三角函数的诱导公式.docx

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三角函数的诱导公式

三角函数的诱导公式

【教案分析】

本节教学内容是4组三角函数的诱导公式的推导过程及其简单应用，承上，有任意角的三角函数正弦，余弦和正切的比值定义，三角函数线，同角三角三角函数，启下，学生将学习利用诱导公式进行任意角三角函数的求值化简，以及三角函数的图像与性质（包括三角函数的周期性）等内容同时，学生在初中就接触过对称等知识，对几何图形的对称知识相当熟悉。

这些构成了学生的知识基础。

诱导公式的作用主要在于把任意角的三角函数化归成锐角的三角函数，体现了把一般化特殊，复杂化简单未知化已知的数学思想。

【目标分析】

第一，感受探索发现，通过几何对称这个研究工具，去探究发现任意角的三角函数间的关系，即三角函数的基本性质乃是圆几何性质（其对称性）的代数解析表示。

第二，学会初步应用，能够选用恰当的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数问题，第三，领悟思想方法，在诱导公式的学习过程中领悟化归，数形结合等思想。

【教学目标】

1.让学生理解和发现诱导公式的推导过程便于记忆。

2.让学生学会用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来数形结合地研究

诱导公式。

3.在理解的基础上还要能正确的选择并灵活的运用诱导公式对一些大角进行化简

转化为0～2π的角进行三角函数的求值化简及恒等证明。

4.让学生学习的过程中发现并归纳出将任意角的三角函数转化为锐角三角函数的

步骤。

5.将未知的问题化归为已知的问题的思想方法。

【教学重点与难点】

1.重点：

诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数的求值，化简与恒等

的证明，提高对数学内部联系的认识。

2.难点：

发现圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数性质的联系，特别是直

角坐标系内关于直线y=x对称的点的性质与π/2+a的诱导公式的关系。

【教学流程】

路线图：

角间关系

↓

对称关系

↓

坐标关系

↓

三角函数值间的关系

基本流程：

寻找终边与角a的终边对称的角

↓

探究终边和角a的终边对称的角的数量关系

↓

探究终边和角a的终边对称的三角函数与a的三角函数的关系

↓

证明诱导公式

↓

公式的总结

↓

诱导公式的应用

↓

做题步骤的总结

↓

小结，作业

[教学过程]

教学内容

活动设计

设计意图

1．复习引入

老师：

今天我们将学习三角函数的诱导公式，在学习这节课之前，我们先回顾一下我们是如何定义三角函数的？

学生：

利用单位圆及角a终边上的点的坐标

老师带领复习：

对，我们利用任意角a的终边与单位圆的交点p的坐标p（x,y）来表示。

现再我们一起回顾一下。

老师作图；

老师引导学生回顾以前所学知识老师问学生答，带动课堂气氛

复习引入与本节课的知识点进行连接，引起学生接下来的思考，通过已有知识学习新的知识

老师：

我们发现三角函数的最终结果与只与什么有关?

学生:

P点的坐标

老师:

为什么?

因为我们利用了单位圆的半径为1的性质,而三角函数又是三角函数线的比值,所以最后结果就只与P的坐标有关了,我们利用单位圆半径为1的性质,巧妙地只用一个点的坐标就将角a的三角函数表示出来了而我们利用此定义推出了

诱导公式一:

Sin（a+2πk）=sinacos（a+2πk）=cosatan（a+2kπ）=tanaKZ

1．思考与探究

大家现在思考下面两个问题

1.单位圆还有那些性质?

2.利用这些性质我们还可以探究角a的三角函数的哪些性质?

现在给大家5分钟的时间阅读一下课本23页的思考回答刚才老师提出的问题。

老师：

单位圆还有哪些性质?

学生：

单位圆关于X轴,Y轴,原点以及直线Y=X对称

老师：

那我们可以利用这些对称性探究三角函数的性质呢?

现在大家就带着这个问题我们一起来探究.

老师:

大家想一想当单位圆关于原点对称后角a的终边是否也会关于原点对称？

学生：

会

老师：

那角a的终边关于原点对称后的终边关于原点对称后的终边转到了哪？

角a的终边在第一象限旋转180后到达了第三象限，那此时新的这条终边所对的角与角a有什么数量关系？

学生：

关于原点对称后的角为a+π

老师：

新的终边所对的角一定是a+π吗？

由前面的公式一我们知道终边相同的角的三角函数是相同的所以这里我们取a+π,而今天我们所探究的角都不加2Kπ，我现在有一个问题你能否找到角π+a与角a的三角函数有什么关系呢？

老师：

我们现在一起来看，我们要证明肯定要表达出角a+π的三角函数通过表达式我们才能准确明了地找到角a+π的三角函数与角a的三角函数的关系，而我们要表达出角a+π的三角函数，根据前面对三角函数的定义，首先我们要求得单位圆与角a+π的终边的交点而要求交点，若我此时设交点为P1，那P1与P有怎样的关系？

我们知道圆上的点关于原点对称，或者关于圆的某条轴对称后他是仍然在圆上的，而P关于原点对称后肯定是在a+π的终边上的，所以p与p1关于原点对称，而我们利用点关于原点对称坐标的关系可不可以求出点P1的坐标了，

学生：

可以

老师：

那根据三角函数的定义a+π的三角函数可不可以求出来了

学生：

可以

老师：

是什么？

横坐标为-x，纵坐标为-yp（-x,-y）（老师边问边写有三角）由三角函数定义

老师：

根据三角函数定义sin（π+a）等于p1纵坐标-ycos（π+a）等于p1横坐标-x,tan（π+a）等于p1纵坐标比横坐标结果为y/x，

我们找到了π+a的三角函数表达式，现在我们来看他与a的三角函数有一个怎样的关系，sina=y而sin（π+a）=-y如果我们用sina代替y最终我们可以的到sin（π+a）=-sina，同理我们用cosa代替x用tana代替y/x最终可以得到：

cos（π+a）=-cosatan（π+a）=tana

现在我们推得了角π+a的三角函数与角a的三角函数的关系那么同理其他的角可不可以推导了。

学生：

可以

老师:

好，现在我们就一起推接下来的几个角的三角函数与角a的三角函数的关系，首先与角a的终边关于y轴对称的角与角a有什么数量关系？

学生：

等于π-a，

老师：

那角π-a的三角函数与角a的三角函数有怎样的关系？

同理我们仍然要表示出角π-a的三角函数表达式，由前面的推导过程我们首先要求出角π-a与单位圆的交点坐标如果我设为P2，则P2与p有怎样的关系？

学生：

关于Y轴对称

所以p2（-x,y）,那么同理由三角函数的定义角π-a的三角函数为：

sin（π-a）=ycos（π-a）=-xtan（π-a）=-y/x

所以sin（π-a）=sinacos（π-a）=-cosatan（π-a）=-tana

那角a的终边关于x轴对称的角为-a，则角-a的终边与单位圆的交点为p3则根据前面的类比，现在给大家两分钟的时间推导一下公式四，过一会请同学起来直接给出最终答案

Sin（-a）=-sinacos（-a）=cosatan（-a）=-tana

老师：

大家看结果对不对？

学生：

对

这里我们就得到了课本上的公式二，三，四了到现在为止我们一共学了几个公式了？

学生：

4个

老师：

那我现在有一个问题了我们这些公式中的角a的范围是什么？

角a有限制吗？

老师：

这里我们必须明确一点我们我们得到的角（π-a），（-a），

π+a，a+2πk的三角函数与角a的三角函数关系是通过这些角与单位圆的交点的坐标来建立与角a是否为锐角没关系的，即使a是一个很大的角仍然满足这个式子，例如当a为钝角时，角a的终边关于原点对称后的新的终边所对的角仍然是π+a，而角a的终边与单位圆的交点与角π+a的终边与单位的交点仍然关于原点对称由三角函数的定义最终的结果仍然和公式二一致，同理其他角也是一样，所以这里大家一定要注意a为任意角

老师带领学生思考与探究课本上的知识，老师从旁引导，让学生动手去寻找答案，由老师提出问题，学生通过自我思考动手作图后的得出答案，老师结合学生的答案再引导学生去一起探究寻找答案，一问一答逐步逼近结果。

学生通过思考与探究发现角a关于原点对称，关于x轴对称，关于y轴对称后得到的角与角a的数量关系，以及通过对称后终边所在的象限以及单位圆的对称性

得到了角

Π+a,π-a,-a的终边与角a的终边的关系，推到了点的对称关系最后利用三角函数的定义证明得到角

Π+a，π-a

-a的三角函数与角a的三角函数的联系。

三．公式的概括总结

老师：

对于这四个公式大家能否用一句话概括一下？

老师提示：

既然我们可以用一句话将其概括了那说明他们之间肯定是有什么联系的，要们是相同的要么不同点，现在我们老看他们有什么相同的地方公式二中

sin（π+a）对应的是同名的sina，cos（π+a）对应的是同名的cosa，tan（π+a）对应的是同名的tana，如果你觉得这样找不到规律的话我们再看公式三sin（π-a）对应的是同名的sina

cos（π-a）对应的是同名的cosatan（π-a）对应的是同名的tana

大家在看其他几个公式是不是都有这样的规律？

学生：

是

这也就是说a+2kπ，-a,π+a,π-a的三角函数值与a的同名函数值是对应的，这是他们的相同点，现在我们再看不同点

sin（π+a）=-sinasin（π-a）=sinaSin（-a）=-sina你们看sina

前面的符号是变化的，拿着符号与什么有关？

如果此时我们将a看作锐角时π+a为第三象限角，而第三象限的正弦为负，余弦也为负，正切为正而刚好与sina，cosa，tana前面的符号一致，大家现在看看后面几组是不是也是有这样的规律，

学生：

有

老师：

说明说sina，cosa，tana的符号是与原函数有关的

那当a不看作锐角时能总结出这样的规律吗？

大家在下面画一画

sina，cosa，tana前的的符号还能与原函数的符号一致吗？

学生：

不能

老师：

所以说总结符号时要加上将a看作锐角那现在大家用一句话概括一下

a+2kπ，-a,π+a,π-a的三角函数值等于a的同名函数值前面再加上一个把a看成锐角时原函数的符号。

这就是我们今天学习的三角函数的诱导公式，接下来我们就以几个例子来加深对这些公式的认识

老师引导学生加深对诱导公式的理解

便于运用

4．例题

例1

（1）cos225°

解：

（1）我们要求cos225°而225°并不是我们常见的角，到目前为止我们只学过30°，45°，60°这些锐角的三角函数，大家思考一下我们可不可以利用今天所学的公式将其转化为锐角呢？

首先我们来看这些公式有什么特点？

他要么是两个角的和要么是两个角的差，或者将负角转化为正角，显然我们公式四用不到，除了这一个特点以外我们发现公式二三中都有π，公式一有2kπ，而225°比2π小分出一个2π会出现负角，会多用一次公式不方便所以这里我们可以分出一个π所以结果拆成了？

学生：

180°与45°的和

老师：

对，那cos225°=cos（180°+45°）这是一个π+a形式的角我们可以利用哪一个公式对其进行化简，转化。

学生：

公式二

老师：

那cos（180°+45°）=-cos45°大家一定要注意在cos45°前面加上符号，cos45°=√2/2所以最后结果为cos（180°+45°）=-√2/2

所以COS（180°-60°）=-COS（60°）=-1/2

5．小结

通过这几个例子大家发现了从公式一到公式四有什么作用？

首先，公式一可以将大角转化为与它终边相同的小角，或将负角转化为正角

例如：

sin（-5π/3）=sin（2π-5π/3）=sinπ/3

公式二和四可以将大角转化为小角，将不是特殊的角转化为特殊的角。

公式三可以将负角转化正角来求值

老师：

通过前面几个例子你可以归纳出将任意角转化为锐角三角函数的步骤吗？

第一步：

将任意角的三角函数利用公式公式三或一转化为任意正角的三角函数

第二步：

利用公式一将任意正角的三角函数转化为0～2π的角的三角函数

第三步：

利用公式二或四将其转化为锐角函数

讲了这些之后我们在做一道例题加深巩固

这就是今天我们所讲的内容接下来大家预习公式六的证明，下节课我们再来讲

今天的作业：

练习1，2，3，4

板书设计

第一板

一复习引入

公式一:

Sin（a+2πk）=sina

cos（a+2πk）=cosa

tan（a+2kπ）=tanaKZ

第二板

二．思考与探究

P（X，Y）关于原点对称p1（-x,-y）

由三角函数定义：

公式二：

sin（π+a）=-x=-sina

cos（π+a）=-y=-cosa

tan（π+a）=y/x=tana

P（X，Y）关于Y轴对称p2（-x,y）

同理由三角函数定义：

公式三：

sin（π-a）=Y=sina

cos（π-a）=X=-cosa

tan（π-a）=y/x=-tana

P（X，Y）关于X轴对称p2（x,-y）

第三板

公式四：

Sin（-a）=-sina

cos（-a）=cosa

tan（-a）=-tana

总结：

a+2kπ，-a,π+a,π-a的三角函数值等于a的同名函数值前面再加上一个把a看成锐角时原函数的符号。

第四板

例1

cos225°