九年级数学上册公理及其推论教案 北师大版.docx

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九年级数学上册公理及其推论教案北师大版

2019-2020年九年级数学上册公理及其推论教案北师大版

年级

初三

学科

数学

版本

北师大版

内容标题

你能证明它们吗？

§1、§2

编稿老师

孙月

【本讲教育信息】

一.教学内容：

年级

初三

学科

数学

版本

北师大版

内容标题

你能证明它们吗？

§1、§2

编稿老师

孙月

【本讲教育信息】

一.教学内容：

你能证明它们吗？

§1、有关等腰三角形的性质

§2、有关等腰三角形的判定

二.教学目标：

1、了解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形有关性质和判定的定理。

2、进一步体会证明的必要性，进一步掌握综合法的证明方法，并能用规范的数学语言来表述整个推理论证过程，发展推理论证的能力。

3、结合实例体会反证法的含义。

4、在学习中注意积累一些数学思想方法，并运用到解决问题当中。

三.重点、难点：

重点：

1、证明的基本步骤。

2、掌握等腰三角形的性质和判定。

3、理解和掌握反证法。

难点：

灵活运用综合法分析问题，并规范地书写证明过程。

四.课堂教学

1、公理及其推论

公理：

三边对应相等的两个三角形全等。

（）

公理：

两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

（）

公理：

两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

（）

公理：

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

推论：

两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（）

2、等腰三角形的性质定理及其推论

定理：

等腰三角形的两个底角相等。

（简称：

等边对等角）

已知：

如图，在中，。

证：

。

证明：

取BC中点D，连接AD

。

推论：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（简称：

三线合一）

符号语言：

（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD

∴AD⊥BC，BD=DC

（2）∵AB=AC，AD⊥BC

∴BD=DC，∠BAD=∠CAD

（3）∵AB=AC，BD=DC

∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

例1.等腰三角形两腰上的中线相等

已知：

如图，在中，，BD、CE是的中线。

求证：

BD=CE。

证明：

BD、CE是的中线

又

在和中

，，

推广：

如果，那么吗？

呢？

你能总结出一个一般结论吗？

想一想：

等腰三角形两底角的平分线相等吗？

你能推广出什么结论吗？

高呢？

3、等腰三角形的判定定理

定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形。

（简称：

等角对等边）

符号语言：

在中，∵∠B=∠C∴AB=AC

4、反证法

思考：

“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等”你认为这个结论正确吗？

解决问题：

如图，在中，已知，此时AB与AC要么相等，要么不等。

假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得，但已知条件是。

“”与已知“”相矛盾，因此。

概念：

先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。

例2.、、、都是正数，且，那么这四个数中至少有一个大于或等于。

证明：

先假设这四个数中没有一个大于或等于，即这四个数都小于，那么这四个数的和一定小于1，这与已知相矛盾，从而说明假设不成立，即这四个数中至少有一个大于或等于。

【典型例题】

例1.如图所示，AB=DB，，请你添加一个适当的条件使，则添加的条件是

答案：

∵，∴，又∵AB=DB

∴利用“”公理，需添加：

BC=BE，

利用“”公理，需添加：

利用“”公理，需添加：

因此可填：

BC=BE，或中的任一个。

例2.如图，在中，AD是角平分线，求证：

AC=AB+BD。

证明：

在AC上截取AE=AB，连ED

∵AE=AB，，AD=AD

∴

∴ED=BD，

∵是的一个外角

∴

∴

又∵

∴

∴

∴

∴

∴

即AC=AB+BD

【模拟试题】（答题时间：

30分钟）

一.选择题：

1.如图所示，，AD=AB，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，则有（）

A.∠1=∠EFDB.FD∥BCC.BF=FD=CDD.BE=EC

2.如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC上，DE交AC于F，若，AE=AC，则（）

A.△ABD≌△AFDB.△AFE≌△ADC

C.△AFE≌△DFCD.△ABC≌△ADE

3.等腰三角形的一个内角为，它一腰上的高与底边所夹的角的度数为（）

A.B.或C.D.以上都不对

4.如图所示，，BC=DB，AC=AE，则（）

A.B.C.D.

5.在课外航模小组的活动中，小同同学要制作两只完全相同的帆船。

如图是他制作的两只船的船帆，现在小同已经测量出BC=FE，AC=DE，要断定两只船帆一样，只需测量出（）

A.B.C.D.以上都不对

二、填空题：

1.如图，已知△ABC中，若，，BE是的平分线，AC=14，，则，AD=。

2.如图，已知△ABC中，若，，直角的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：

（1）：

AE=CF

（2）：

△EPF是等腰直角三角形

（3）：

（4）：

EF=AP

当在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有

3.如图所示，在△ABC中，，过和的平分线交点O，作，交AC于E，则图中的等腰三角形有个，它们分别是

4.如图所示，在△ABC中，，要使AD=AE，需要添加的一个条件是。

5.若等腰三角形腰上的高与底边的夹角，则它和顶角之间应满足的关系式为。

三、证明：

1.已知如图，AB=AD，，求证：

CB=CD

2.如图，已知在△ABC中，AD平分，，求：

的值。

3.如图所示，在△ABC中，，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE求证：

AH=2BD

4.如图，MB=2MA，MC=BC，，求证：

5.

（1）如图所示，P是等腰△ABC的底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于R，观察AR与AQ，它们有什么关系？

证明你的猜想。

（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，第

（1）题中的结论还成立吗？

请在图中完成图形，并给出证明。

？

§1、有关等腰三角形的性质

§2、有关等腰三角形的判定

二.教学目标：

1、了解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形有关性质和判定的定理。

2、进一步体会证明的必要性，进一步掌握综合法的证明方法，并能用规范的数学语言来表述整个推理论证过程，发展推理论证的能力。

3、结合实例体会反证法的含义。

4、在学习中注意积累一些数学思想方法，并运用到解决问题当中。

三.重点、难点：

重点：

1、证明的基本步骤。

2、掌握等腰三角形的性质和判定。

3、理解和掌握反证法。

难点：

灵活运用综合法分析问题，并规范地书写证明过程。

四.课堂教学

1、公理及其推论

公理：

三边对应相等的两个三角形全等。

（）

公理：

两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

（）

公理：

两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

（）

公理：

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

推论：

两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（）

2、等腰三角形的性质定理及其推论

定理：

等腰三角形的两个底角相等。

（简称：

等边对等角）

已知：

如图，在中，。

证：

。

证明：

取BC中点D，连接AD

。

推论：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（简称：

三线合一）

符号语言：

（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD

∴AD⊥BC，BD=DC

（2）∵AB=AC，AD⊥BC

∴BD=DC，∠BAD=∠CAD

（3）∵AB=AC，BD=DC

∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

例1.等腰三角形两腰上的中线相等

已知：

如图，在中，，BD、CE是的中线。

求证：

BD=CE。

证明：

BD、CE是的中线

又

在和中

，，

推广：

如果，那么吗？

呢？

你能总结出一个一般结论吗？

想一想：

等腰三角形两底角的平分线相等吗？

你能推广出什么结论吗？

高呢？

3、等腰三角形的判定定理

定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形。

（简称：

等角对等边）

符号语言：

在中，∵∠B=∠C∴AB=AC

4、反证法

思考：

“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等”你认为这个结论正确吗？

解决问题：

如图，在中，已知，此时AB与AC要么相等，要么不等。

假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得，但已知条件是。

“”与已知“”相矛盾，因此。

概念：

先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。

例2.、、、都是正数，且，那么这四个数中至少有一个大于或等于。

证明：

先假设这四个数中没有一个大于或等于，即这四个数都小于，那么这四个数的和一定小于1，这与已知相矛盾，从而说明假设不成立，即这四个数中至少有一个大于或等于。

【典型例题】

例1.如图所示，AB=DB，，请你添加一个适当的条件使，则添加的条件是

答案：

∵，∴，又∵AB=DB

∴利用“”公理，需添加：

BC=BE，

利用“”公理，需添加：

利用“”公理，需添加：

因此可填：

BC=BE，或中的任一个。

例2.如图，在中，AD是角平分线，求证：

AC=AB+BD。

证明：

在AC上截取AE=AB，连ED

∵AE=AB，，AD=AD

∴

∴ED=BD，

∵是的一个外角

∴

∴

又∵

∴

∴

∴

∴

∴

即AC=AB+BD

【模拟试题】（答题时间：

30分钟）

一.选择题：

1.如图所示，，AD=AB，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，则有（）

A.∠1=∠EFDB.FD∥BCC.BF=FD=CDD.BE=EC

2.如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC上，DE交AC于F，若，AE=AC，则（）

A.△ABD≌△AFDB.△AFE≌△ADC

C.△AFE≌△DFCD.△ABC≌△ADE

3.等腰三角形的一个内角为，它一腰上的高与底边所夹的角的度数为（）

A.B.或C.D.以上都不对

4.如图所示，，BC=DB，AC=AE，则（）

A.B.C.D.

5.在课外航模小组的活动中，小同同学要制作两只完全相同的帆船。

如图是他制作的两只船的船帆，现在小同已经测量出BC=FE，AC=DE，要断定两只船帆一样，只需测量出（）

A.B.C.D.以上都不对

二、填空题：

1.如图，已知△ABC中，若，，BE是的平分线，AC=14，，则，AD=。

2.如图，已知△ABC中，若，，直角的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：

（1）：

AE=CF

（2）：

△EPF是等腰直角三角形

（3）：

（4）：

EF=AP

当在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有

3.如图所示，在△ABC中，，过和的平分线交点O，作，交AC于E，则图中的等腰三角形有个，它们分别是

4.如图所示，在△ABC中，，要使AD=AE，需要添加的一个条件是。

5.若等腰三角形腰上的高与底边的夹角，则它和顶角之间应满足的关系式为。

三、证明：

1.已知如图，AB=AD，，求证：

CB=CD

2.如图，已知在△ABC中，AD平分，，求：

的值。

3.如图所示，在△ABC中，，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE求证：

AH=2BD

4.如图，MB=2MA，MC=BC，，求证：

5.

（1）如图所示，P是等腰△ABC的底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于R，观察AR与AQ，它们有什么关系？

证明你的猜想。

（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，第

（1）题中的结论还成立吗？

请在图中完成图形，并给出证明。