，PDPM，PMCPDQ60，PC

9、PQ，PCMQ，PCMPQD(AAS)，CMDQ，CDDMDQ，ABPDDQ，即DQPDAB.第4题解图5.在ABC中，已知ABAC，AD平分BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，且k，过点E作EFAB交AC的延长线于点F.(1)如图，当k1时，求证：AFEFAB；(2)如图，当k2时，直接写出线段AF、EF、AB之间满足的数量关系：_；(3)如图，当k时，请猜想线段AF、EF、AB之间满足的数量关系(含k)，并证明你的结论第5题图(1)证明：如解图，延长AD、EF交于点G，当k1时，DEBD，EFAB，BADEGD，在ABD与GED中，ABDGED(AAS)，ABGE，又AD平分BAC，

10、BADDAC，FGDDAC，AFGF，GFEFGE，AFEFAB; (2)解：AFEF2AB.【解法提示】如解图，延长AD、EF交于点G，当k2时，EFAB，BADEGD，又BDAEDG，ABDGED，2，即GE2AB，又AD平分BAC，BADDAC，FGDDAC，AFGF，GFEFGE，AFEF2AB；(3)解：猜想：AFEFkAB.证明：如解图，延长AD、EF交于点G，当k时，EFAB，BADEGD，又BDAEDG，ABDGED，k，即GEkAB，又AD平分BAC，BADDAC，FGDDAC，AFGF，GFEFGE，AFEFkAB.第5题解图类型二两条线段之间的数量关系与位置关系证明6.

11、如图，已知ACB和ADE都是等腰直角三角形，ACBADE90，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，DF.(1)如图，点D在AC上，延长DF，交BC于点G，请判断线段CF，DF有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由；(2)将图中的ADE绕点A旋转到图位置，延长DF至G使GFDF，DG与AB交于点O，连接BG，CG，DC，请判断(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由第6题图解：(1)DFCF，DFCF；理由：ADEACB90，DEBC，DEFGBF，EDFBGF.F为BE中点，EFBF，DEFGBF(AAS)，DEGB，DFGF.ADDE，ADGB，ACBC，ACADB

12、CGB，DCGC.ACB90，DCG是等腰直角三角形，DFGF，DFCF，DFCF；(2)(1)中的结论仍然成立，理由是：在FDE和FGB中，FDEFGB(SAS)，DEFGBF，DEGB，BGDE，如解图，延长DE交BC于点M，DEBG，CBGDMB，ADEACB90，DACDMC180，DMBDACCBG，在CAD和CBG中，CADCBG(SAS)，CDCG，DCAGCB，DCGBCGBCDACDBCDACB90，DFGF，DFCF，DFCF.第6题解图7. 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上(与点CD不重合)，连接AE，平移ADE使点D移动到点C得到BCF，过点F作FGBD于点G，连接AG，EG. 第7题图