三角函数诱导公式及记忆方法.docx

1、三角函数诱导公式及记忆方法三角函数诱导公式之马矢奏春创作创作时间：二零二一年六月三十日诱导公式的实质经常使用的诱导公式其他三角函数知识公式推导过程同角三角函数的基本关系式同角三角函数关系六角形记忆法1.两角和差公式2.二倍角的正弦、余弦和正切公式3.半角的正弦、余弦和正切公式4.万能公式5.三倍角的正弦、余弦和正切公式6.三角函数的和差化积公式7.三角函数的积化和差公式诱导公式的实质经常使用的诱导公式其他三角函数知识公式推导过程同角三角函数的基本关系式1.同角三角函数关系六角形记忆法2.两角和差公式3.二倍角的正弦、余弦和正切公式4.半角的正弦、余弦和正切公式5.万能公式6.三倍角的正弦、余弦

2、和正切公式7.三角函数的和差化积公式8.三角函数的积化和差公式诱导公式的实质所谓三角函数诱导公式, 就是将角n(/2)的三角函数转化为角的三角函数. 经常使用的诱导公式公式一： 设为任意角, 终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k+）=sin kz cos（2k+）=cos kz tan（2k+）=tan kz cot（2k+）=cot kz sec（2k+）=sec kz csc（2k+）=csc kz 公式二： 设为任意角, +的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sin（+）=sin cos（+）=cos tan（+）=tan cot（+）=cot sec(+)=-sec

3、csc(+)=-csc 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系： sin（）=sin cos（）=cos tan（）=tan cot（）=cot sec(-)=sec csc(-)=-csc 公式四： 利用公式二和公式三可以获得-与的三角函数值之间的关系：sin（）=sin cos（）=cos tan（）=tan cot（）=cot sec(-)=-sec csc(-)=csc 公式五： 利用公式一和公式三可以获得2-与的三角函数值之间的关系： sin（2）=sin cos（2）=cos tan（2）=tan cot（2）=cot sec(2-)=sec csc(2-)=-csc 公式六

4、： /2与的三角函数值之间的关系：sin（/2+）=cos cos（/2+）=sin tan（/2+）=cot cot（/2+）=tan sec(/2+)=-csc csc(/2+)=sec sin（/2）=cos cos（/2）=sin tan（/2）=cot cot（/2）=tan sec(/2-)=csc csc(/2-)=sec 推算公式：3/2与的三角函数值之间的关系：sin（3/2+）=cos cos（3/2+）=sin tan（3/2+）=cot cot（3/2+）=tan sec(3/2+)=csc csc(3/2+)=-sec sin（3/2）=cos cos（3/2）=si

5、n tan（3/2）=cot cot（3/2）=tan sec(3/2-)=-csc csc(3/2-)=-sec1诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变, 符号看象限”. “奇、偶”指的是/2的倍数的奇偶, “变与不变”指的是三角函数的名称的变动：“变”是指正弦变余弦, 正切变余切.（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角看做锐角, 不考虑角所在象限, 看n(/2)是第几象限角, 从而获得等式右边是正号还是负号. 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”.这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”； 第二象限内只有正弦是“+”, 其余全部是“”； 第三象

6、限内只有正切和余切是“+”, 其余全部是“”； 第四象限内只有余弦是“+”, 其余全部是“”. “ASCT”反Z.意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”依照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值. 其他三角函数知识同角三角函数的基本关系式倒数关系tan cot=1 sin csc=1 cos sec=1 商的关系sin/cos=tan=sec/csc cos/sin=cot=csc/sec 平方关系 sin2()+cos2()=1 1+tan2()=sec2() 1+cot2()=csc2() 同角三角函数关系六角形记忆法构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1

7、的正六边形为模型. 倒数关系对角线上两个函数互为倒数； 商数关系六边形任意一极点上的函数值即是与它相邻的两个极点上函数值的乘积.（主要是两条虚线两真个三角函数值的乘积, 下面4个也存在这种关系.）.由此, 可得商数关系式. 平方关系在带有阴影线的三角形中, 上面两个极点上的三角函数值的平方和即是下面极点上的三角函数值的平方. 两角和差公式sin（+）=sincos+cossin sin（）=sincoscossin cos（+）=coscossinsin cos（）=coscos+sinsin tan（+）=(tan+tan )/(1tan tan) tan（）=(tantan)/(1+tan

8、 tan) 二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2=2sincos cos2=cos2()sin2()=2cos2()1=12sin2() tan2=2tan/(1tan2() 半角的正弦、余弦和正切公式sin2(/2)=(1cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1cos)/(1+cos) tan(/2)=(1cos)/sin=sin/1+cos 万能公式sin=2tan(/2)/(1+tan2(/2) cos=(1tan2(/2)/(1+tan2(/2) tan=(2tan(/2)/(1tan2(/2) 三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3=3sin4sin3

9、() cos3=4cos3()3cos tan3=(3tantan3()/(13tan2() 三角函数的和差化积公式sin+sin=2sin(+)/2) cos()/2) sinsin=2cos(+)/2) sin()/2) cos+cos=2cos(+)/2)cos()/2) coscos=2sin(+)/2)sin()/2) 三角函数的积化和差公式sincos=0.5sin(+)+sin() cossin=0.5sin(+)sin() coscos=0.5cos(+)+cos() sinsin= 0.5cos(+)cos() 公式推导过程万能公式推导sin2=2sincos=2sincos

10、/(cos2()+sin2().*, （因为cos2()+sin2()=1） 再把*分式上下同除cos2(), 可得sin2=2tan/(1+tan2() 然后用/2取代即可. 同理可推导余弦的万能公式.正切的万能公式可通过正弦比余弦获得. 三倍角公式推导tan3=sin3/cos3 =(sin2cos+cos2sin)/(cos2cos-sin2sin) =(2sincos2()+cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos) 上下同除以cos3(), 得： tan3=(3tantan3()/(1-3tan2() sin3=sin(2+)=sin2co

11、s+cos2sin =2sincos2()+(12sin2()sin =2sin2sin3()+sin2sin3() =3sin4sin3() cos3=cos(2+)=cos2cossin2sin =(2cos2()1)cos2cossin2() =2cos3()cos+(2cos2cos3() =4cos3()3cos 即 sin3=3sin4sin3() cos3=4cos3()3cos 和差化积公式推导首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就获得sin(a+b)+sin(a-b)=

12、2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 同理,若把两式相减,就获得cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以获得cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就获得,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 同理,两式相减我们就获得sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 这样,我们就获得了积化和差的四个

13、公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以获得和差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a,b分别用x,y暗示就可以获得和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)创作时间：二零二一年六月三十日