三角函数诱导公式及记忆方法.docx

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三角函数诱导公式及记忆方法

三角函数诱导公式之马矢奏春创作

创作时间：

二零二一年六月三十日

诱导公式的实质

经常使用的诱导公式

其他三角函数知识

公式推导过程同角三角函数的基本关系式

同角三角函数关系六角形记忆法

1.两角和差公式

2.二倍角的正弦、余弦和正切公式

3.半角的正弦、余弦和正切公式

4.万能公式

5.三倍角的正弦、余弦和正切公式

6.三角函数的和差化积公式

7.三角函数的积化和差公式

诱导公式的实质

经常使用的诱导公式

其他三角函数知识

公式推导过程

同角三角函数的基本关系式

1.同角三角函数关系六角形记忆法

2.两角和差公式

3.二倍角的正弦、余弦和正切公式

4.半角的正弦、余弦和正切公式

5.万能公式

6.三倍角的正弦、余弦和正切公式

7.三角函数的和差化积公式

8.三角函数的积化和差公式

诱导公式的实质

　　所谓三角函数诱导公式,就是将角n·（π/2）±α的三角函数转化为角α的三角函数.

经常使用的诱导公式

公式一：

设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　sin（2kπ+α）=sinαk∈z

　　cos（2kπ+α）=cosαk∈z

　　tan（2kπ+α）=tanαk∈z

　　cot（2kπ+α）=cotαk∈z

　　sec（2kπ+α）=secαk∈z

　　csc（2kπ+α）=cscαk∈z

公式二：

设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π+α）=－sinα

　　cos（π+α）=－cosα

　　tan（π+α）=tanα

　　cot（π+α）=cotα

　　sec（π+α）=-secα

　　csc（π+α）=-cscα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

　　sin（－α）=－sinα

　　cos（－α）=cosα

　　tan（－α）=－tanα

　　cot（－α）=－cotα

　　sec（-α）=secα

　　csc（-α）=-cscα

公式四：

利用公式二和公式三可以获得π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π－α）=sinα

　　cos（π－α）=－cosα

　　tan（π－α）=－tanα

　　cot（π－α）=－cotα

　　sec（π-α）=-secα

　　csc（π-α）=cscα

公式五：

利用公式一和公式三可以获得2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（2π－α）=－sinα

　　cos（2π－α）=cosα

　　tan（2π－α）=－tanα

　　cot（2π－α）=－cotα

　　sec（2π-α）=secα

　　csc（2π-α）=-cscα

公式六：

π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π/2+α）=cosα

　　cos（π/2+α）=－sinα

　　tan（π/2+α）=－cotα

　　cot（π/2+α）=－tanα

　　sec（π/2+α）=-cscα

　　csc（π/2+α）=secα

　　sin（π/2－α）=cosα

　　cos（π/2－α）=sinα

　　tan（π/2－α）=cotα

　　cot（π/2－α）=tanα

　　sec（π/2-α）=cscα

　　csc（π/2-α）=secα

推算公式：

3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（3π/2+α）=－cosα

　　cos（3π/2+α）=sinα

　　tan（3π/2+α）=－cotα

　　cot（3π/2+α）=－tanα

　　sec（3π/2+α）=cscα

csc（3π/2+α）=-secα

　　sin（3π/2－α）=－cosα

　　cos（3π/2－α）=－sinα

　　tan（3π/2－α）=cotα

　　cot（3π/2－α）=tanα

　　sec（3π/2-α）=-cscα

　　csc（3π/2-α）=-secα[1]

　　诱导公式记忆口诀：

“奇变偶不变,符号看象限”.　

　　“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变动：

“变”是指正弦变余弦,正切变余切.（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：

把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n·（π/2）±α是第几象限角,从而获得等式右边是正号还是负号.　

　　符号判断口诀：

　　“一全正；二正弦；三两切；四余弦”.这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”,其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“－”.

　　“ASCT”反Z.意即为“all（全部）”、“sin”、“cos”、“tan”依照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值.

其他三角函数知识

同角三角函数的基本关系式

倒数关系

　　tanα·cotα=1

　　sinα·cscα=1

　　cosα·secα=1

商的关系

　　sinα/cosα=tanα=secα/cscα

　　cosα/sinα=cotα=cscα/secα

平方关系

sin^2（α）+cos^2（α）=1

　　1+tan^2（α）=sec^2（α）

　　1+cot^2（α）=csc^2（α）

同角三角函数关系六角形记忆法

　　构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型.

倒数关系

　　对角线上两个函数互为倒数；

商数关系

　　六边形任意一极点上的函数值即是与它相邻的两个极点上函数值的乘积.（主要是两条虚线两真个三角函数值的乘积,下面4个也存在这种关系.）.由此,可得商数关系式.

平方关系

　　在带有阴影线的三角形中,上面两个极点上的三角函数值的平方和即是下面极点上的三角函数值的平方.

两角和差公式

　　sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

　　sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ

　　cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ

　　cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

　　tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1－tanα·tanβ）

　　tan（α－β）=（tanα－tanβ）/（1+tanα·tanβ）

二倍角的正弦、余弦和正切公式

　　sin2α=2sinαcosα

　　cos2α=cos^2（α）－sin^2（α）=2cos^2（α）－1=1－2sin^2（α）

　　tan2α=2tanα/（1－tan^2（α））

半角的正弦、余弦和正切公式

　　sin^2（α/2）=（1－cosα）/2

　　cos^2（α/2）=（1+cosα）/2

　　tan^2（α/2）=（1－cosα）/（1+cosα）

　　tan（α/2）=（1—cosα）/sinα=sinα/1+cosα

万能公式

　　sinα=2tan（α/2）/（1+tan^2（α/2））

　　cosα=（1－tan^2（α/2））/（1+tan^2（α/2））

　　tanα=（2tan（α/2））/（1－tan^2（α/2））

三倍角的正弦、余弦和正切公式

　　sin3α=3sinα－4sin^3（α）　

　　cos3α=4cos^3（α）－3cosα　

　　tan3α=（3tanα－tan^3（α））/（1－3tan^2（α））

三角函数的和差化积公式

　　sinα+sinβ=2sin（（α+β）/2）·cos（（α－β）/2）

　　sinα－sinβ=2cos（（α+β）/2）·sin（（α－β）/2）

　　cosα+cosβ=2cos（（α+β）/2）·cos（（α－β）/2）

　　cosα－cosβ=－2sin（（α+β）/2）·sin（（α－β）/2）

三角函数的积化和差公式

　　sinα·cosβ=0.5[sin（α+β）+sin（α－β）]

　　cosα·sinβ=0.5[sin（α+β）－sin（α－β）]

　　cosα·cosβ=0.5[cos（α+β）+cos（α－β）]

　　sinα·sinβ=－0.5[cos（α+β）－cos（α－β）]

公式推导过程

万能公式推导

　　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/（cos^2（α）+sin^2（α））......*,

　　（因为cos^2（α）+sin^2（α）=1）

　　再把*分式上下同除cos^2（α）,可得sin2α=2tanα/（1+tan^2（α））

　　然后用α/2取代α即可.

　　同理可推导余弦的万能公式.正切的万能公式可通过正弦比余弦获得.

三倍角公式推导

　　tan3α=sin3α/cos3α

　　=（sin2αcosα+cos2αsinα）/（cos2αcosα-sin2αsinα）

　　=（2sinαcos^2（α）+cos^2（α）sinα－sin^3（α））/（cos^3（α）－cosαsin^2（α）－2sin^2（α）cosα）

　　上下同除以cos^3（α）,得：

　　tan3α=（3tanα－tan^3（α））/（1-3tan^2（α））

　　sin3α=sin（2α+α）=sin2αcosα+cos2αsinα

　　=2sinαcos^2（α）+（1－2sin^2（α））sinα

　　=2sinα－2sin^3（α）+sinα－2sin^3（α）

　　=3sinα－4sin^3（α）

　　cos3α=cos（2α+α）=cos2αcosα－sin2αsinα

　　=（2cos^2（α）－1）cosα－2cosαsin^2（α）

　　=2cos^3（α）－cosα+（2cosα－2cos^3（α））

　　=4cos^3（α）－3cosα

　　即

　　sin3α=3sinα－4sin^3（α）

　　cos3α=4cos^3（α）－3cosα

和差化积公式推导

　　首先,我们知道sin（a+b）=sina*cosb+cosa*sinb,sin（a-b）=sina*cosb-cosa*sinb

　　我们把两式相加就获得sin（a+b）+sin（a-b）=2sina*cosb

　　所以,sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2

　　同理,若把两式相减,就获得cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2

　　同样的,我们还知道cos（a+b）=cosa*cosb-sina*sinb,cos（a-b）=cosa*cosb+sina*sinb

　　所以,把两式相加,我们就可以获得cos（a+b）+cos（a-b）=2cosa*cosb

　　所以我们就获得,cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2

　　同理,两式相减我们就获得sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2

　　这样,我们就获得了积化和差的四个公式:

　　sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2

　　cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2

　　cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2

　　sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2

　　好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以获得和差化积的四个公式.

　　我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=（x+y）/2,b=（x-y）/2

　　把a,b分别用x,y暗示就可以获得和差化积的四个公式:

　　sinx+siny=2sin（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）

　　sinx-siny=2cos（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）

　　cosx+cosy=2cos（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）

　　cosx-cosy=-2sin（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）

创作时间：

二零二一年六月三十日